2015年高考数学优题训练系列(17)
2015年高考数学解答题突破：第17题
第17题 概率计算与随机变量分布列问题的解题策略(理)【高考透视】1．主要类型：(1)概率计算时，根据限制条件，进行分类讨论求解．(2)含有“至少…‘至多”等问题的求解，一般要分类讨论．(3)根据随机变量的不同取值，进行分类讨论求其概率值．（3）主要考题类型：㈠超几何分布㈡事件的相互独立性㈢独立重复试验与二项分布㈣均值与方差的实际应用。
2．解题思路：一般结合限制条件或随机变量的可能取值，分类讨论求解．3．注意事项：(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏．(2)随机变量的各种取值情况要考虑全面，其对应的概率计算要准确．【典例1】 (12分)(2014·汕头模拟)某市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福全市”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的(1)求这50(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数．求ξ的分布列．(3)从这50位市民中，先随机选一个人，记他的幸福指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n ，求n<m ＋60的概率P .[审题] (1)切入点：根据计算公式代入数值，求解．关注点：幸福指数(分)的平均值．(2)切入点：确定ξ的可能值及其对应的概率值．关注点：准确求出ξ各取值对应的概率．(3)切入点：计算基本事件总数，待求事件包含基本事件数，用古典概型计算． 关注点：m ，n 的取值不定，需对m ，n 的取值分类讨论． [审题](1)记E(X)表示这50位市民幸福指数的数学期望，则E(X)＝150(90×19＋60×21＋30×7＋0×3)＝63.6(分)2分 (2)ξ的可能取值为0,1,2,3P(ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫450⎝⎛⎭⎫153＝11253分 P(ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫451⎝⎛⎭⎫152＝121254分P(ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫151＝481255分P(ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫453⎝⎛⎭⎫150＝641256分 所以ξ的分布列为7分(3)基本事件的总数为A 250＝2 4508分满足条件n<m ＋60的有如下各种情况：①满足m ＝0时，n ＝0,30的事件数为：A 13A 19，②满足m ＝30时，n ＝0,30,60的事件数为：A 17A 1309分③满足m ＝60时，n ＝0,30,60,90的事件数为：A 121A 149④满足m ＝90时，n ＝0,30,60,90的事件数为：A 119A 14910分所以P ＝A 13A 19＋A 17A 130＋A 121A 149＋A 119A 149A 250＝3×9＋7×30＋21×49＋19×4950×49＝2 1972 45012分 [变题](2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A 2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P(X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. 分布列为因为X ～B(3,0.6)0.6×(1－0.6)＝0.72.【典例2】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．[自主解答] (1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021， P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121. 所以X 的分布列为（略）(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.【小结】在超几何分布中，随机变量X 取每一个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．【典例3】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．解：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25. ∴该选手被淘汰的概率P ＝1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－45×35×25＝101125. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3.则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×825＋3×1225＝5725.。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。
2015年高考数学优题训练系列(6)
2015年高考数学优题训练系列（6）（一）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)函数y =(A)[0，3] (B)[1，3] (C)[1，+∞) (D)[3，+∞)(2)某品牌空调在元旦期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16(3)"k<9’’是“方程221259x y k k +=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)设变量x 、y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y 的最小值为(A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23(5)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若423S S =,则64S S = (A)2 (B) 73 (C)310 (D)l 或2(6)己知(12)3,1,()1,1.a x a x f x nx x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是 (A)(一∞，一1] (B)(一l ，12) (C)[－1，12) (D)（0，12） (7)执行如图所示的算法，则输出的结果是 (A)1 (B)43 (C)54(D)2(8)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于 (A)23 (B)43 (C)1 (D)13(9)己知函数()sin (0),()()062f x x x f f ππωωω=+>+=,且()f x 在区间(,)62ππ，上递减，则ω＝(A)3 (B)2 (C)6 (D)5(10)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(A) 24种 (B) 36种 (C) 48种 (D) 60种(11)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为(A)12 (B)12 (C)2，l 2(12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为(A)(-∞, 2] (B)[0+∞) (C)[0,2] (D)[1,2]（二）（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)函数y =的定义域为(A)[一5，2] (B)（一∞，—5]U[2，+oo ）(C)[一5,+ ∞)(D)[2,+ ∞) (2)函数2()12sin2x f x =-的最小正周期为 (A) 2π(B)π （C ） 2π (D)4π(3)"k<9’’是“方程221259x yk k+=--表示双曲线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)设变量x、y满足10,30,230,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y的最小值为(A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23(5)在等比数列{a n}中，a2a3a7=8,则a4=(A)1 (B) 4 (C)2(D)(6)己知1()1,()2,f x x f ax=+-=则()f a-=(A)－4 (B－2 (C)－1 (D)－3(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是(A)19(B)16(C)118(D)112（8）己知(12)3,1,()1, 1.a x a xf xnx x-+<⎧=⎨≥⎩的值域为R，那么a的取值范围是(A)(一∞，一1] (B)(一l，12) (C)[－1，12) (D)（0，12）(9)执行如图所示的算法，则输出的结果是(A)1 (B)43(C)54(D)2(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于(A)13(B)23(C)1 (D)43(11)椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为F，若Fy+=的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为(A)12(B)12 (C)2，l (12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为(A)(-∞, 2](B)[0+∞) (C)[0,2](D)[1,2]参考答案 （一） BCAAB CAABDDC （二） DABAC ABCABDC。
2015年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含解析）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==U U ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒= 考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6S ←1 I ←1 While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等 7.不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
高考数学优题训练系列(17)【含答案】
2015年高考数学优题训练系列（17）（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1（文科）如果22{|0,},{|0,}A x x x x R B x x x x R =-=∈=+=∈，那么A B =（ ）A ． 0B ．∅C ．{0}D ．{1,0,1}-（理科）已知复数122z i =-，则复数z 的虚部为 （ ）A ．12 B C ．D ．12- 2．已知tan sin 0,θθ<且|sin cos |1θθ+<，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ） ①,m n α⊥若//α，则m n ⊥； ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则； ③//,//,//m n m n αα若则 ； ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m ．A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 4．若0.52a =，22log 3,log sin5b c ππ==，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．（文科）函数()1()xf x e x R =+∈的反函数为（ ） A ．1()lg(1),(1)f x x x -=-> B ．1()ln(1),(1)f x x x -=->C ．1()ln(1),(0)f x x x -=->D ．1()ln(1),(0)f x x x -=->（理科）函数是连续函数，则a b -=（ ）A 0B 3C -3D 76．（文科）4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6（理科）已知2lim 12n nnnn a a →∞-=+()a R ∈,那么a 的取值范围是 （ ） A ．0a < B ．2a <且2a ≠-C ．22a -<<D ．2a <-或2a >7．已知函数2()log f x x =的定义域为A ，{|||10,}B x x x N =≤∈,且AB A =，则满足条件的函数()y f x =的个数为（ ）A ．1B ．1023C ．1024D ．2128．已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．(1,)+∞B ．C ．（1，2）D ．(1,19如果数列{}()n n a a R ∈对任意,m n N *∈满足m n m n a a a +=⋅，且38a =，那么10a = （ ）A ．256B ．510C ．512D ．102410．已知22221(0)x y a b a b+=>>，直线:(0)l y x t t =+≠交椭圆于A,B 两点，AOB ∆的面积为S （O 是坐标原点），则函数()S f t =的奇偶性（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．奇偶性与,a b 有关11．（文科）若实数,a b 满足||1a b -≥，则22a b +（ ）A ．最小值为12 B ．最大值为13 C ．最大值为15 D ．最小值为2（理科）设点(1,2),(2,1),A B 如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（ ）A ．最大值为15 B ．最大值为29 C ．最小值为15D ．最小值为2912．设函数()f x 的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意()x I I A ∈⊆,有x l A +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||,f x x a a =--且函数()f x 为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1122a -≤≤ C ．11a -≤≤ D ．22a -≤≤ （二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项．１．已知M={a |a =(1,2)+λ(3,4)，λ∈R}，N={a |a =(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，则MN=（ ） A ．{(1,1)} B ．{(1,1),(-2,-2)}C ．{(-2,-2)}D ．φ2．(理)2等于 （ ）A iB ．iC iD ．i(文)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x-2π)，则下列结论中正确的是 （ ）A ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1B ．函数y=f(x)·g(x)的对称中心是(24k ππ+,0)，k ∈Z C ．当x∈[-2π,2π]时，函数y=f(x)·g(x)单调递增D ．将f(x)的图象向右平移2π单位后得g(x)的图象4．已知当x∈R 时，函数y=f(x)满足f(2.1+x)=f(1.1+x) + 13，且f(1)=1，则f(100)的值为 （ ）A ．3433B ．3334C ．34D ．1345．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A.30OB. 45OC. 60OD. 90O6．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2， 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B C D ．27．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它10 个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.258．函数y=x 3-2ax+a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0,3)B ．(-∞,3)C ．(0,+∞)D ．(0,32)9．(理)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m + y 2=1(m>1)和双曲线x 2n - y 2=1（n>0），P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．随m 、n 变化而变化(文)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3 表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)， 虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是（ ）A B C D11．直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）A ．48B ．56C ．64D ．7212．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0, B ．（1, C ．（D ．参考答案（一）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A B C B D D A C理A文 B（二）1．C2．理D 文D3．D4．C. 提示：{f(n)}是等差数列(n∈N*)5．C.6．A7．A8．D9．B. 提示：∵|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=±2n，又m-1=n+1，∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|210．C11．A12．C。
2015年高考数学优题训练系列(21)
2015年高考数学优题训练系列（21）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合)(},5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U U 则====（ ）A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2. 设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ）ABC ．1D ．23．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题： P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(21),2,1(x ==-=若c b a //)2(+，则x=( )A ．-2B ．-4C ．-3D ．-15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为（ ）A ．64B ．128C ．-64D ．-1286．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2}7．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．128．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）A ．2+3π+．2+2π+C ．8+5π+ D ．6+3π+9．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（A ．1a >B ．a≤2 C．a>2 10．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =1，PA 面积为（ ）A ．5πBC ．20πD ．4π11．设方程lnx =-x 与方程e x =-x (其中e 是自然对数的底数)的所有根之和为m ,则（ ）A ．m <0 B. m =0 C.0<m <1 D.m >1正视图 侧视图12. 函数()f x 对任意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称，则()2013f =（ ）A.16-B.8-C.4-D.0（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ={0，1}，B ={-1，0，a +3},且A ⊆B ，则a =（ ）A ．1B ．0C ．-2D ．-3 2. 设复数Z)2i Z i ∙=，则|Z |=（ ）ABC ．1D ．23．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题： P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(21),2,1(x ==-=若c b a //)2(+，则x=( ) A ．-2 B ．-4 C ．-3D ．-1 5．在等差数列{a n }中，a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11=（ ） A ．24 B ．48 C ．66D ．132 6．在⊿ABC 中,三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,若a 2+b 2=2ab +c 2,则角C 为（ ）A ．30°B ．45°C ．150°D ．135°7．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．128．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2}9．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（）A．2+3π+．2+2π+C．8+5π+ D．6+3π+10. 若关于直线m,n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α,n∥β,且α∥β，则m∥n;②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β，则m⊥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β，则m⊥n;④若m∥α,n⊥β,且α⊥β，则m∥n;其中真命题的序号（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB C．20πD．4π12．设方程lnx=-x与方程e x=-x(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为m,则（）A．m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1参考答案（理）1—5.ACDDC， 6—10.BDACA 11.B 12.D（文）1—DDD， 6—10.BDBAC 11.A 12.B。
2015届高考数学第二轮高效精练17
第23讲 高考题中的应用题解法1. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．答案：0.032解析：这组数据的平均数为10，s 2＝15[(9.7－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.1－10)2]＝0.032.2. 一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为________m 时，帐篷的体积最大．答案：23. 一栋n(n ≥3，n ∈N *)层大楼，各层均可召集n 个人开会，现每层指定一人到第k 层开会，为使n 位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k ＝________．答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋n2（n 为奇数），n 2或n2＋1（n 为偶数）4. 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 km 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________km.答案：10 35. 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为______________．答案：20解析：3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，x%≥20%，x ≥20，则x 的最小值为20.6. 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x(件)之间近似地满足关系式p ＝⎩⎨⎧215－x ，1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540，10≤x ≤20，x ∈N *(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．(该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额)(1) 将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解：(1) 由题意可知，y ＝2x(1－p)－px ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x ，1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180，10≤x ≤20，x ∈N *.(2) 考虑函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x，1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180，10≤x ≤20，x ∈N *.当1≤x ≤9时，f ′(x)＝2－90（15－x ）2，令f′(x)＝0，得x ＝15－3 5.当1≤x ＜15－35时，f ′(x)＞0，函数f(x)在[1，15－35)上单调递增； 当15－35＜x ≤9时，f ′(x)<0，函数f(x)在(15－35，9]上单调递减． 所以当x ＝15－35时，f(x)取得极大值，也是最大值，又x 是整数，f(8)＝647，f(9)＝9，所以当x ＝8时，f(x)有最大值647.当10≤x ≤20时，f ′(x)＝53－x 260＝100－x260≤0，所以函数f(x)在[10，20]上单调递减，所以当x ＝10时，f(x)取得极大值1009，也是最大值．由于1009>647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．7. 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB ＝2x ，BC ＝y.(1) 写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2) 求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1) 易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx. 所以，4＝2x ＋2y ＋πx ，得y ＝4－（2＋π）x2.依题意，知：0<x<y ，得0<x<44＋π.所以，y ＝4－（2＋π）x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<44＋π. (2) 依题意，T ＝AB·S ＝2x ⎝⎛⎭⎫2xy －12πx 2＝8x 2－(4＋3π)x 3. 令T′＝16x －3(4＋3π)x 2＝0，得x ＝169π＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，44＋π，另一解舍去．Z ]所以当x ＝169π＋12，凹槽的强度最大．8. 某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具⎝⎛⎭⎫5π24≤θ≤π3，现准备定制长与宽分别为a 、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED 、△BAE 、△EBC.(如图所示)(1) 当θ＝π6时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2) 现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80 cm 、宽30 cm ，B 规格长60 cm 、宽40 cm ，C 规格长72 cm 、宽32 cm ，问可以选择哪种规格的硬纸板使用．解：(1) 由题意∠AED ＝∠CBE ＝θ. ∵ b ＝BE·cos30°＝AB·sin30°·cos30°＝34a ， ∴ ab ＝433. (2) ∵ b ＝BE·cos θ＝AB·sin θ·cos θ＝12AB ·sin2θ，∴ b a ＝12sin2θ.∵ 5π24≤θ≤π3，∴ 5π12≤2θ≤2π3，∴ b a ∈⎣⎡⎦⎤34，12. A 规格：3080＝38<34， 不符合条件.B 规格：4060＝23>12 , 不符合条件.C 规格：3272＝49∈⎣⎡⎦⎤34，12，符合条件.∴ 选择买进C 规格的硬纸板.9. 一化工厂因排污趋向严重，2014年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x －4|(x ≥1)，g(x)＝203(x －4)2(x ≥1)，h(x)＝30|log 2x－2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f(x)、g(x)、h(x)分别表示污染度．(1) 问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2) 如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)解：(1) 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，则h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2) 因为h(x)＝30|log 2x －2|在x ≥4上是增函数，又h(16)＝60.这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2015年5月起开始再次整治．10. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，BC ＝10 km ，为了处理这三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A 、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为y km.(1) 按下列要求写出函数关系式：① 设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设OP ＝x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．解：本小题主要考查函数最值的应用．(1) ① 由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos θ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ.又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ，即所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π4.② 若OP ＝x(km)，则OQ ＝10－x ，所以OA ＝OB ＝（10－x ）2＋102＝x 2－20x ＋200，故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200(0<x<10)．(2) 选择函数模型①， y ′＝－10cos θ·cos θ－（20－10sin θ）（－sin θ）cos 2θ＝10（2sin θ－1）cos 2θ.令y′＝0得sin θ＝12，因为0<θ<π4，所以θ＝π6.当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，y ′<0 ，y 是θ的减函数；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时，y ′>0 ，y 是θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝10＋10 3.这时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033 km处。
2015年高考数学优题训练系列(9)
2015年高考数学优题训练系列（9）（一）（理）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．复数11z i =-的模是 （ ） A. 12 B. 22 C. 2 D. 2 2．已知集合{}2,x A y y x R ==∈，22log 2x B x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则A B =I （ ） Ａ．[0,2) Ｂ．[1,2) Ｃ．(,2)-∞Ｄ．(0,2) 3．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4．若函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+≠的图像关于直线6x π=对称，则()6f π的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2- D ．2或2-5．已知0,0a b >>，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A ．10 B ．7 C ．8 D ．96．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(55)π+ B. (2025)π+C. (1010)π+D. (525)π+7．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,则12cos FPF ∠=（ ）A. 14B. 35C. 34D. 458．已知函数2log y x =的定义域为1[,]n m（,m n 为正整数），值域为[0,2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有( )A. 1个B. 7个C. 8个D.16个9．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n -- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n -- 10．设函数()f x x ax bx c 3211=++2+32的两个极值点分别为12,x x ，若1(2,1)x ∈--，2(1,0)x ∈-，则2a b +的取值范围为（ ） A ．(2,7) B ．(1,7) C ．(1,5) D ．(2,5)（二）（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题只有一个选项符合题目要求）1.设命题 0lg ,0:00<>∃x x p ，则p ⌝为（ ）A. 0lg ,0>>∀x xB. 0lg ,0≥>∀x xC. 0lg ,000>>∃x xD. 0lg ,000≥>∃x x2.已知a 是实数，且52121i i a +++也是实数，则a 等于（ ） A. 2 B.23 C.1 D. 21 3.如右图是某几何体的三视图（正视图与侧视图一样,上面是半径为1的半圆，下面是边长为2的正方形），则该几何体的体积是（ ）A ．π328+ B. π348+ C. π+24 D. π220+4. “2015<a ”是“函数2)()(a x x f -=在区间［2015，＋∞）上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数)0()sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 是偶函数，则)32cos(2πϕ+等于（ ） A. 3- B. 1- C. 3 D. 1 6． 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且r q S n n +=（10,≠>∈*q q N n 且），则实数r 的值为（ ）A ．2 B.1 C.0 D.1-7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被该正方体的外接球所截得的线段长为（ ） A. 32 B. 3 C. 22 D. 28.已知关于x 的不等式0722≥--+ax x 在),(∞+a 上恒成立，则实数a 的最小值为（ ）（正、侧视图）（俯视图）A. 1B. 2C.21 D. 23 9.已知直线l ：a x y +-=与圆C:222=+y x 相交于相异两点M 、N ，点O 是坐标原点，且满足->+,则实数a 的取值范围是（ ） A.)2,2()2,2Y --（ B. )2,2-（ C. )2,1()12Y --，（ D. )1,1-（10.已知函数ax x e y x ---=2ln 有3个不同的零点（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A. )1[∞+，B. )1∞+，（C. ]1,0（D. )1,0（参考答案 （一） BDCDDACBCA（二） BCAABDCDAD。
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2015年高考数学优题训练系列（17）（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1（文科）如果22{|0,},{|0,}A x x x x R B x x x x R =-=∈=+=∈，那么A B = （ ）A ． 0B ．∅C ．{0}D ．{1,0,1}-（理科）已知复数122z i =-，则复数z 的虚部为 （ ）A ．12 B C ．D ．12- 2．已知tan sin 0,θθ<且|sin cos |1θθ+<，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ） ①,m n α⊥若//α，则m n ⊥； ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则； ③//,//,//m n m n αα若则 ； ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m ．A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 4．若0.52a =，22log 3,log sin5b c ππ==，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．（文科）函数()1()xf x e x R =+∈的反函数为（ ） A ．1()lg(1),(1)f x x x -=-> B ．1()ln(1),(1)f x x x -=->C ．1()ln(1),(0)f x x x -=->D ．1()ln(1),(0)f x x x -=->（理科）函数是连续函数，则a b -=（ ）A 0B 3C -3D 76．（文科）4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6（理科）已知2lim 12n nnnn a a →∞-=+()a R ∈,那么a 的取值范围是 （ ） A ．0a < B ．2a <且2a ≠-C ．22a -<<D ．2a <-或2a >7．已知函数2()log f x x =的定义域为A ，{|||10,}B x x x N =≤∈,且A B A = ，则满足条件的函数()y f x =的个数为（ ）A ．1B ．1023C ．1024D ．2128．已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．(1,)+∞B ．C ．（1，2）D ．(1,19如果数列{}()n n a a R ∈对任意,m n N *∈满足m n m n a a a +=⋅，且38a =，那么10a = （ ）A ．256B ．510C ．512D ．102410．已知22221(0)x y a b a b+=>>，直线:(0)l y x t t =+≠交椭圆于A,B 两点，AOB ∆的面积为S （O 是坐标原点），则函数()S f t =的奇偶性（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．奇偶性与,a b 有关11．（文科）若实数,a b 满足||1a b -≥，则22a b +（ ）A ．最小值为12 B ．最大值为13 C ．最大值为15 D ．最小值为2（理科）设点(1,2),(2,1),A B 如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（ ）A ．最大值为15 B ．最大值为29 C ．最小值为15D ．最小值为2912．设函数()f x 的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意()x I I A ∈⊆,有x l A +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||,f x x a a =--且函数()f x 为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1122a -≤≤ C ．11a -≤≤ D ．22a -≤≤ （二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项．１．已知M={a |a =(1,2)+λ(3,4)，λ∈R}，N={a |a=(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，则M N= （ ） A ．{(1,1)} B ．{(1,1),(-2,-2)}C ．{(-2,-2)}D ．φ2．(理)2等于 （ ）A iB ．iC iD ．i(文)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x-2π)，则下列结论中正确的是 （ ）A ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1B ．函数y=f(x)·g(x)的对称中心是(24k ππ+,0)，k ∈Z C ．当x∈[-2π,2π]时，函数y=f(x)·g(x)单调递增D ．将f(x)的图象向右平移2π单位后得g(x)的图象4．已知当x∈R 时，函数y=f(x)满足f(2.1+x)=f(1.1+x) + 13，且f(1)=1，则f(100)的值为 （ ）A ．3433B ．3334C ．34D ．1345．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A.30OB. 45OC. 60OD. 90O6．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2， 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B C D ．27．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它10 个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.258．函数y=x 3-2ax+a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0,3)B ．(-∞,3)C ．(0,+∞)D ．(0,32)9．(理)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m + y 2=1(m>1)和双曲线x 2n - y 2=1（n>0），P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．随m 、n 变化而变化(文)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3 表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)， 虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是（ ）A B C D11．直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）A ．48B ．56C ．64D ．7212．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0, B ．（1, C ．（D ．参考答案（一）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A B C B D D A C理A文 B（二）1．C2．理D 文D3．D4．C. 提示：{f(n)}是等差数列(n∈N*)5．C.6．A7．A8．D9．B. 提示：∵|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=±2n，又m-1=n+1，∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|210．C11．A12．C。