高考数学经典常考题型第17专题 函数的极值
第17专题训练 函数的极值一、基础知识: 1、函数极值的概念:(1)极大值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <,就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值,记作()0y f x =极大值,其中0x 是极大值点(2)极小值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >,就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值,记作()0y f x =极小值,其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。
请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用:(1)极值点为单调区间的分界点 (2)极值点是函数最值点的候选点4、费马引理:()f x 在0x x =处可导,那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明:①前提条件:()f x 在0x x =处可导②单向箭头:在可导的前提下,极值点⇒导数0=,但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点,例如:3y x =在()0,0处导数值为0,但0x =不是极值点③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无关(例如:y x =在()0,0处不可导,但是0x =为函数的极小值点) 5、求极值点的步骤: (1)筛选: 令()'0fx =求出()'f x 的零点(此时求出的点有可能是极值点)(2)精选:判断函数通过()'f x 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点(3)定性: 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
7、对于在定义域中处处可导的函数,极值点是导函数的一些零点,所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。
但要注意检验零点能否成为极值点。
8、极值点与函数奇偶性的联系:(1)若()f x 为奇函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极小(极大)值点(2)若()f x 为偶函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极大(极小)值点 二、典型例题: 例1:求函数()xf x xe -=的极值.解:()()'1x x x f x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得:1x < ()f x ∴的单调区间为:()f x ∴的极大值为()1f e=,无极小值 小专题训练有话说:(1)求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值,所以可考虑求函数的单调区间,进而在表格中加入一列极值点,根据单调性即可进行判断(2)在格式上有两点要求:第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来,第二在求极值点时如果只有一个极大(或极小)值点,则需说明另一类极值点不存在 例2:求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。
解:()()2'2312fx x x =-⋅,令()'0f x >解得:0x >()f x ∴的单调区间为:()f x ∴的极小值为()00f =,无极大值小专题训练有话说:本题若使用()'fx =解极值点,则1x =±也满足()'0f x =,但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化,故1x =±均不是极值点。
对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例3:求函数()f x =R 上的极值思路:利用()'f x 求出()f x 的单调区间,进而判断极值情况解:()'fx =令()'0fx >解得:()()2,02,x ∈-+∞()f x ∴的单调区间为:()f x ∴的极小值为()()220f f -==,极大值为()0f ==小专题训练有话说:在本题中如果仅令()'0f x =,则仅能解得0x =这一个极值点,进而丢解。
对于2x =-与2x =,实质上()f x 在这两点处没有导数,所以在()'0f x =中才无法体现出来,由此我们可以得到以下几点经验 (1)利用()'0fx =来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解,此类点往往是不存在导函数的点。
例如:24y x =-中的2,2x x =-=,是极值点却不存在导数(2)在寻找极值点时,若能求出()f x 的单调区间,则利用单调区间求极值点是可靠的 例4:已知函数bx ax x x f 23)(23+-=,在点1=x 处有极小值1-,试确定b a ,的值,并求出)(x f 的单调区间。
思路:()'2362f x x ax b =-+,由极值点()1,1-条件可得:()()'1110f f =-⎧⎪⎨=⎪⎩,两个条件可解出,a b ,进而求出单调区间 解:()'2362fx x ax b =-+在点1=x 取得极小值72-()()'11113+21336201102a f ab a b f b ⎧==-⎧⎪-=-⎧⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨-+==⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩()()()'2321311f x x x x x =--=+-,令()'0f x >,解得13x <-或1x >()f x ∴的单调区间为:小专题训练有话说:关注“在点1=x 处有极小值1-”,一句话表达了两个条件,作为极值点导数等于零,作为曲线上的点,函数值为1,进而一句话两用,得到关于,a b 的两个方程。
例5:若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10,则a b +=_________思路:()'232f x x ax b =++,依题意可得:()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩,可解得:411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩,但是当33a b =-⎧⎨=⎩时,()()2'236331f x x x x =-+=- 所以尽管()'10f =但1x =不是极值点,所以舍去。
经检验:411a b =⎧⎨=-⎩符合,7a b +=- 答案:7a b +=-小专题训练有话说:对于使用极值点条件求参数值时,求得结果一定要代回导函数进行检验,看导数值为0的点是否是极值点例6:2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值,则实数c 为 . 思路:()'2234fx x cx c =-+,1x =为极小值点,()'21340f c c ∴=-+=,解得:1c =或3c =,考虑代入结果进行检验:1c =时,()()()'2341311f x x x x x =-+=--,可得()f x 在()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增,在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减。
进而1x =为极小值点符合题意,而当3c =时,()()()'23129313fx x x x x =-+=--,可得()f x 在()(),13,-∞+∞单调递增,在()1,3单调递减。
进而1x =为极大值点,故不符合题意舍去 1c ∴=答案:1c =小专题训练有话说:在已知极值点求参数范围时,考虑利用极值点导数值等于零的条件,但在解完参数的值后要进行检验,主要检验两个地方:① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。
例7:(1)已知函数()3234f x x ax x =-+-有两个极值点,则a 的取值范围是___________(2)已知函数()3234f x x ax x =-+-存在极值点,则a 的取值范围是_________(1)思路:()'2323fx x ax =-+,若()f x 有两个极值点,则方程23230x ax -+=有两个不等实根,从而只需0∆>,即243603a a ∆=->⇒<-或3a > 答案:3a <-或3a >(2)思路:()f x 存在极值点即()'23230f x x ax =-+=有实数根,0∆≥,但是当0∆=即3a =±时, ()()2'2363310f x x x x =+=≥,不存在极值点,所以方程依然要有两个不等实数根,a 的范围为3a <-或3a > 答案:3a <-或3a >小专题训练有话说:本题有以下几个亮点(1)在考虑存在极值点和极值点个数时,可通过导数转化成为方程的根的问题,使得解决方法多样化,可与函数零点和两图象的交点找到关系 (2)方程()'0fx =根的个数并不一定等于极值点的个数,所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化(3)本题两问结果相同,是由导函数方程为二次方程,其0∆=时,其根不能作为极值点所致。
例8:设函数x b x x f ln )1()(2+-=,其中b 为常数．若函数()f x 的有极值点,求b 的取值范围及()f x 的极值点；思路:()()2'2221b x x bf x x x x-+=-+=,定义域为()0,+∞,若函数()f x 的有极值点,则()'0f x =有正根且无重根,进而转化为二次方程根分布问题,通过韦达定理刻画根的符号,进而确定b 的范围解:(1)()()2'2221b x x b f x x x x-+=-+=,令()'0f x =即2220x x b -+=()f x 有极值点 ∴2220x x b -+=有正的实数根,设方程的根为12,x x ① 有两个极值点,即12,0x x >,1212480110202b x x b bx x ⎧⎪∆=->⎪∴+=⇒<<⎨⎪⎪=>⎩② 有一个极值点,即12=002bx x b ≤⇒≤∴综上所述:1,2b ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭(2)思路:利用第(1)问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程2220x x b -+=的两根为:212x ±==±① 当102b <<时,1211x x ==()f x ∴的单调区间为:∴()f x 的极大值点为1x =-极小值点为1x =+② 当0b ≤时,1210,1x x =<=()f x ∴的单调区间为:∴()f x 的极小值点为1x =+无极大值点综上所述:当102b <<时,()f x 的极大值点为1x =-极小值点为1x =+当0b ≤时,()f x 的极小值点为1x =+无极大值点 小专题训练有话说:(1)导函数含有参数时,其极值点的个数与参数的取值有关,一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解,另一方面体现在当方程的解与参数有关时,参数会影响到解是否在定义域内。
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
高考数学专题复习《函数的极值最值》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
（2）已知函数 在 <m></m> 处有极值10， 则 等于( )
A. 或18 B. C. D. 或18
解：因为函数 在 处有极值 ，所以 ，且 ，即 得 或 而当 ， 时， ，函数在 处无极值，故舍去. 所以 ，所以 故选C.
解：由题意知， ，令 ，得 ， ，因为 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，所以极大值点为 ，所以 ，即 .故填 .
1.函数的极值
（1）函数极值的定义：如图，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 . 类似地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 .我们把 叫做函数 的__________， 叫做函数 的________； 叫做函数 的__________， 叫做函数 的________.极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为______.
√
易错：注意检验
变式2.（1） 若函数 的极小值点是 <m> ，则 的极大值为( )
A. B. C. D.
√
解：由题意， ，所以 ，解得 ，故 ，可得 ，则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极大值为 .故选C.
（2）若 , 是函数 的两个极值点，则
√
（5）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
×
3. 已知函数 的导函数 <m></m> 的图象如图所示，则( )
A.函数 有2个极大值点，2个极小值点B.函数 有1个极大值点，1个极小值点C.函数 有3个极大值点，1个极小值点D.函数 有1个极大值点，3个极小值点
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
高考数学导数与函数的极值、最值
0
[解析]结合函数g(x)图像(图略)可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0, f'(x)=0无变号零点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
不存在
5.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
D
例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课堂考点探究
方法二:因为x=a为函数f(x)的极大值点,且f(a)=0,f(b)=0,所以结合三次函数的图像知,当a>0时,y=f(x)的大致图像如图①,此时0<a<b,得a2<ab;当a<0时,y=f(x)的大致图像如图②,此时b<a<0,得a2<ab.综上可得a2<ab,故选D.
-1
[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
课堂考点探究
微点3 已知极值求参数例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课前基础巩固
f(a)
f(b)
f(a)
f(b)
[常用结论]导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:
高考数学知识点解析函数的极值与拐点
高考数学知识点解析函数的极值与拐点高考数学知识点解析：函数的极值与拐点在高考数学中，函数的极值与拐点是一个重要的知识点，也是考试中经常出现的考点。
理解和掌握这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。
接下来，让我们深入探讨一下函数的极值与拐点。
一、函数的极值1、极值的定义函数的极值是指在函数定义域内的某个局部区域内，函数取得的最大值或最小值。
具体来说，如果在函数定义域内的某一点 x₀处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于） f(x₀)，那么f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
2、极值的判定（1）一阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为函数的驻点（即 f'（x₀) ＝0）。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
（2）二阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
若 f'＇（x₀) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值；若 f'＇（x₀) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
3、求极值的步骤（1）求出函数的导数 f'（x)。
（2）令 f'（x) ＝ 0，求出驻点。
（3）根据一阶导数判别法或二阶导数判别法判断驻点是否为极值点，并求出极值。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜ x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
高数函数的极值与最大最小值
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法 :
(1) 求 在
内的极值可疑点
(2) 最大值
M ? max?
最小值
f (a), f (b)?
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特别:
?当 在
内只有一个极值可疑点时 ,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
厂C 的运费最省 , 问D点应如何取 ?
C
解: 设 AD ? x (km), 则 CD ? 202 ? x2 , 总运费
( k 为某常数 )
y?? k ( 5x ? 3), 400 ? x2
y???
5k
400 (400 ? x2 )32
令
得
又
所以 x ? 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
? ? (?9)2 ? 4 ?2 ?12 ? 81? 96 ? 0
故函数在?
x
2? x02取? 最9x小?值120?;0在
x
?
1及
5 2
取最大值
5.
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 .
在闭区间
说明 :
令 ? (x) ? f 2(x) 由于 ? (x) 与 f (x) 最值点相同 , 因此也可通过 ? (x)
观察者的眼睛 1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角? 最大) ?
1.4
解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
?
1.8
? ? arctan1.4 ? 1.8 ? arctan1.8,
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
高考数学中的极值问题及其求解方法
高考数学中的极值问题及其求解方法高考数学是许多学生的噩梦，尤其是对于那些数学一般的学生，极值问题更是让许多人感到头疼。
那么什么是极值？如何解决极值？本文将从定义、特点、求解方法等方面详细阐述高考数学中的极值问题。
一、极值的定义及其特点所谓极值，即函数在某些点处取得的最大值或最小值。
此时，该点叫做函数的极值点，该函数又称为有极值点的函数。
具体来说，对于一元函数而言，当x=a时，如果存在一段邻域Δ(x)，使f(x)<f(a)或者f(x)>f(a)（Δ(x)不包括a点），则称a为函数f(x)的极值点。
通常情况下，求函数极值问题可以分成两类：一是在给定区间内求函数的最大值或最小值；二是求函数在无穷区间上的最大值或最小值。
另外，还存在一些特殊情况，即求函数在一些点上的最大值或最小值。
二、求解极值问题的基本方法1.函数一阶导数的求法及其性质求解极值问题的基础是函数的导数。
函数f(x)在x=a处的一阶导数定义为：$f'(a) = \lim \frac{f(a + h)-f(a)}{h}$它表示当x在a处发生微小变化时，函数f(x)在该点的斜率。
一阶导数f'(x)具有以下性质：（1）当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增；（2）当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减；（3）当f'(x) = 0时，函数f(x)可能取极值。
在求解极值问题时，需要先求出函数f(x)的一阶导数，然后解出它的零点，也就是导数为0的点，再判断各点处是否为函数的极值点。
2.区间最值对于一个区间[a,b]内的函数f(x)，求它在该区间上的最大值或最小值，通常的方法是先求出该区间内的所有极值点，然后判断这些点处哪个点对应的函数值最大或最小。
3.函数值对于一个函数f(x)，如果它需要求的是函数在某些点上的最大值或最小值，那么需要根据具体问题来求解，通常情况下，需要先根据函数的具体表达式，求出相应的函数值，然后比较大小。
2022年新高考数学难点解题方法突破《专题17 利用导数求函数的极值》(解析版)
专题17 利用导数求函数的极值一、多选题1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a bab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==3log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题. 2．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k > 【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x--'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当x>时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3．已知函数32()26f x x x x =-+-，其导函数为()'f x ，下列命题中为真命题的是（ ）A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是﹣6C ．过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切D ．()f x 有且只有一个零点 【答案】BCD 【分析】求出函数()f x 的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD 的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C 的真假． 【详解】因为2()341'=-+f x x x ，令()0f x '>，得13x <或1x >，则()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；令()0f x '<，得113x <<，则()f x 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以极小值为()160f =-<，极大值为11580327f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，而()36f =， 故()f x 存在唯一一个零点01,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，A 错误，B 、D 正确；设过点()0,0的直线与()y f x =的图象相切，切点为()()00,x f x ，因为()2000341f x x x '=-+，()32000026f x x x x =-+-，所以切线方程为()()()32000300042631y x x x x x x x --+-=-+-．将()0,0代入，得320030x x -+=．令32()3g x x x =-+，则2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以()g x 在(,0)-∞，2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 因为()290g -=-<，(0)30g =>，2770327g ⎛⎫=>⎪⎝⎭， 所以方程()0g x =只有一解，即过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切，故C 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．4．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()()0xf x xx =>，我们可以作变形：()ln ln xx xx x tf x x e e e ====()ln t x x =，所以()f x 可看作是由函数()t f t e =和()lng x x x =复合而成的，即()()0x f x x x =>为初等函数.根据以上材料，对于初等函数()()10xh x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1ee【答案】AD 【分析】将函数()h x 的解析式变形为()1ln xx h x e =，利用复合函数的求导法则可求得()h x '，利用导数可求得函数()h x 的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：()111ln ln xx x xxh x x ee===，所以()()111ln ln ln 2221111ln ln 1ln x x x xx x h x ex e x e x x xx x '⎛⎫⎛⎫'=⋅=-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x '=得x e =，当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增； 当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减. 所以()h x 有极大值且为()1e h e e =，无极小值. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.5．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是（ ） A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增 B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【答案】AC 【分析】首先根据题意设()()g x xf x =，得到ln ()'=xg x x，再求出()g x 的单调性和极值即可得到答案. 【详解】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=即ln [()]'=xxf x x，设()()g x xf x = ln ()01xg x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<< 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减即当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112==g f . 故选：AC 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题. 6．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为（ ）A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -D ．函数()f x 有且只有一个零点 【答案】BCD 【分析】由32()247f x x x x =---，知2()344f x x x '=--，令2()3440f x x x '=--=，得23x =-，22x =，分别求出函数的极大值和极小值，知A 错误，BD 正确；由2a >，2x >且x a ≠，令2()344g x x x =--利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故C 正确； 【详解】解：32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．令()0f x '=，解得23x =-，2x =， 当()0f x '>时，即23x <-，或2x >时，函数单调递增， 当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减； 故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f =-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2()03f -<， 故函数只有一个零点，A 错误，BD 正确；令2()344g x x x =--，则()64g x x '=-故在()2,+∞上()640g x x '=->，即2()344f x x x '=--在()2,+∞上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a >时，对任意的x a >，恒有()()()f x f a f a x a-'<-，即()()()()f x f a f a x a '>+-对任意的2x a <<，恒有()()()f x f a f a x a-'>-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，故C 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．二、单选题7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f【答案】A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A . 【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 8．下列关于函数2()(3)x f x x e =-的结论中，正确结论的个数是（ ）∴()0f x >的解集是{|x x <<；∴(3)f -是极大值，(1)f 是极小值； ∴()f x 没有最大值，也没有最小值； ∴()f x 有最大值，没有最小值； ∴()f x 有最小值，没有最大值. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】直接不等式()0f x >可判断∴∴对函数求导，求函数的极值，可判断∴∴利用导数求函数的最值可判断∴∴∴【详解】解：由()0f x >，得230x ->，即230x -<，解得x ()0f x >的解集是{|x x <<，所以∴正确；由2()(3)x f x x e =-，得'2()(23)x f x x x e =--+，令'()0f x =，则2x 2x 30--+=，解得3x =-或1x =，当3x <-或1x >时，'()0f x <，当31x -<<时，'()0f x >，所以(3)f -是极小值，(1)f 是极大值，所以∴错误；因为(3)f -是极小值，且当3x <-时，()0f x <恒成立，而(1)f 是极大值，所以()f x 有最大值，没有最小值，所以∴正确，∴∴错误， 故选：B 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 9．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：∴-3是函数y =f (x )的极值点； ∴y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ∴-1是函数y =f (x )的最小值点； ∴y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（ ）A ．∴∴B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故∴正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故∴正确；∴在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故∴不正确； ∴函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故∴不正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 1. 先求出原函数的定义域； 2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．10．已知函数()()1ln ,1,1,1,x x x f x x e x -≥⎧=⎨--⋅<⎩，函数()()()1g x f f x e =-零点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】令()f x t =，讨论t 的取值范围：当1t ≥时或当1t <时，可得()1ee f x =或()0f x =，讨论x 的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解. 【详解】令()f x t =，则()()1ln ,11e ,1t t t f t t t -≥⎧=⎨--⋅<⎩， （1）当1t ≥时，()1e f t =，即1e 1ln e et t =⇒=，即()1e e f x =. 当1≥x 时，1e ln e x =有一个解. 当1x <时，()1ex f x x -'=-，(),0x ∈-∞，0fx ；()0,1x ∈，0fx，且()10ef =.当1x <时，()111ee x x ---⋅≤，而1e 1e e>，所以方程()11e 1e x x e ---⋅=无解.（2）当1t <时，()1ef t =，由（1）知0t =，即()0f x =. 当1≥x 时，ln 0x =有一个解. 当1x <时，()10ef x <≤，所以()0f x =无解.综上，函数()g x 有两个零点. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题. 11．设函数()()23xf x x e =-，则（ ）A ．()f x 有极大值且为最大值B ．()f x 有极小值，但无最小值C ．若方程()f x b =恰有3个实根，则360b e <<D ．若方程()f x b =恰有一个实根，则36b e> 【答案】C 【分析】求导后求出函数的单调区间，再根据当(),3x ∈-∞-时，()0f x >；()()336336f f e e -=<=、()120f e =-<，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.【详解】()()23x f x x e =-，∴()()()()22331x x x f x xe x e x x e =+'=--+，∴当()(),31,x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(),3x ∈-∞-时，230x ->，0x e >，∴()0f x >， 再由()()336336f f e e-=<=，()120f e =-<，可画出函数图象草图， 如图，由图象可知，()3f -为函数的极大值但不是最大值，故A 错误；()1f 为函数的极小值，且为最小值，故B 错误；若要使()f x b =有3个实根，则要使函数y b =的图象与函数()f x 的图象有3个交点，则360b e <<，故C 正确；若要使()f x b =恰有一个实根，则要使函数y b =的图象与函数()f x 的图象仅有1个交点，则36b e >或2b e =-，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题. 三、解答题12．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x -=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值； （2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，1110x fx x x x，列表；所以，()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值； （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，10ax ，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax ，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>. 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面： （1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根； （3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性. 13．设函数()()2()ln 10f x x a x a =-+>.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极小值为1-；（2）2a e>. 【分析】（1）当2a =时，()()2()ln 10f x x a x a =-+>，对()f x 求导判断单调性、即可求得极值；（2）对()f x 求导，利用导函数得符号判断出()f x 的单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是0,2⎛ ⎝⎭，然后对参数a 进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数()f x 有2个零点时实数a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，当2a =时，()2()2ln 1f x x x =-+，2222()2x f x x xx -'=-=. 令'()0f x =，得1x =或1x =-（舍）.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 即()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()11f =-.无极大值 （2）函数的定义域为()0,∞+，令22'()20a x a f x x x x -=-==，则x =所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，'()0f x <；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，'()0f x >，所以()f x 的单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭.∴令0f =⎝⎭，得2a e =， 当2ae =，22()(ln 1)ef x x x =-+的最小值为0f =， 即22()(ln 1)e f x x x =-+有唯一的零点x =∴当20a e<<时，()2()ln 1f x x a x =-+的最小值为ln 122a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ln 10222a a f ⎛⎛⎫=-+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即()2()ln 1f x x a x =-+不存在零点；∴当2a e>时，()f x 的最小值ln 1022a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，又1e <2110e e f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上有唯一的零点，又当2a e >时，2a >，2()(ln 1)(ln 1)f a a a a a a a =-+=--， 令()ln 1g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-==，解得1x =， 可知()g x 在2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增， 所以()()10g a g ≥=，所以()0f a ≥，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上有唯一的零点∴ 所以当2a e>时，()f x 有2个不同的零点∴ 综上所述：实数a 的取值范围是2a e>. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．（1）已知32()f x x ax bx c =+++，()124g x x =-，若(1)0f -=，且()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()y g x =，求,,a b c 的值.（2）求函数()2cos f x x x =+在[]0,π上的极值.【答案】（1）3a =，3b =，1c =；（2）极大值为66f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，极小值为5566f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解； （2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解. 【详解】（1）因为(1)0f -=，所以10a b c -+-+=即1a b c -+=， 由32()f x x ax bx c =+++可得2()32f x x ax b '=++， 因为()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为14()2y g x x =-=，所以()()118f g ==，(1)12f '=，即18a b c +++=，3212a b ++=， 所以3a =，3b =，1c =；（2）由()2cos f x x x =+可得()12sin f x x '=-，所以当50,,66x πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当5,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 所以函数()f x 的单调递增区间为50,,,66πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数()2cos f x x x =+在[]0,π上的极大值为66f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，极小值为5566f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. 15．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+.(1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222xxf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值.【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-. 【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果. 【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立， 即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln x m x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立.设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1xe e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<，设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x→+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010xu e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增.()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 16．已知函数()2112f x x =，()2ln f x a x =（其中0a >）. （1）求函数()()()12f x f x f x =的极值；（2）若函数()()()()121g x f x f x a x =-+-在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个零点，求正实数a 的取值范围；（3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e+->.（说明：e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅） 【答案】（1）极小值为4a e -，无极大值；（2）2211,222e e e -⎛⎫⎪+⎝⎭；（3）证明见解析.【分析】（1）2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅，利用导数求出其单调性，然后可得极值； （2）21()ln (1)2g x x a x a x =-+-，利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解； （3）问题等价于求证223ln 4x x x x e >-；设23()4x x h x e =+，利用导数求出其最大值，然后证明()()min max f x h x >即可. 【详解】（1）∴2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅， ∴11()ln (2ln 1)(0,0)22f x ax x ax ax x x a '=+=+>>， 由()0f x '>，得12x e ->，由()0f x '<，得120x e -<<，故函数()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 的极小值为124af e e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）函数21()ln (1)2g x x a x a x =-+-， 则2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x g x x a x x x+--+-'=-+-==， 令()0g x '=，∴0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上单调递增.函数()g x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个零点，只需10(1)0()0g e g g e ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，故实数a 的取值范围是2211,222e e e -⎛⎫⎪+⎝⎭.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-∴由（1）知()2ln f x x x =的最小值为12e -. 设23()4x x h x e =+，(2)()xx x h x e '-=-，易知()h x 在()0,2上单调递增， 在()2,+∞上单调递减. ∴()()2max 4324h x h e ==-， ∴221433142442e e e e ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭2223216(38)(2)044e e e e e e---+==>， ∴()()minmax f x h x >，∴223ln 4xx x x e >-，故当0x >时，231ln 04x x x e +-> 【点睛】方法点睛∴已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解. 17．已知函数()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈． （1）设()()g x f x ='，求函数()g x 的极值；（2）若1a e≥，试研究函数()f x 的零点个数． 【答案】（1）极小值为()ln 1g a a =+，无极大值；（2）1个． 【分析】（1）先求得()g x ，然后求()g x '，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合单调性求得()g x 的极值.（2）首先判断()f x 在()0,∞+上递增，结合零点存在性定理判断出()f x 的零点个数.【详解】 （1）()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈，()()ln a g x f x x x ∴='=+，0x >．∴221()a x a g x x x x-'=-=， ∴当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上是增函数，无极值． ∴当0a >时，x a =，当(0,)x a ∈时，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x ∴的极小值()ln 1g a a =+，无极大值．（2）由（1）知，当1a e ≥时，()g x 的极小值()1ln 1ln 10eg a a =+≥+=，结合()g x 的单调性可知min ()0g x ≥，即()0f x '≥恒成立．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，1111112ln 0f a a a a e e e ee e e ⎛⎫⎛⎫=+-+=---+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2()ln 20e a e e f a e e a a e a e=+-+=+-+=≥>， ()f x ∴在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,中有一个零点，∴函数()()ln f x x a x x a =+-+的零点个数为1个．【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与x 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； 2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；3.分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题. 18．已知函数2()(1),x f x ax e a R =-∈，在1x =时取得极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）13；（2）函数()f x 的单调增区间是()()31-∞-+∞，，，，单调减区间是()3,1-.【分析】（1）利用极值定义，列式()01f '=，求出a 值并验证即可； （2）利用导数正负确定函数()f x 的单调区间即可. 【详解】解：（1）函数2()(1),x f x ax e a R =-∈，则2()(21)x f x ax ax e '=+-，函数在1x =时取得极值，故1(1)(21)=0f a a e '=+-，解得13a =，此时21()(1)3xf x x e =-，()()2121()(1)=31333x x f x x x e x x e '=+-+-，函数()f x 确实在1x =时取得极小值.故a 的值是13； （2）因为()()1()313x f x x x e '=+-，当()()31x ∈-∞-+∞，，时()0f x '>，当()3,1x ∈-时()0f x '<，故函数()f x 的单调增区间是()()31-∞-+∞，，，，单调减区间是()3,1-.19．已知函数32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，()()()g x f x f x '=+是奇函数. （1）求()f x 的表达式；（2）求函数()g x 的极值.【答案】（1）321()3f x x x =-+；（2）极大值3，极小值3-. 【分析】（1）求导2()32f x ax x b '=++，由()()()g x f x f x '=+得到()g x 的表达式，然后利用()g x 是奇函数求解.（2）由（1）知31()23g x x x =-+，求导2()2g x x '=-+，再利用极值的定义求解. 【详解】（1）函数32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，所以2()32f x ax x b '=++，所以()()32()312g x ax a x b x b =+++++，因为()g x 是奇函数∴ 所以()()g x g x -=-，所以3100a b +=⎧⎨=⎩，解得130a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()f x 的表达式为321()3f x x x =-+. （2）由（1）知31()23g x x x =-+， 则2()2g x x '=-+，当x <x >()0g x '<，()g x 递减；当x <<()0g x '>，()g x 递增；所以当x =()g x当x =()g x 取得极小值3-. 【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数()()ln f x ax b x =+.（1）当1,0a b ==时，求函数()y f x =的极值； （2）当1,1a b ==时，求不等式()22f x x ≥-的解集；（3）当1,1a b ==时，若当()1,x ∈+∞，恒有()()1f x x λ>-成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 有极小值1e-，无极大值；（2）[1,)+∞；（3）2λ≤. 【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0f x '=，列表判断单调性，即得极值情况；（2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)F x F ≥，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果；【详解】（1）当1,0,()ln ,()1ln a b f x x x f x x '====+，定义域()0,∞+令()1ln 0f x x '=+=，得1=x e列表如下：∴当1=x e时，()f x 有极小值1111ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅令()()(22)(1)ln (22)F x f x x x x x =--=+⋅--1()ln 1F x x x'=+- 令221111()ln 1,()x u x x u x x x x x'-=+-=-= 列表如下：当1x =时，()u x 有极小值(1)ln1110u =+-=()0u x ∴≥，即()0F x '≥()F x ∴在(0,)+∞单调递增，(1)0F =，故不等式()22f x x ≥-即()0(1)F x F ≥=，故解集为[1,)+∞；（3）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立，即(1,)x ∈+∞，恒有()(1)0f x x λ-->成立.令()()(1)(1)ln (1)G x f x x x x x λλ=--=+--1()ln 1G x x xλ'=++- 令1()ln 1v x x x λ=++-，21()x v x x'-= (1,),()0,()x v x v x '∈+∞∴>∴在(1,)+∞单调递增，()(1)2v x v λ∴>=-∴若20λ-≥，即2λ≤，()0v x >，即()0G x '>，即()G x 在(1,)+∞单调递增.(1,)x ∈+∞()(1)0G x G ∴>=成立.即2λ≤时，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立.∴若20λ-<，即2λ>，取1x e λ=>()11ln 110v e e e eλλλλλ=++-=+> ()v x 在(1,)+∞单调递增，()01,x e λ∴∃∈，使得()00v x =，∴当()01,,()0x x v x ∈<，即()0'<G x ，()G x ∴在()01,x 上单调递减()0(1)0G x G ∴<=，∴当(1,)x ∈+∞时，()0G x >不恒成立，即()(1)f x x λ>-不恒成立. 综上：2λ≤. 【点睛】利用导数研究函数()f x 极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 21．已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R ). （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）21e ⎡⎤⎣⎦，.【分析】(1)先写定义域求导，对a 分类讨论研究函数导数的正负，即确定函数的单调性和极值情况；(2) a ＝2时令ln x t =化简不等式得()22242t t m t e e t t ⋅+≥++，讨论t 进行参数分离，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题，即得结果. 【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()ln 2f x a x a '=++ ∴（i ）当a =0时，()20f x '=>恒成立，则()f x 在定义域上单调递增，此时无极值；（ii ）当a ≠0时，()2ln 1f x a x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭'，可令()0f x '=，解得21a x e --=， 所以∴当0a >时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减；当21ax e-->时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增，则()f x 的极小值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极大值；∴当0a <时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增；当21ax e-->时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减，则()f x 的极大值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极小值；综上所述，当a =0时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值21a ae ---，无极大值；当0a <时，()f x 有极大值21a ae ---，无极小值.（2）若a ＝2，()2ln 2f x x x x =+，不等式化为()()22ln 2ln 4ln 2m x x x x x +≥++则令[)ln 2x t t =∈-+∞，，，则不等式化为()22242t t m t e e t t ⋅+≥++， 所以∴当21t -≤≤-时，参变分离得()2242422222t t t t t t t m t e e e t ++++≤=⋅++，设()()24222t t t g t e t ++=+，()()()()()()22222242202221t t t e t t t t t g t e t e t +--'-+==>++， 则()g t 在[]21--，上单调递增，∴()()2min 2m g t g e ≤=-=. ∴当1t =-时，不等式化为0>-1，显然成立.∴当1t >-时，()24222t t t m e t ++≥+，则()()()22221t t t g t e t -+=+'，可令()0g t '=，解得0t =， 且当10t -<<时，()0g t '>，即()g t 单调递增；当0t >时，()0g t '<，即()g t 单调递减，所以()()max 01g t g ==，所以()max 1m g t ≥=.综上所述，要使不等式恒成立，需实数m 的取值范围为21e ⎡⎤⎣⎦，.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 22．已知函数()2xf x x e =⋅.（1）求()f x 的极值；（2）若函数()y f x ax =-在定义域内有三个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）极大值为24e ，极小值为0；（2）10a e-<<. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2x y x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22x f x e x x '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =， 当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增， 当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e -=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2x y x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”. 令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减； 当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增； 当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e -=-<，即1a e>-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根， 所以0a <. 综上，10a e-<<. 【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 23．函数()32392f x x x x =-++-.（1）求()f x 的极大值和极小值；（2）已知()f x 在区间D 上的最大值为20，以下3个区间D 的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？请说明理由.∴3,2；∴[]22-,；∴[]3,1- 【答案】（1）极大值25，极小值-7；（2）区间∴∴不符，区间∴符合，理由见解析. 【分析】（1）先求解出()f x '，根据()0f x '=分析得到()f x 的单调性，从而()f x 的极值可求；（2）根据()f x 在所给区间上的单调性以及极值，分析得到()f x 的最大值，由此判断所给区间是否符合条件. 【详解】(1) ()()()2369313f x x x x x '=-++=-+-，令()0f x '=，1x ∴=-或3x =，当(),1x ∈-∞-时()0f x '<，当()1,3x ∈-时()0f x '>，当()3,x ∈+∞时()0f x '<，()f x ∴在(),1-∞-和()3,+∞上单调递减，在()1,3-上单调递增，()f x ∴的极大值为()32333393225f =-+⨯+⨯-=，()f x 极小值为()113927f -=+--=-(2)当区间D 为∴时，()f x ∴[)3,1--上递减，在(]1,2-上递增，()323=3333922520f --+⋅+⨯-=>，()283492220f =-+⨯+⨯-=， 所以()max 25f x =，不符合；当区间D 为∴时，()f x 在[)2,1--上递减，在(]1,2-上递增，()2834292020f -=+⨯-⨯-=<，()283492220f =-+⨯+⨯-=，所以()max 20f x =，符合；当区间为∴时，()f x ∴[)3,1--上递减，在(]1,1-上递增，()323=3333922520f --+⋅+⨯-=>，()113929f =-++-=， 所以()max 25f x =，不符合， 综上可知：区间∴∴不符，区间∴符合. 【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间[],a b 不含参数，则只需对()f x 求导，并求()0f x '=在区间[],a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间[],a b 含有参数，则需对()f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数()f x 的最值.24．已知函数()xxf x xe e m =-+.（1）求函数()f x 的极小值；（2）关于x 的不等式()30f x x -<在1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m -；（2）(),1-∞. 【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极小值；（2）由参变量分离法得出3x x m x e xe <+-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()3x xg x x e xe =+-，可得出()max m g x <，利用导数求出函数()g x 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）因为()xxf x xe e m =-+，所以，()()1xxxf x x e e xe '=+-=.当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<. 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为()01f m =-； （2）由()30f x x -<得3x x m x e xe <+-，令()3x x g x x e xe =+-，由()30f x x -<在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解知，()max m g x <，()()23e 3x x g x x x x x e '=-=-，令()3xh x x e =-，则()3xh x e '=-.。
《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述