推理与证明.板块三.数学归纳法.学生版
高二数学知识点总结新教材人教版
高二数学知识点总结新教材人教版高二数学是中学数学学科中的重要一年，学生需要在这一年巩固和拓展他们在高一所学的数学知识。
以新教材人教版为教材，以下是高二数学的重要知识点总结。
一、函数与方程1. 函数及其性质函数是数学中的一种重要关系，表示不同数值之间的依赖关系。
在高二数学中，学生需要了解函数的定义，并掌握函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数一次函数是指最高次幂为一次的函数，二次函数是指最高次幂为二次的函数。
高二数学中，学生需要学习如何表示和绘制一次函数和二次函数，并掌握求解一次方程和二次方程的方法。
3. 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高二数学中的重要内容。
学生需要理解指数函数和对数函数的定义，并学会求解指数方程和对数方程。
4. 不等式不等式是高二数学中的重要内容，学生需要学会解不等式，并掌握不等式的性质和图像表示方法。
5. 数列与数列的通项公式数列是一组按照一定规律排列的数，数列的通项公式表示第n 个数与n之间的关系。
学生需要掌握求解数列的通项公式以及利用通项公式解决实际问题的方法。
二、解析几何1. 平面与空间直角坐标系平面与空间直角坐标系是解析几何的基础。
学生需要理解坐标系的定义和性质，并学会在坐标系中表示和计算点、线、圆等几何图形的相关属性。
2. 直线与圆的方程直线和圆是解析几何中的基本图形。
学生需要学习直线和圆的方程及其性质，并能够根据已知信息写出直线和圆的方程。
3. 二次曲线二次曲线是解析几何中的重要内容，包括抛物线、椭圆、双曲线等。
学生需要学会表示和计算二次曲线的相关属性，如焦点、顶点、离心率等。
4. 空间几何体的性质空间几何体包括球、柱体、锥体等，学生需要掌握这些几何体的性质及其相关计算方法。
三、数学推理与证明1. 数学归纳法数学归纳法是数学推理中的重要方法，学生需要理解数学归纳法的原理，并能够灵活运用数学归纳法解决问题。
2. 数学证明数学证明是高二数学中的重要内容，学生需要学会用严谨的推理和论证方法证明数学命题。
数学归纳法【学生版】
解题思想数学“数学归纳法”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等. 高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等. 本系列专题通过概念与规律、基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k 个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
高中数学课件 第二章 推理与证明 3 数学归纳法(1)
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1.用数学归纳法证明 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
证明：(1)当n=1时，左边=12 1
6
右边 1(1 1)(2 1) 1，等式成立 6
(2）假设当n k时成立，即
12 22 32 K k 2 k(k 1)(2k 1)
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般 结论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法
考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什 么办法？
多米诺骨牌
媒婆对小伙子说：“这个姑娘没有别的毛病， 就是嘴不好。”
媒婆对姑娘说：“这个小伙子什么都好，就是 眼下没有什么。”
※多义词的义项：
❖ “意思”真有意思！ 辨析一下：这八个“意思”都属于“意思”
在《现代汉语词典》中的哪些义项？
❖ 词的本义、借代引申与比喻引申---❖ “花”的演变：
❖ “而”字趣闻：
成立;【归纳奠基】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.【归纳递推】
这种证明方法叫做 数学归纳法
框图表示
验证n n0时 命题成立
若n k k n0 时命题成立
证明n k 1时命题也成立
归 1 纳 4 奠 4 4基4 ： 2 4归4纳4递43推
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确
【归纳奠基】
（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也用正上确假设
推理与证明的方法小学数学推理与证明的基本方法与应用
推理与证明的方法小学数学推理与证明的基本方法与应用推理与证明的方法在小学数学学习中，推理与证明是一种重要的思维方式，它帮助学生培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将介绍小学数学中推理与证明的基本方法和应用。
一、归纳法归纳法是一种从具体到一般的推理方法。
通过观察一系列具体的事例或案例，总结规律，然后推广到更一般的情况。
例如，小明观察到第一天种的花种子在第二天发芽，第二天种的花种子在第三天发芽，可以归纳出“第n天种的花种子在第n+1天发芽”的规律。
二、演绎法演绎法是一种从一般到具体的推理方法。
通过已知的一般规律和前提条件，推出具体的结论。
例如，已知“所有鸟都会飞”，“鸽子是一种鸟”，就可以演绎出“鸽子会飞”的结论。
三、逆推法逆推法是从已知结论出发，向前推导出前提条件或原因。
它常常用于解决逆向问题和解谜题。
例如，已知“计算机程序出现错误”，就可以逆推出“可能是代码编写有误”或“可能是输入数据有误”的原因。
四、归谬法归谬法是一种通过推理来辨别一个陈述的真假的方法。
当我们发现一个陈述与已知事实或逻辑矛盾时，就可以借助归谬法来判断该陈述的真实性。
例如，如果某人声称“所有人都是聪明的”，但我们知道有些人并不聪明，那么这个陈述显然是不正确的。
五、数学证明数学中的证明是一种严谨的推理方法，用来证明一个命题或定理的正确性。
数学证明通常包含假设、定义、公理、推理过程和结论等元素。
通过逻辑的推导和演绎，我们可以得出一个数学命题的真实性。
小学数学中，通过证明来巩固和应用所学知识是非常重要的。
在几何领域，我们可以通过推理和证明来证明两条线段相等、三角形相似、四边形为矩形等。
在代数领域，我们可以通过演绎推理来证明等式的成立，或通过反证法证明某个结论。
通过数学证明的训练，学生不仅能够加深对数学知识的理解，还能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
综上所述，推理与证明是小学数学学习中不可或缺的部分。
通过归纳法、演绎法、逆推法等推理方法，以及数学证明的训练，学生能够培养出良好的思维能力和解决问题的能力。
2020高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2
2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。
高中数第二章推理与证明2.3数归纳法课件选修22
答案
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题型探究
重点突破
题型一 用数学归纳法证明恒成立 例1 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 4 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任 nn－1
何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝ 2 .
பைடு நூலகம்解析答案
易错易混 因弄错从n＝k到n＝k＋1的增加项致误 例 5 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n＞n＋2 1(n∈N*).
防范措施
高中数第二章推理与证明2.3数归纳法课件 选修22
学习 目标
1.了解数学归纳法原理. 2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
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知识点一 归纳法及分类 由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法， 归纳法可以分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法， 完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所 有对象； 不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部 分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙， 是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全 归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.
解析答案
12345
3.已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式 f(2n)>n2时，f(2k＋1)比 f(2k) 多的项数是___2_k __. 解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
小学数学中的数学推理与证明方法
小学数学中的数学推理与证明方法数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，其中的数学推理和证明方法是培养学生思维能力和逻辑思维的重要内容。
本文将介绍小学数学中的数学推理与证明方法，并探讨其在小学数学教学中的应用和意义。
一、归纳法归纳法是一种常见的数学推理方法，用于从具体的例子总结出一般性的结论。
小学数学教材中经常通过举例的方式引导学生归纳规律，让学生通过观察、总结和归纳，找到问题的规律并加以运用。
例如，在学习加法的过程中，老师可以给学生出一系列的加法题目，如：2 +3 = 54 + 6 = 107 + 8 = 15通过观察这些例子，学生可以发现每个题目中的两个数相加的结果都是由这两个数相加而成的。
在多次尝试并验证后，学生可以用归纳法总结出“两个数相加的结果等于这两个数相加的和”的规律。
这样，学生不仅仅掌握了具体的运算结果，还培养了运用归纳法的能力。
二、演绎法演绎法是通过一系列已知的事实或条件，推导出一个新的结论。
在小学数学中，通常使用演绎法来推导几何图形的性质和关系。
例如，在讨论等边三角形时，可以通过给出已知条件：三条边的长度相等，三个角的大小相等，然后推导出等边三角形的定义和性质。
这样的过程就是一种演绎法。
三、反证法反证法是一种证明方法，通过假设某个结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原先的假设是错误的。
在小学数学中，反证法常常用来证明一些数学的性质和定理。
例如，证明“不存在最大的自然数”。
我们可以先假设存在一个最大的自然数N，然后通过加1得到N+1，由于N已经是最大的自然数，所以N+1不可能是自然数，由此导致逻辑矛盾。
因此，我们可以推出最初假设的错误，即不存在最大的自然数。
四、归纳假设法归纳假设法是通过对某种情况的归纳推理，假设某个结论在某个特定情况下成立，然后通过推理证明在其他情况下也成立。
例如，在学习数字的相反数时，可以先通过具体的例子引导学生进行观察和归纳。
然后，假设数字x的相反数是-y，在正数和0的情况下成立，然后通过运算证明在负数和小数的情况下也成立。
2022版高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2k+2局部,
那么当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,
第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两局部,
所以平面上增加了2k个区域.
所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题
论,这样就能有效减少论证的盲目性.
重难聚焦
2.运用数学归纳法要注意哪些?
剖析正确运用数学归纳法应注意以下几点:
(1)找准起点.
数学归纳法的第一个步骤是要找到初始值n0,这个n0就是我们
要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1〞,
因此“找准起点〞是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
题型三
题型二
题型四
用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明:
1-
1
4
1-
1
9
1-
1
16
·…· 1-
1
2
=
+1
2
(n≥2,n∈N*).
分析:第一步先验证等式成立的第一个值n0;第二步在假设n=k等
式成立的根底上,等式左边加上n=k+1时新增的项,整理出等式右边
的项.
典例透析
题型一
题型三
题型二
左边>右边,所以不等式成立.
5
2
,
典例透析
题型一
题型三
题型二
题型四
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即
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C． n 2k 2 时等式成立
D． n 2(k 2) 时等式成立
【例 2】已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（ k 2 且为偶数）时命
题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1 时命题成立
B. n=k+2 时命题成立
C. n=2k+2 时命题成立
D. n=2（k+2）时命题成立
“ (n 1)(n 2) (n n) 2n 1 3 (2n 1), n N * ”时，从“ n k ”
变到“ n k 1”时，左边应增乘的因式是
A 2k 1
B
2k 1 k 1
C
(2k 1)(2k 2) k 1
（）
D
2k 3 k 1
【例 5】用数学归纳法证明1 a a2 an 1 an2 (a 1, n N ) ，在验证 n=1 时， 1 a
【例 3】某个命题与正整数 n 有关，如果当 n k(k N ) 时命题成立，那么可推得当
n k 1时命题也成立. 现已知当 n 7 时该命题不成立，那么可推得
（）
A．当 n=6 时该命题不成立 C．当 n=8 时该命题不成立
B．当 n=6 时该命题成立 D．当 n=8 时该命题成立
【例 4】利用数学归纳法证明
板块三.数学归纳法
典例分析
题型一：数学归纳法基础
【例 1】已 知 n 为 正 偶 数 ， 用 数 学 归 纳 法 证 明
1
1 2
1 3
1 4
1 n 1
2( n
1
2
n
1
4
1 ) 时，若已假设
2n
n
k(k
2 为偶数）
时命题为真，则还需要用归纳假设再证
（）
A． n k 1时等式成立
B． n k 2 时等式成立
N
* ，1
1 22
1 32
...
1 n2
3n 2n 1
.
3
【例 21】证明： n N* ，1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 .
234
2n 1 2n n 1 n 2
2n
【例 22】用数学归纳法证明：
1 tan 22
1 22
tan 22
1 2n
tan
2n
【例 11】是否存在常数 a, b, c 是等式 1 (n2 1) 2 (n2 22 ) n (n2 n2 ) an4 bn2 c 对一切 n N * ) 成立？证明你的结论。
题型二：证明整除问题
【例 12】若存在正整数 m ，使得 f (n) (2n 7)3n 9(n N ) 能被 m 整除，则 m =
【例 9】用数学归纳法证明“ (n 1)(n 2)(n n) 2n 1 2 (2n 1) ”（ n N ）
时，从 “ n k 到 n k 1 ”时，左边应增添的式子是__ __。
【例
10】用数学归纳法证明不等式
n
1
1
n
1
2
n
1
n
13 24
的过程中，由
k
推导
到 k+1 时，不等式左边增加的式子是
(Ⅰ)求 a11 和 aik ； (Ⅱ)设 An a1n a2(n1) a3(n2) an1 ，证明：当 n 为 3 的倍数时，( An n )能被 21 整除.
题型三：证明恒等式与不等式
【例
19】证明不等式1
1 2
1 3
……
1 2n 1
n 2
（
n
N
）
【例
20】用数学归纳法证明： n
左边计算所得的式子是（ ）
1
A. 1
B.1 a
C.1 a a2
D. 1 a a2 a4
【例 6】用数学归纳法证明 (n 1)(n 2)(n n) 2n 1 3 (2n 1)(n N ) ，从“k
到 k+1”左端需乘的代数式是（ ）
A.2k+1
B. 2(2k 1)
C. 2k 1 k 1
D. 2k 3 k 1
【例
7】用数学归纳法证明：1+
1 2
+
1 3
+
1 2n 1
n,(n
N
,n
1)
时，在第二步证明
从 n=k 到 n=k+1 成立时，左边增加的项数是（ ）
A. 2k
B. 2k 1
C. 2k 1
D. 2k 1
【例 8】设 f (n) n f (1) f (2) f (n 1) ， 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ n f (1) f (2) f (n 1) nf (n) ”时，第一步要证的等式是
1 2n
cot
2n
cot (
mπ，m
Z ，n
N*)
．
【例 23】是否存在常数 a、b、c，使等式 1 22 2 32 n(n 1)2 n(n 1) (an2 bn c) 对一切正整数 n 都成立？ 12 证明你的结论
【例
24】在数列{an}中， a1
tan
x, 1
1 1
【例 13】证明：1 (x 3)n ,(n N ) 能被 x 2 整除
【例 14】已知数列an 满足 a1 0 ，a2 1 ，当 n N * 时， an2 an1 an ．
2
求证：数列an 的第 4m 1(m N*) 项能被 3 整除．
【例 15】 用数学归纳法证明： 7n 3n 1(n N*) 能被 9 整除．
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1)
……
第n列 a1n
第2行 ……
第n行
a21 ……
an1
a22 ……
an 2
a23
……
a2n
…… …… ……
an3
……
ann
其中 aik (1≤i≤n，1≤k≤n，且 i，k∈N)表示该数阵中位于第 i 行第 k 列的 数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为 2 的等比数列， 且 a23 =8， a34 =20.
an an
，
（1）写出 a1, a2, a3 ；（2）求数列{an}的通项公式
【例 25】用数学归纳法证明：
arctan
1 2 12
arctan
1 2 22
arctan
1 2 n2
arctan
n ( n n1
N*)
【例 26】用数学归纳法证明：
（Ⅰ） 12 22
n2
n(n 1) ；
【例 16】设 n 是任意正整数，求证： n3 5n 能被 6 整除． 【例 17】用数学归纳法证明：对于一切正整数 n ， 72n 42n 33 能被 264 整除．
【例 18】 n2 (n≥4 且 n∈N*)个正数排成一个 n 行 n 列的数阵：
第1列
第2列
第3列
……
第1行
a11
a12
a13