合并算法时间复杂度计算
mergesort算法复杂度递推公式
mergesort算法复杂度递推公式Mergesort算法的复杂度递推公式基于其分治策略。
Mergesort首先将数组分成两半，然后对每一半进行排序，最后将两个已排序的半部分合并成一个完整的排序数组。
假设T(n)表示对大小为n的数组进行排序所需的时间，那么我们可以得到以下的递推关系：
T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n
其中T(n/2)表示对大小为n/2的两个子数组进行排序所需的时间，而最后的n表示合并两个已排序的子数组所需的时间。
这个递推关系可以进一步转化为：
T(n) = 2T(n/2) + n
然后利用等比数列求和公式，我们可以得到：
T(n) = 2^log2(n) T(1) + n log2(n)
其中T(1)表示对一个元素进行排序所需的时间，通常可以看作常数。
所以，最终我们得到：
T(n) = O(n log2(n))
这个结果表示Mergesort算法的时间复杂度是O(n log n)。
两数组合并排序算法
两数组合并排序算法数组是一种常见的数据结构，它可以存储一组相同类型的元素。
在编程中，合并和排序两个数组是一项常见的任务。
本文将介绍几种常见的数组合并排序算法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 暴力法：最简单的方法是将两个数组合并为一个新数组，然后对新数组进行排序。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是两个数组的长度之和。
实现代码：```def merge_sort(arr1, arr2):merged = arr1 + arr2merged.sortreturn merged```该方法的主要缺点是需要额外的空间来存储合并后的数组，并且排序的时间复杂度较高。
2. 归并排序：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后将两个有序子数组合并为一个有序数组。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是数组的长度。
实现代码：```def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):merged = []i,j=0,0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:merged.append(left[i])i+=1else:merged.append(right[j])j+=1while i < len(left):merged.append(left[i])i+=1while j < len(right):merged.append(right[j])j+=1return merged```归并排序的主要优点是稳定性，它保持相等元素的相对顺序。
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度的计算公式算法时间复杂度是算法效率的一种度量方式，通常用大O符号来表示，例如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
在计算算法时间复杂度时，需要考虑算法中各种操作的时间复杂度，并将它们合并为总时间复杂度。
以下是常见的算法操作时间复杂度：1. 常数级别：O(1)2. 对数级别：O(logn)3. 线性级别：O(n)4. 线性对数级别：O(nlogn)5. 平方级别：O(n^2)6. 立方级别：O(n^3)7. 指数级别：O(2^n)计算总时间复杂度的公式如下：1. 顺序执行的操作，时间复杂度直接相加。
例如，若有操作A、B、C，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)、O(c)，则总时间复杂度为O(a + b + c)。
2. 嵌套执行的操作，时间复杂度取最大值。
例如，若有操作A、B，操作A执行了n次，每次的时间复杂度为O(n)，操作B的时间复杂度为O(nlogn)，则总时间复杂度为O(n*nlogn)，即O(n^2logn)。
3. 分支语句的时间复杂度为其中时间复杂度最大的分支的时间复杂度。
例如，若有分支语句，分别包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则分支语句的时间复杂度为O(max(a,b))。
4. 循环结构的时间复杂度为循环次数乘以循环体的时间复杂度。
例如，若有循环结构，循环次数为n，循环体包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则循环结构的时间复杂度为O(n*max(a,b))。
综上所述，计算算法总时间复杂度需要考虑各个操作的时间复杂度以及它们的执行顺序、嵌套关系、分支和循环结构。
实现顺序表的各种基本运算的算法
实现顺序表的各种基本运算的算法1. 初始化顺序表算法实现：初始化操作就是将顺序表中所有元素的值设置为默认值，对于数值类型，可以将其设置为0，对于字符类型，可以将其设置为空格字符。
初始化的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表的长度。
2. 插入操作算法实现：顺序表的插入操作就是在指定位置上插入一个元素，需要将该位置后面的元素全部后移，在指定位置上插入新元素。
若顺序表已满，则需要进行扩容操作，将顺序表长度扩大一倍或者按一定的比例扩大。
插入操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表长度。
3. 删除操作算法实现：顺序表的删除操作需要将指定位置上的元素删除，并将该位置后面的元素全部前移。
删除操作后，如果顺序表的实际长度小于等于其总长度的1/4，则需要进行缩容操作，将顺序表长度缩小一倍或者按一定的比例缩小。
删除操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表长度。
4. 修改操作算法实现：顺序表的修改操作就是将指定位置上的元素赋予新的值。
修改操作的时间复杂度为O(1)。
5. 查找操作算法实现：顺序表的查找操作就是在顺序表中找到指定位置的元素，并返回其值。
查找操作的时间复杂度为O(1)。
6. 遍历操作算法实现：顺序表的遍历操作就是依次访问顺序表中的每个元素，遍历操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表的长度。
7. 合并操作算法实现：顺序表的合并操作就是将两个顺序表合并成一个新的顺序表，新的顺序表的长度为两个顺序表的长度之和。
合并操作的时间复杂度为O(n)，其中n为两个顺序表的长度之和。
总结：顺序表是一种简单而高效的数据结构，其基本运算包括初始化、插入、删除、修改、查找、遍历和合并等操作。
其中，插入、删除、遍历和合并操作的时间复杂度比较高，需要进行相应的优化处理。
同时，在实际应用中，还需要注意顺序表的扩容和缩容操作，避免造成资源浪费或者性能下降。
二分归并排序的时间复杂度以及递推式
一、简介二分归并排序是一种常见的排序算法，它通过将问题分解为子问题，并将子问题的解合并来解决原始问题。
该算法的时间复杂度非常重要，因为它直接影响算法的效率和性能。
在本文中，我们将深入探讨二分归并排序的时间复杂度，并通过递推式来进一步分析算法的性能。
二、二分归并排序的时间复杂度1. 分析在二分归并排序中，时间复杂度可以通过以下三个步骤来分析：- 分解：将原始数组分解为较小的子数组。
- 解决：通过递归调用来对子数组进行排序。
- 合并：将排好序的子数组合并为一个整体有序的数组。
2. 时间复杂度在最坏情况下，二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这是因为在每一层递归中，都需要将数组分解为两个规模近似相等的子数组，并且在每一层递归的最后都需要将这两个子数组合并起来。
可以通过递推式来进一步证明算法的时间复杂度。
3. 递推式分析我们可以通过递推式来分析二分归并排序的时间复杂度。
假设对规模为n的数组进行排序所需的时间为T(n)，则可以得到以下递推式：T(n) = 2T(n/2) +其中，T(n/2)表示对规模为n/2的子数组进行排序所需的时间表示将两个子数组合并所需的时间。
根据递推式的定义，我们可以得到二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
三、结论与个人观点通过以上分析，我们可以得出二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这意味着该算法在最坏情况下也能保持较好的性能，适用于大规模数据的排序。
我个人认为，二分归并排序作为一种经典的排序算法，其时间复杂度的分析对于理解算法的工作原理和性能至关重要。
通过深入研究递推式，可以更加直观地理解算法的性能表现，为进一步优化算法提供了重要的参考依据。
四、总结在本文中，我们探讨了二分归并排序的时间复杂度，通过分析和递推式的方式深入理解了该算法的性能表现。
通过对时间复杂度的分析，我们对算法的性能有了更深入的认识，并且能够更好地理解算法在实际应用中的表现。
相信通过本文的阅读，读者能够对二分归并排序有更全面、深刻和灵活的理解。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
时间复杂度的计算方法
时间复杂度的计算方法
时间复杂度是算法执行时间的度量，通常使用“大O符号”（O）来
进行表示，即O(f(n))。
其中，f(n)是问题规模n的函数。
时间复杂度的计算方法通常可以通过以下步骤来实现：
1.确定算法的基本操作，通常是循环、判断、赋值等。
2.分析算法执行次数与问题规模n之间的关系，计算时间复杂度。
3.使用大O符号来表示时间复杂度，通常使用以下几种表示形式：
-O(1)：表示算法执行时间与问题规模n无关，即为常数时间复杂度，例如对数器等。
- O(logn)：表示算法执行时间随着问题规模 n 增大而增大，但增长
速度很慢，通常是二分法等。
-O(n)：表示算法执行时间与问题规模n成正比，即为线性时间复杂度，例如顺序搜索等。
- O(nlogn)：表示算法执行时间随着问题规模 n 增大而增大，但增
长速度比线性更快，例如快速排序等。
-O(n^2)：表示算法执行时间随着问题规模n增大而平方增大，即为
平方时间复杂度，例如冒泡排序等。
通常来说，时间复杂度的计算方法需要结合具体问题和算法来进行分析，需要不断进行实践和积累经验。
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
Page 3
2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
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<= 2T(n/2) + O(n), （当 n > 2时，T(2) <= c）
T(n) <= 2T(n/2) + cn
从这个关系式中并不能明显看出 T(n) 是什么类型的函数， 所以我们需要想办法解出这个关系式，也就是递归求解。
方法求解有两种基本的方法：
1、最自然的方法是展开关系式，通过分 析最初几级的运行时间来得到一个通式， 或者说是规律，然后把每一级的运行时 间相加，即求得总的运行时间。 2、第二种方法是先猜出一个觉得合理的 解，然后代入原来的关系式中验证。
现在问题变成了求 当a>1, b>1时 所以 。这里用上对数的换底公式， 。
最终得到
从结果看得出，运行时间是大于线性的因为 q=4时运行时间是O(n2)。 。
q=1的情况:
•分析：第0级时，只有一个大小为n的问题，需要cn时 间。第1级时，问题大小为n/2，需要cn/2时间。第2级 时，问题大小为n/4，需要cn/4时间。 •规律：我们看到在任意级j都只有一个问题，大小为 n/2j，需要cn/2j时间来完成。
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q>2的情况：
还是采用基本的步骤展开：
•分析：这里我们假设 q=3。在第0级时，只有一个 大小为n的问题，需要cn时间。在第1级，我们有q个 子问题，每个大小n/2，需要cn/2时间，所以总的时 间为(q/2)cn。在第2级，有q2个字问题，每个大小 n/4，需要cn/4时间，总的时间为(q2/4)cn。
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数， 它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于 代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复 杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶 项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可 被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷 时的情况。
用 T(n) 表示输入大小为 n 的数组时合并排序最坏 的运行时间。假设 n 是偶数。排序需要 O(n) 时间 把输入分成两个大小为 n/2 的子数组，然后对每个 子数组排序需要 T(n/2)。最后需要 O(n) 把结果合 并起来。所以我们得到这个关系式：
•得出规律：在任意一级j，有qj个字问题，每个大 小为n/2j，所以总的时间为qj(cn/2j) = (q/2)jcn。 求和：对于大小为n的问题，总的层数还是不变，所 以
令 r = q/2，则上式变成了
这里用到了几何级数的一个公式。如果我们有
等式两边同时乘以r得到
两式相减得到
所以
回到T(n)上来。因为r=q/2是常数，所以
展开递归式基本的步骤：
1、分析最初的几级：在第0级时，我们只有一个大 小为 n 的数组，这里需要最多 cn 时间。在第1级， 我们有两个子数组，每个大小为 n/2，分别需cn/2 时间，所以总的时间是 2*(cn/2) = cn。在第2级， 我们有四个子数组，每个大小为 n/4，分别需要 cn/4 时间，所以总的时间还是 4*(cn/4) = cn。
•求和：总的层数还是logn。
还是用几何级数可以得出它最终收敛于2。所以
通过对上面三种情况，q = 1, q = 2, q > 2的分析我们得出三种不同的运行时间。 q = 1时，运行时间是线性的。q = 2时是 O(nlogn)。q > 2 时是多项式级数。造成这 种差别的原因主要在于在递归时大部分的工 作完成的阶段。q = 1时，第0级就已经完成 了一半的工作，而当q > 2时，大部分工作却 是在递归底层完成。所以 q = 2可以说是介 于两者之间的分水岭 – 每一层完成工作的 总量是相同的，给了我们较优的O(nlogn)的 运行时间。
2、得出规律：可以看到在第 j 级时，我们有2j个 子数组，每个大小为 cn/2j，分别需要cn/2j时间， 所以这级总的运行时间为2j(cn/2j) = cn. 3、求和：我们已经求得每一级需要的运行时间。对 于一个大小为 n 的数组，递归最多有logn层，所以 总的运行时间为 O(nlogn)。
合并排序的时间复杂度计算
通信1304班：鲁信金、易浩宇、刘子雄
目录 CONTENT
01 合并排序 02
03 时间复杂度
方法及计算
04
如何学习
合并排序是建立在归并操作上的一种有效的排 序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。合并排序法 是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新 的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列， 每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合 并为整体有序序列。将已有序的子序列合并， 得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序， 再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成 一个有序表，称为2-路归并。合并排序也叫归 并排序。
更通用的递归式：
上面的分析都是基于每个问题被分成2个子问题。如果现在我们把 每个问题分成 q 个大小为 n/2 的子问题，我们得到一个更通用的递 归式
T(n) <= qT(n/2) + cn 当 n>2时，T(2) <= c
当 q=2时就是我们 上面分析的情况。 接下来我们分析 q>2 和 q=1的情况。
三放三拿来上课， 知识、方法双收获。 算法具有四性质：
输入、输出、确定、有限。 算法分析话时空， 大O大Ω最常用。
勤学勤练勤思考，
登高自卑千古理！