高一数学必修一第二章

5. 求下列函数的定义域: 1 ; (1) y log3(3 x - 2) (2) yloga(2-x) (a>0, 且a≠1); (3) yloga(1-x)2 (a>0, 且a≠1). 解: (3) 要使函数有定义, 需 (1-x)2>0, 即 1-x≠0, 得 x≠1, ∴原函数的定义域为 {xR|x≠1}.
9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假 定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在 0℃的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22℃的厨房 中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30℃和16℃的保 鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象. 解: (2) 由(1)得函数式为 y1920.93x. 当 x30 时, y1920.9330≈22 (h); 当 x16 时, y1920.9316≈60 (h). 答: 在30℃温度下, 可保鲜22小时, 在16℃温 度下, 可保鲜60小时.
+b +
1 1 a + 2a 2 b 2
+b
3. (1) 已知 lg2a, lg3b, 试用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23a, log37b, 试用 a、b 表示 log1456. lg 5 解: (1) log12 5 lg12 lg 10 2 lg(4 3) lg10 - lg 2 lg 4 + lg 3 1 - lg 2 2lg 2 + lg 3 1- a . 2a + b
8. 已知 f(x) lg 1 - x , a, b(-1, 1), 求证: 1+ x f (a) + f (b) f ( a + b ). 1 + ab 1 x 证明: f ( x ) lg , 1+ x f (a ) + f (b) lg 1 - a + lg 1 - b 1+ a 1+ b lg(1 - a 1 - b ) 1+ a 1+ b lg 1 - a - b + ab , 1 + a + b + ab a + b 1a + b f( ) lg 1 + ab lg 1 + ab - a - b , 1 + ab + a + b 1 + ab 1+ a + b 1 + ab 即 f (a ) + f (b) f ( a + b ) 成立. 1 + ab
7. 已知 f(x)3x, 求证: (1) f(x)· f(y)f(x+y); (2) f(x)÷f(y)f(x-y).
证明: (1) ∵ f(x)3x, ∴ f(x)· f(y)3x· 3y =3x+y, f(x+y)3x+y, 则 f(x)· f(y)f(x+y)成立. (2) f(x)÷f(y)3x÷3y =3x-y, f(x-y)3x-y, ∴ f(x)÷f(y)f(x-y)成立.
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A组 1. 求下列各式的值: 1 -1 64 (1) 121 2 ; (2) ( ) 2 ; 49 解:
1 (1) 1212 1 (112 ) 211.
2 -1 ( 82 ) 2 -1 ) 2
-3 (3) 10000 4 ;
(4) ( 125 27
-2 ) 3.
2 1 7 7 64 2 . ( ) (2) ( 2 8 49 8 7 3 1 . -3 3 4 4 4 (3) 10000 (10 ) 10 1000 2 -2 3 -2 9 5 125 5 3 3 (4) ( ) ( 3 ) -2 . 25 27 3 3
2. 化简下列各式:
(1)
1 a2 1 a2 1 + b2 1 - b2
+
1 a2
(2) (a2-2+a-2)÷(a2-a-2). 解: (1) 原式

1 (a 2 1 - b 2 )2 1 (a 2 1 1 + b 2 )(a 2 1 + 1 - b 2 ) (a 2
1 a2
1 + b2 1 - b2
x
9. 幂函数的性质
yxa yx-1
(1, 1) (-∞, 0) ∪(0, +∞) (-∞, 0) ∪(0, +∞) (-∞, 0)减 (0, +∞)减 奇
y x
1 2
y x
(1, 1)
yx2
(1, 1)
yx3
(1, 1) (-∞, +∞) (-∞, +∞) (-∞, +∞)增 奇
过定点 定义域
9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假 定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在 0℃的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22℃的厨房 中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; y 192 30℃和16℃的保 (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在 鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象. 解: (3) 图象经过点 y1920.93x (0, 192), (16, 60), (22, 42), (30, 22).
9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假 定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在 0℃的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22℃的厨房 中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30℃和1的数据, 作此函数的图象. 解: (1) 设保鲜时间与温度的指数关系为 ykax, 当 x0 时, y192; 当 x22 时, y42. 则 192 ka0 22 k192, a≈0.93. 42 ka 于是得保鲜时间与温度的函数式为 y1920.93x.
6. 对数函数 解析式: y logax (a>0, 且a≠1). 图象特点:
y 0<a<1 ylogax x y
a>1
o 1
o 1
ylogax x
7. 对数函数的性质 定义域: (0, +∞). 值域: (-∞, +∞).
单调性: 0<a<1, (0, +∞)上是减函数. a>1, (0, +∞)上是增函数.
4. 对数运算 对数式与指数式的互化: aN = b N logab. 常用对数: 以10为底, log10a lga. 自然对数: 以 e2.71828…为底, logealna.
两个特殊对数值: 1 的对数等 0, 底的对数等于 1.
5. 对数的运算性质 (1) loga(M· N) logaM + logaN. (2) loga M logaM - logaN. N (3) logaMn n· logaM (n∈R). log c b 换底公式: log a b . log c a
;
1 (a 2 1 + b 2 )2 1 + b2 )
1 1 - b 2 )(a 2
a-b a-b 2(a + b) . a-b -1 2 (a - a -1 )2 a a a -1. (2) 原式 (a + a -1 )(a - a -1 ) a + a -1 a 2 + 1
1 1 a - 2a 2 b 2
本章内容
2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 幂函数 第二章 小结
知识要点 复习参考题 自我检测题
1. 指数幂的运算 负指数: a -k 1k . a
分数指数:
m an
n am .
同底数幂相乘除: am· anam+n. a m a m-n . an 幂的乘方: (am)namn. 积的乘方: (ab)nanbn.
60 42 22
o
16 22
30 x
2 ), 试求 2 此函数的解析式, 并作出图象, 判断奇偶性、单调性. 解: 幂函数 yxa 经过点 (2, 2 ), 2 则有 2 2a , 2 1 得 a log 2 2 log 2 2 2 - 1 . 2 2 -1 y 1 2 即函数解析式为 y x . x 定义域为(0, +∞), 1 图象过点 (1, 1), (2, 2 ), 1 2 2 2 2 1 (4, ). o 1 2 4 x 2 函数非奇非偶, 在(0, +∞)上是减函数.
6. 比较下列各组中两个值的大小: (1) log67, log76; (2) log3p, log20.8. 解: (1) ∵log67>log66 1, log76<log77 1, ∴log67>log76.
(2) ∵3>1, p >1, ∴log3p>0, 又 2>1, 0.8<1, ∴log20.8<0. 则 log3p >log20.8.
值域 单调性 奇偶性
(1, 1) [0, +∞) [0, +∞) [0, +∞)增 非奇偶
(-∞, +∞)
(-∞, +∞) (-∞, +∞)增 奇
(-∞, +∞)
[0, +∞) (-∞, 0]减 [0, +∞)增 偶
10. 反函数 将一个函数 yf(x) 中的 y 表示成 x 的函数 xg(y), 我们把 xg(y) 叫做 yf(x) 的反函数. 由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后 函数中的字母 x, y 相交换得 yg(x). 指数函数与对数函数互为反函数. 如果两函数互为反函数, 则它们的图象关 于直线 yx 即称.