时间复杂度的计算
数据结构--时间复杂度的算法
数据结构--时间复杂度的算法前前⾔what is O?:"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表⽰存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满⾜0≤T(n)≤C?f(n)。
"⽤容易理解的话说就是这两个函数当整型⾃变量n趋向于⽆穷⼤时，两者的⽐值是⼀个不等于0的常数。
前⾔算法很重要，但是⼀般情况下做移动开发并不经常⽤到，所以很多同学早就将算法打了个⼤礼包送还给了⽼师了，况且很多同学并没有学习过算法。
这个系列就让对算法头疼的同学能快速的掌握基本的算法。
过年放假阶段玩了会游戏NBA2K17的⽣涯模式，没有⽐赛的⽇⼦也都是训练，⽽且这些训练都是⾃发的，没有⼈逼你，从早上练到晚上，属性也不涨，但是如果⽇积⽉累，不训练和训练的⼈的属性值就会产⽣较⼤差距。
这个突然让我意识到了现实世界，要想成为⼀个球星（技术⼤⽜）那就需要⽇积⽉累的刻意训练，索性放下游戏，接着写⽂章吧。
1.算法的效率虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输⼊数据的⼤⼩和算法效率来消耗⼀定的处理器资源。
要想编写出能⾼效运⾏的程序，我们就需要考虑到算法的效率。
算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：时间复杂度：评估执⾏程序所需的时间。
可以估算出程序对处理器的使⽤程度。
空间复杂度：评估执⾏程序所需的存储空间。
可以估算出程序对计算机内存的使⽤程度。
设计算法时，⼀般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取⼀个平衡点。
不过，时间复杂度要⽐空间复杂度更容易产⽣问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。
2.时间复杂度时间频度⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运⾏测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
时间复杂度概念
for（i=1;i<=n;++i） { for(j=1;j<=n;++j) { c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2 for(k=1;k<=n;++k) c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤 属于基本操作 执行次数：n^3 } } 则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级 则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c 则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3) 四、定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的 时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间 复杂性”。 我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂 性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立 f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时 候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这 个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。 “大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规 模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过 logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n
则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
for(k=0;k<j;k++) x=x+2; } } 解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所 以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1) (n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3). 我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到 几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时 间运行。 下面是一些常用的记法： 访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能 在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时 间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘 算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起， 所有元素的个数是n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集 合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一 般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个 元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡 回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的 遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。
- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。
例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。
2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。
例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。
3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。
然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
卢卡斯定理的时间复杂度
卢卡斯定理的时间复杂度卢卡斯定理是数论中的一个重要定理，用于求解模线性方程的解。
它的时间复杂度即为我们在使用这个定理时所需的计算时间。
本文将围绕卢卡斯定理的时间复杂度展开讨论，重点介绍其计算过程，分析时间复杂度的来源，并探讨如何优化计算效率。
我们来回顾一下卢卡斯定理的表述。
卢卡斯定理是中国剩余定理的一个特例，用于求解形如x ≡ b (mod mi)的模线性方程。
其中，x 表示待求解的未知数，b表示给定的常数，mi表示给定的模数。
卢卡斯定理的表述如下：若mi是互质的正整数序列，mi = m1 * m2 * ... * mk，其中gcd(mi, mj) = 1 (1 ≤ i, j ≤ k，且i≠j)，则对于给定的常数b和模数mi，存在唯一解x0，满足x0 ≡ b (mod mi)。
为了求解模线性方程的解，我们需要进行以下步骤：1. 对于给定的mi，首先计算mi的质因数分解。
这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
2. 对于每个mi，计算mi的欧拉函数φ(mi)。
欧拉函数的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
3. 对于每个mi，计算mi的逆元mi_inv。
逆元的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
4. 对于给定的常数b和模数mi，计算x0 ≡ b (mod mi)的解。
这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
求解模线性方程的时间复杂度为O(log(mi))。
在实际应用中，mi的取值通常较小，因此时间复杂度一般较低。
然而，在某些情况下，mi的取值可能会很大，导致时间复杂度的增加。
为了优化计算效率，我们可以采用以下方法：1. 使用快速幂算法计算mi的质因数分解和欧拉函数。
快速幂算法是一种高效的指数运算算法，能够在O(log(mi))的时间复杂度内完成计算。
2. 使用扩展欧几里德算法计算mi的逆元。
二叉树的复杂度计算公式
二叉树的复杂度计算公式二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学中扮演着非常重要的角色。
在实际应用中，我们经常需要对二叉树的复杂度进行计算。
二叉树的复杂度计算涉及到许多方面，如平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度等。
在接下来的内容中，我们将介绍二叉树的复杂度计算公式，详细说明各种复杂度的计算方法。
二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
在二叉树中，每个节点都有一个值，用来存储数据。
节点之间通过边相连，形成一个层次结构。
二叉树的一个特点是，每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，另一个称为右子节点。
1.平均时间复杂度平均时间复杂度是指对于具有相同大小输入的所有可能输入实例，算法的期望运行时间。
在计算平均时间复杂度时，我们通常采用平均情况分析的方法。
平均时间复杂度的计算公式如下所示：T(n)=Σ(Ti)/N其中，T(n)表示算法的平均运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，N表示所有可能输入实例的个数。
2.最坏时间复杂度最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的运行时间。
在计算最坏时间复杂度时，我们通常采用最坏情况分析的方法。
最坏时间复杂度的计算公式如下所示：T(n) = max{Ti}其中，T(n)表示算法的最坏运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，max{}表示所有输入实例中的最大值。
3.空间复杂度空间复杂度是指在运行算法时所需的内存空间大小。
空间复杂度的计算公式如下所示：S(n)=Σ(Si)/N其中，S(n)表示算法的空间复杂度，Si表示第i个输入实例的内存空间大小，N表示所有可能输入实例的个数。
总结二叉树作为一种常见的数据结构，在计算机科学中应用广泛。
对于二叉树的复杂度计算，我们可以通过平均时间复杂度、最坏时间复杂度和空间复杂度等指标来评估算法的性能。
掌握二叉树复杂度计算的方法，有助于我们更好地分析和优化算法，在实际应用中取得更好的性能表现。
时间、空间复杂度例题
时间、空间复杂度例题（原创版）目录1.引言2.时间复杂度和空间复杂度的定义3.例题解析3.1 例题一3.2 例题二4.总结正文【引言】在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。
它们可以帮助我们了解算法在运行时所需的时间和空间资源，从而更好地选择合适的算法来解决实际问题。
本文将通过两个例题来介绍时间复杂度和空间复杂度的概念及其计算方法。
【时间复杂度和空间复杂度的定义】时间复杂度表示算法在运行时所需的时间资源，通常用大 O 符号（O）表示，它描述了输入规模（n）与所需执行时间的关系。
空间复杂度则表示算法在运行时所需的空间资源，也用大 O 符号表示，它描述了输入规模（n）与所需空间的关系。
【例题解析】例题一：计算一个数组中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个整数数组 nums 和目标值 target，判断数组中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
遍历数组，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其索引存入哈希表。
时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组的长度。
因为需要遍历整个数组。
空间复杂度：O(n)，因为需要使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
例题二：计算一个矩阵中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个二维整数数组 matrix，目标值 target，判断矩阵中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储矩阵中的元素。
遍历矩阵，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其所在的行和列存入哈希表。
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为矩阵的行数或列数。
因为需要遍历整个矩阵。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式
摘要：
1.递归时间复杂度计算的基本概念
2.递归时间复杂度的分类
3.递归时间复杂度计算的具体方法
4.递归时间复杂度在实际问题中的应用
正文：
一、递归时间复杂度计算的基本概念
在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。
递归时间复杂度是指在计算过程中所需要的基本运算次数，通常用来衡量算法的效率。
递归时间复杂度与递归深度有关，递归深度是指函数调用自身的层数。
二、递归时间复杂度的分类
递归时间复杂度可以分为两类：一类是递归的时间复杂度为O(f(n))，另一类是递归的时间复杂度为O(g(n))。
其中，O(f(n)) 表示随着n 的增大，时间复杂度会无限增大；O(g(n)) 表示时间复杂度是一个常数，与n 无关。
三、递归时间复杂度计算的具体方法
递归时间复杂度计算的具体方法通常采用主定理。
主定理的内容是：若递归函数的时间复杂度为O(f(n))，则递归函数的时间复杂度为O(f(n))。
若递归函数的时间复杂度为O(g(n))，则递归函数的时间复杂度为O(g(n))。
四、递归时间复杂度在实际问题中的应用
递归时间复杂度在实际问题中的应用非常广泛，例如在计算阶乘、汉诺塔
等问题中都会涉及到递归时间复杂度的计算。
通过计算递归时间复杂度，我们可以更好地了解算法的效率，为选择合适的算法提供依据。
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分治策略的算法分析工具：递推方程 两类递推方程
如：汉诺塔
f ( n) a i f ( n i ) g( n)
i 1
k
n f ( n) af ( ) d ( n) b
如：快速排序
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递推方程的解
方程
T (n) aT(n / b) d (n)
O ( n log b a ) a 1 T ( n) O (log n) a 1
ab O( n) T ( n) O( n logn) a b O( n log b a ) a b
d(n)为常数
d(n) = cn
影响复杂性的主要因素：子问题个数，合 并开销函数。
如何计算算法时间复杂度
计算算法时间复杂度过程： （1）确定基本操作 （2）构造基于基本操作的函数解析式 （3）求解函数解析式
如果构建的是递推关系式，那么常 用的求解方法有： （1）前向替换法 可以从初始条件给出的序列初始项 开始，使用递推方程生成序列的前面 若干项，寄希望于从中找出一个能够 用闭合公式表示的模式。如果找到了 这样的公式，我们可以用两种方法对 它进行验证：第一，将它直接代入递 归方程和初始条件中。第二，用数学 归纳法来证明。
T (1) 1 T (n) m T(n / m) O(n)
算法的复杂度有两部分决定：递归和合并， 递归的复杂度是：n， 合并的复杂度是 nlogn。
减治法的基本思想
• 将规模为n的问题递减为规模为n-1或n/2的子问题
,反复递减后对子问题分别求解,再建立子问题的解 与原问题的解的关系。 • 减治法有两个变形: 减因子(如1/2):每次迭代规模减半n→ n/2 减可变规模:每次迭代减小的规模不同
X(n)=x(0)+1+2+3+4+5…+n=0+1+2+3=4 = n(n+1)/2
（3）换名
f (n) f (n / k ) b
上面形式的在递推关系式，一个规模为n的问题， 每一次递归调用后，都简化为n/k规模的问题，为了 方便求解，我们通常设定：n=km， 则，上面的求解过程可简化为： f(n)= f(km-1)+b = f(km-2)+2b =… = f(k0)+mb = f(1) + blog n
第二种递归调用，每次规模是原来的1/2：
1 T (n) T (n / 2) (n 1)
设 n = 2k： T(n) = T(n/2) + (n-1)
n 1 n 1
因为每一次规模都减到原来的1/2，所以用换名的方法
= T(2k-1) + (2k-1)
=[T(2k-2) + (2k-1-1)]+ (2k-1) =… =[T(2k-k) + (21-1)] + … +(2k-1-1) +(2k-1) =T(1)+[(2k+1-2)-k]
=2n-logn-1
算法时间复杂度：O(n) 分析：
1 T (n) T (n / 2) (n 1) n 1 n 1
算法的复杂度有两部分决定：递归和合并， 递归的复杂度是：logn， 合并的复杂度是 n。
第三种递推关系式：
T (2) 1 T (n) 2T (n / 2) O(n)
T(n)=2T(n/2) +n 设n= 2k =2T(2k-1)+2k =2[2T(2k-2)+2k-1]+2k =22T(2k-2)+2*2k =… =2k-1T(2k-(k-1)) + (k-1)*2k =n/2 + (logn-1) *n
不失一般性，设规模为n的问题，每一次有 分解为m个子问题，设n =mk，则：
T (1) 1 T (n) mT(n / m) O(n)
T(n)=mT(n/m) +n =mT(mk-1)+mk =m[mT(mk-2)+mk-1]+mk =m2T(mk-2)+2*mk =… =mkT(2k-k) + k*mk =n + logn *n
算法时间复杂度：O(nlogn) 分析：
第一种递归关系式：
1 C ( n) C ( n / 2) 1
n 1 n 1
因为规模每一次递归调用后，缩减为原来的1/2，所以采用换 名方法求解，设 n = 2k：
C(n) = C(2k)= C(2k-1)+1 = C(2k-2) + 2 =… =C(2k-k)+k =C(1) + k = logn+1
递归复杂性的一般形式
• 一般的，递归复杂性可描述为递归方程： f(n) = 1 n=1 af(n ~ b) + D(n示递减方式， b是递减步长， D(n)是合成子问题的开销。 • 通常，递归元的递减方式~有两种： 递推法 1、减法，即n – b，的形式。 分治法 2、除法，即n / b，的形式；
例如，考虑如下递推式： X(n) = 2X(n-1) +1 n>1 X(1) = 1 x(1)=1 x(2)=2x(1)+1 = 2*1+1=3 x(3)=2x(2)+1=2*3+1=7 x(4)=2x(3)+1=2*7+1=15
X(n)=2^n-1
n>0
（2）反向替换法
例如：X(n)=x(n-1)+n 使用所讨论的递推关系，将x(n-1)表 示为x(n-2)得函数，然后把这个结果 代入原始方程，来把x(n)表示为x(n-2) 的函数。重复这一过程。