算法的时间复杂度计算

for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x++;
它的时间复杂度是多少？
自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷；
（1）时间复杂性是什么？
时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行
a[i]=1+2+3+...+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a[1]+...+a[i]+..+a[n];
a[1]+...+a[i]+..+a[n]
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)
=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*(n-(n-1))
=n+2n+3n+...+n*n-(2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1))
=n(1+2+...+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+...+n*(n-1))
=n(n(n+1))/2-[(2*2+3*3+...+n*n)-(2+3+4+...+n)]
=n(n(n+1))/2-[(1*1+2*2+3*3+...+n*n)-(1+2+3+4+...+n)]
=n(n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
所以最后结果是O(n^3)。

【转】时间复杂度的计算
算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，
下面我们就这个问题给各位考生进行分析。

首先了解一下几个概念。

一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。

前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。

但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。

以保证算法的运行时间不会比它更长。

常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。

下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。

1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
请判断下列关系是否成立：
（1）f(n)=O(g(n))
（2）g(n)=O(f(n))
（3）h(n)=O(n^1.5)
（4）h(n)=O(nlgn)
这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。

"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。

这么一来，就好计算了吧。

◆(1)成立。

题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。

◆（2）成立。

与上同理。

◆（3）成立。

与上同理。

◆（4）不成立。

由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，
故不成立。

2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

(1) i=1; k=0
while(i<n)
{ k=k+10*i;i++;
}
解答：T(n)=n-1，T(n)=O(n)，这个函数是按线性阶递增的。

(2) x=n; // n>1
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。

(3) x=91; y=100;
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x++;
解答：T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n 没有? 没。

这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。

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1.1 大O表示法
上学的时候就学习了大O表示法表示一个算法的效率，也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? （我用^2表示平方，同理^3表示立方）。

但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。

1.1.1 定义
设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：
int seqsearch( int a[], const int n, const int x)
{
int i = 0;
for (; a[i] != x && i < n ; i++ );
if ( i == n) return -1;
else return i;
}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。

在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。

对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:
f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n)
这就是传说中的大O函数的原始定义。

1.1.2 用大O来表述
要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。

对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得T(n) <= c*f(n)对于所有的n >= n0 都成立。

则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。

这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。

这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。

对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。

1.1.3 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) )
1.1.4 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
1.1.5 一个特例
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝O(c)，c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

1.1.6 一个经验规则
有如下复杂度关系
c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、log2N 、n 、n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高，如果是2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

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