算法的时间复杂度
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算法的时间复杂度 Prepared on 22 November 2020
时间复杂度:如果一个问题的规模是n,解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n),它是n的某一函数,T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。渐近时间复杂度:当输入量n逐渐加大时,时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。
当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1)、对数阶
O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
下面我们通过例子加以说明,让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 ,
g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^+5000nlgn
请判断下列关系是否成立:
(1) f(n)=O(g(n))
(2) g(n)=O(f(n))
(3) h(n)=O(n^
(4) h(n)=O(nlgn)
这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)),这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数,则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤Cf(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来,就好计算了吧。
◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的。
◆(2)成立。与上同理。
◆(3)成立。与上同理。
◆(4)不成立。由于当n→∞时n^比nlgn递增的快,所以h(n)与nlgn的比值不是常数,故不成立。
2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0
while(i { k=k+10*i;i++; } 解答:T(n)=n-1, T(n)=O(n),这个函数是按线性阶递增的。 (2) x=n; 交换i和j的内容 sum=0;(一次) for(i=1;i<=n;i++) (n次) for(j=1;j<=n;j++) (n^2次) sum++;(n^2次) 解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) . for (i=1;i { y=y+1; ① for (j=0;j<=(2*n);j++) x++; ② } 解:语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n) . a=0; b=1; ① for (i=2;i<=n;i++) ② { s=a+b;③ b=a;④ a=s;⑤ } 解:语句1的频度:2, 语句2的频度: n, 语句3的频度: n-1, 语句4的频度:n-1, 语句5的频度:n-1, T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n). O(log2n ) . i=1; ① while (i<=n) i=i*2; ② 解:语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n 取最大值f(n)= log2n, T(n)=O(log2n ) O(n^3) . for(i=0;i { for(j=0;j { for(k=0;k x=x+2; } } 解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n- 1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3). 我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n^2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。下面是一些常用的记法: 访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在这个问题中增加一个元素