图的连通性问题50页PPT
图的连通性精品PPT课件
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000
有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路
有向图的强连通分支
定义
在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
Korasaju算法
procedure Strongly_Connected_Components(G);
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ACM1236: 解题思路
1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。
3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是多少
ACM1236: 解题思路
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边
end; 证明参考：
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝；
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
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Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
拓扑学第五章-连通性
第五章 连通性普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。
然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例： 设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中1{(,sin )(0,1)}A x x x=∈{(0,)11}B y y =-≤≤如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。
▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。
前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。
在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。
§5-1 连通空间先看一个例子：考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。
它们是不交的，（即交为空集）。
但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。
原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。
为此，给出一个“分离”的概念。
定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ⋂=∅与A B ⋂=∅，则称A 与B 是分离的。
定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。
●显然，连通与下面几种说法是等价的。
① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有X 和∅是既开又闭的。
上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。
例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。
（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。
（3）1E 空间是连通的。
结论（3）是明显的。
但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。
因此，有必要去证明一下。
证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。
第07章_图c ppt课件
7.4 图的连通性
连通图：在路无径向, 则图称中顶, 若点从v1与顶v点2是v1连到通顶的点。v2有如
果图中任意一对顶点都是连通的, 则 称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通 分量。
强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj,
都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
所得生成树权值和
= 14+8+3+5+16+21 = 67
一般情况下所添加的顶点应满足下列 条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集 V-U ，则应在所有连通U中顶点和V-U中 顶点的边中选取权值最小的边。
//新顶点并入U后重新选择最小边
if (G.arc[k][j].adj<closedge[j].lowcost) closedge[j]={G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj};
}//for i }//MiniSpanTree
取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根， 之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加 的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间 必定存在一条边，并且该边的权值在所有 连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之 后继续往生成树上添加顶点，直至生成树 上含有 n-1 个顶点为止。
例如:
a 19
b5
14 12
// 此时closedge[k].lowcost = // MIN{closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi ∈V-U.
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
《图的遍历和连通性》课件
目录 CONTENTS
• 图的遍历 • 图的连通性 • 图的遍历和连通性之间的关系 • 图遍历和连通性的实际应用 • 图遍历和连通性的算法复杂度分析
01
图的遍历
深度优先遍历
深度优先遍历是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的 起始节点。
计算机视觉和图像处理
图像分割
目标检测
图像拼接
图像增强
在计算机视觉和图像处理领 域，图遍历算法被广泛应用 于图像分割。通过图遍历算 法，可以将图像划分为不同 的区域或对象，便于后续的
识别和分析。
利用图遍历算法，可以对图 像中的目标进行检测和定位 ，为后续的目标跟踪、行为
分析等提供基础数据。
通过图遍历算法，可以将多 张图像拼接成一张完整的图 像，便于全景图的生成和展
关键节点和最短路径等重要信息。
输入 交通标拥题堵优
化
利用图遍历算法，可以分析交通拥堵的原因，找到拥 堵瓶颈路段，为交通管理部门提供优化建议，提高路 网的通行效率和运输能力。
交通路网分 析
路径规划
在物流配送领域，图遍历算法可以帮助企业找到最优 的配送路径，降低运输成本和提高配送效率。
物流配送优 化
通过图遍历算法，可以找到两点之间的最短路径或最 少拥堵路径，为出行者提供路线建议，提高出行效率 和舒适度。
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
01
时间复杂度为O(V^3)，用于计算所有顶点对之间的最短路径。
Johnson算法
02
时间复杂度为O((V+E)logV)，适用于稀疏图，通过预处理计算
03-图-搜索-连通性PPT课件
很多有价值的应用场景中，都是大规模的稀疏图。
16 ／50
2017年春季 通信网络理论基础
n vs m
假定图G(V, E)具有n个顶点，m条边。【一般我们都假定是 没有平行边和自环的所谓“简单图”】
如果G是无向图，m和n什么关系？ 如果G是有向图呢？
Variations(2/3)
How about this: there are odd number of vertices whose degree is odd?
IMPOSSIBLE
• Theorem: 顶点度数之和必 为偶数；且为边数的2倍。 • Corollary: 奇数度顶点的数 目必为偶数。
3 ／50
2017年春季 通信网络理论基础
关于边 基本术语 (关于一顶点)
边
• 也称为弧(arc)， 链路(link)。
• 边与两个顶点有 关(head和tail)。
顶点
• 也称为节点/ 结点(node)。
自环(loop点)间关系
• 如果一条边的头 和尾都是同一个顶 点，则称为自环。
点边关系
关联
与顶点u直接相连 的边与u关联；反 之，u也与这些边 关联(Incident)。
循环开始时，从边界点集合中选择一个顶点进行探索。 循环结束前，将新扩展的边界点纳入集合。
注意：BFS和DFS选择边界点的策略不同。
维护边界点集合的方式如何影响选择策略？
BFS用队列(FIFO)；DFS用堆栈(LIFO)。
23 ／50
2017年春季 通信网络理论基础
图搜索伪码
BFS( G, s )
// B=所有边界点构成的集合 B.EnQueue(s); WHILE B非空
第3章 连通度问题(PPT文档)
3.1.6 证明：若G是3-正则简单图，则 = 。
3.1.7 证明：若l，m和n是适合0<l m n的整数， 则存在一个简单图G，使得
= l， =m和 =n。
3.2 块
3.1.2 证明：若G是k-边连通的，则 k/2 。 3.1.3 (a) 证明：若G是简单图且 -2，则 = 。
(b) 找出一个简单图G，使得 =-3且 < 。
3.1.4 (a) 证明：若G是简单图且 /2，则= 。
(b) 找出一个简单图G，使得 = [（/2）-1] 且 < 。
第三章 连通度问题
3.1 连通度 3.2 块 3.3 可靠通信网的建设
3.1 连通度
B E(G)为图G的k-边割 B = k 。
图G的边连通度（edge connectivity）
'
(G)
min{k
G有k 边割} 0
当G为非平凡图 当G为平凡图
= 使G变成不连通或平凡图所需去
块（block） 无割点连通图。
显然，当 v 3时， G为块 G为无环、2-连通图。
例。 v 3的块中无割边。
定理3.2 (Whiteney,1932) 当 v 3时，G为2-连通图 G中任二顶点间则至少被两条内部不相 交（internally disjoint）的路所连接。
(ii) 若H 连通，则e = xy 为H的割边。但，
(H) = (G)- S - ( -1) 3 ，
因此，x与y中至少有一个为H的割点，设为 x 。于是
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11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
Hale Waihona Puke 37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子