江苏专用2018版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理
江苏2018版高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文苏教版
5.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.( × ) (5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )1.设a ，b ，c 为平面向量，有下面几个命题： ①a ·(b －c )＝a·b －a·c ； ②(a·b )·c ＝a·(b·c )； ③(a －b )2＝|a|2－2|a||b |＋|b |2； ④若a·b ＝0，则a ＝0，b ＝0. 其中正确的有________个. 答案 1解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a||b |cos θ＋|b |2知③不正确；对于④，∵a·b ＝|a||b |·cos θ＝0，∴|a |＝0或|b |＝0或cos θ＝0.∴a ＝0或b ＝0或a⊥b ，故④不正确. 2.(教材改编)已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝________. 答案 －16解析 画图可知向量BC →与CA →夹角为角C 的补角(图略)，故BC →·CA →＝BC ×AC cos(π－C )＝4×8×(－12)＝－16.3.(教材改编)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________.答案3解析 ∵a·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.4.(教材改编)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是________. 答案 －3解析 b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 因为AM →＝23AE →＝23(AD →＋12AB →)＝23AD →＋13AB →， MB →＝23DB →＝23(AB →－AD →)，所以AM →·MB →＝(23AD →＋13AB →)·23(AB →－AD →)＝16，所以AB →·AD →＝34.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°.若E 为DC 的中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 1解析 (1)设AB ＝m (m >0)，以向量AB →，AD →为基底，在▱ABCD 中，AB ＝m ，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝4－12m －12m 2，因为AE →·BD →＝1，得m 2＋m －6＝0，因为m >0，所以m ＝2，所以BD →·BE →＝BD →·(BC →＋CE →)＝(AD →－AB →)·(AD →－12AB →)＝AD→2－32AB →·AD →＋12AB →2＝4－3＋2＝3，故BD →·BE →＝3.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.(2)(2015·四川改编)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 (1)30° (2)9解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°. (2)∵AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9. 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为________.答案 3解析 令AC ＝b ，由题意得 AB →·AC →＝4b cos 120°＝－2b ， 因为点D 在边BC 上， 且BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，从而AD →2＝(13AB →＋23AC →)2，又因为AD ＝273，所以289＝169＋4b 29－8b 9，整理得b 2－2b －3＝0，解之得b ＝3(b ＝－1舍去)， 即AC 的长为3.(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角等于150°，b 与c 的夹角等于120°，|c |＝2，求|a |，|b |. 解 由a ＋b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2，b 2＋c 2＋2b·c ＝a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋|b |2＋2|a||b |cos 150°＝4，|b |2＋4＋2·2·|b |cos 120°＝|a |2，解之得|a |＝23，|b |＝4. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是____________.答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 解析 (1)设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得， 21＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋1－10cos θ， 即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π].(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________. 答案 (1)9 (2) 6解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2016·南通调研)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝(cos(A ＋π3)，sin(A ＋π3))，n＝(cos B ，sin B )，且m⊥n . (1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长.解 (1) 因为m ⊥n ，所以m·n ＝cos(A ＋π3)cos B ＋sin(A ＋π3)sin B＝cos(A ＋π3－B )＝0.又A ，B ∈(0，π2)，所以A ＋π3－B ∈(－π6，5π6)，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈(0，π2)，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(B ＋π6)＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在△ABC 中，已知C ＝π6，m ＝(sin A,1)，n ＝(1，cos B )，且m⊥n .(1)求A 的值；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0，因为C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0， 即3sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1(舍负)，所以AB ＝BC ＝3.所以S △ABC ＝12BA ·BC sin B＝12×3×3×sin 2π3＝934.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3).求使向量PA →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即PA →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故PA →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.1.(2016·苏州期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝________. 答案 9解析 先由a ⊥(a －b )，得a·(a －b )＝0，即a 2＝a·b ，再代入数据. 把a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，代入a 2＝a·b ， 得5＝x －4，所以x ＝9.2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝________. 答案 2 3解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60° ＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3.已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为________. 答案32解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos〈a ，b 〉 ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4.(2016·常州期末)已知平面向量a ＝(4x,2x)，b ＝(1，2x－22x )，x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________. 答案 2解析 因为a ⊥b ，所以4x＋2x×2x－22x ＝4x ＋2x－2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x＝1， 故a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， 故a －b ＝(0,2)，故|a －b |＝2.5.(2017·江苏扬州中学质检)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －5解析 AB →＋BC →＋CA →＝0两边平方得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝0， 又AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，从而有2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝－10， 故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－5.6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是_____________________________________.答案2解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋2－0＝ 2.7.(2016·南京调研)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝______.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ，其中|a |＝|b |＝1，则DC →＝2a ，AM →＝2b . 由AC →·BM →＝－3得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a·b ＝32.方法二 建立平面直角坐标系，使得A (0,0)，B (4,0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2,3sin α)，M (2cos α，2sin α).由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3，化简得cos α＝18. 所以AB →·AD →＝12cos α＝32.8.(2016·南通调研)已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________. 答案274解析 如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (－3,0)，C (3,0)，则D (0,0)，A (0,33)，E (1, 23)，P (0，332)，所以PB →·PD →＝274.9.已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10.(2016·南京、盐城调研)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC→的值为______.答案 －2解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝(AC →＋23CB →)·BC →＝[AC →＋23(AB →－AC →)]·BC →＝(23AB →＋13AC →)·(AC→－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2.11.(2016·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x(x >0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________. 答案 －2解析 设M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，由题设知B (0，y 0)，A (x 0＋y 02，x 0＋y 02)，从而MA →＝(y 0－x 02，x 0－y 02)，MB →＝(－x 0,0)，故MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，因为M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，所以x 0y 0＝x 20＋4，从而有MA →·MB →＝x 20－x 0y 02＝－42＝－2.12.(2016·苏北四市调研)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________. 答案 [6－1，6＋1]解析 因为OA →·OB →＝|OA →|×|OB →|×cos〈OA →，OB →〉＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，所以〈OA →，OB →〉＝π3，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2，0)，B (22，62). 令OP →＝OA →＋OB →＝(322，62)，则|OP →|＝6，因为|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OP →－OC →|＝1，所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径的圆，而|OP →|＝6，则|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].13.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC 中，B ＝π4，D 是边BC 上一点，AD ＝5，CD ＝3，AC ＝7.(1)求∠ADC 的值； (2)求BA →·DA →的值.解 (1)在△ADC 中，由余弦定理得AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ＝AC 2，52＋32－2×5×3×cos∠ADC ＝72， 所以cos∠ADC ＝－12.又因为0<∠ADC <π，所以∠ADC ＝2π3.(2)由(1)得∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理AD sin∠ABD ＝ABsin∠ADB，得AB ＝AD sin∠ABD ×sin∠ADB ＝562.所以BA →·DA →＝562×5×cos(π－π4－π3)＝253－34.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝(a ，－b3)，m ⊥n ，(m ＋n )·(m －n )＝16，求a ，b ，c 的值.解 (1)∵2sin2A ＋B2＋cos 2C ＝1，∴cos 2C ＝1－2sin2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C ， ∴2cos 2C ＋cos C －1＝0， ∴cos C ＝12或cos C ＝－1，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵m ⊥n ，∴3a 2－b 23＝0，即b 2＝9a 2.①又(m ＋n )·(m －n )＝16， ∴8a 2＋8b 29＝16，即a 2＋b 29＝2，②由①②可得a 2＝1，b 2＝9，∴a ＝1，b ＝3， 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， ∴c ＝7，∴a ＝1，b ＝3，c ＝7.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第34练 Word版含解析
1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－2≤φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6＜α＜2π3)，求cos(α＋3π2)的值．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．3．(2017·贵阳第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值； (2)若x ∈0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．5．(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)当x ∈0，π2]时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A 2)＝3，且a ＝4，b＋c ＝5，求△ABC 的面积．答案精析1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z.由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.(2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6)，所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，即sin(α－π6)＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.2．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，可得2sin B cos A＝3(sin C cos A＋sin A cos C)，即2sin B cos A＝3sin B.因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝3 2，所以A＝π6，则C＝π－A－B＝2π3.设AC＝m(m＞0)，则BC＝m，所以CM＝12m.在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos 2π3，即(7)2＝14m2＋m2－2·12m·m·(－12)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC ＝12CA·CB sin2π3＝12×2×2×32＝ 3.3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3. (2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3，可知θ∈(0，2π3)．由正弦定理及AD＝3，得BDsinθ＝ABsin(2π3－θ)＝ADsinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3－θ) ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin(θ＋π6)．由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6)，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.4．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题意知C (－22，22)，所以OC →＋OD →＝(－22＋t ，22)，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝(t－22)2＋12(0≤t ≤1)．所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin(2x ＋π4)．因为x ∈0，π2]，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)取得最大值1.所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.5．解(1)f(x)＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin(2ωx＋π3)＋32，因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝sin(2x＋π3)＋3 2.又0≤x≤π2，则π3≤2x＋π3≤4π3，所以－32≤sin(2x＋π3)≤1，所以0≤sin(2x＋π3)＋32≤32＋1，即函数y＝f(x)在x∈0，π2]上的值域为0，32＋1]．(2)因为f(A2)＝3，所以sin(A＋π3)＝32.由A∈(0，π)，知π3＜A＋π3＜4π3，解得A＋π3＝2π3，所以A＝π3.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16＝(b＋c)2－3bc.因为b＋c＝5，所以bc＝3，所以S△ABC ＝12bc sin A＝334.。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件文
题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016· 南京、盐城调研)在△ABC 中，A＝120° ，AB＝4.若点 D 在
2 7 → → 3 边 BC 上，且BD＝2DC，AD＝ 3 ，则 AC 的长为____.
答案 解析
(2)(2016· 江苏启东中学阶段测试 )已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a
③(Байду номын сангаас－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a· b＝0，则a＝0，b＝0.
1 个. 其中正确的有____
答案 解析
→ → －16 2.(教材改编)已知△ABC 中， BC＝4， AC＝8， ∠C＝60° ， 则BC· CA＝_______.
答案 解析
→ → 画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，
跟踪训练 1
→ 3 1 3 1 → (1)(2016· 全国丙卷改编)已知向量BA＝ ， BC ＝ ， ， ， 2 2 2 2
30° 则∠ABC＝________.
答案 解析
→ → ∵|BA|＝1，|BC|＝1，
→ → BA· BC 3 cos∠ABC＝ ＝2， → → |BA|· |BC|
1 → → 故BC· CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－2)＝－16.
π 3.(教材改编)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为6，则
3 实数 m＝_____.
答案 解析
∵a· b＝(1， 3)· (3，m)＝3＋ 3m，
π 又 a· b＝ 1 ＋ 3 × 3 ＋m ×cos 6，
→ → → → → ∴|BC|min＝ 6. ≥2|AB|· |AC|－2AB· AC＝6，
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)
专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数33平面向量的概念与线性运算课件文
0 b∥c，则a∥c.其中正确的个数是________ ． 【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于
②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向 量不能比较大小，故③错；对于④，若b＝0，则a与c不一定平 行，故④错．
3. ( 必修 4P57 习题 2 改编 ) 对于非零向量 a ， b ，“ a∥b”是 必要不充分 “a＋b＝0”成立的_________________( 从“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个 ) 条 件．
【备考策略】 1. 高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、 垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要．解答 题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数 列交汇出现综合题．应突出向量的工具性． 2. 复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以 小题形式出现，都为基础题．
变式
→ → → → → →＝ →＋ →＋ →＋ → .. 所以 所以 2 2CD CD ＝CA CA ＋CB CB ＋AD AD ＋BD BD → → →＝ →， 又因为 又因为AD AD ＝2 2DB DB ，
2. 几个特殊的向量 (1) 零向量： ________________ 长度为零的向量 ，记作 0 ，其方向是任意 的．
长度等于1个单位长度的向量． (2) 单位向量：__________________________
方向相同或相反的非零向量 (3) 平行向量：____________________________ ，平行向量 又称为共线向量，规定0与任一向量共线．
长度相等且方向相同的向量 ． (4) 相等向量：____________________________
2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第五章 平面向量 §5.2 平面向量的数量积
(江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组
自主命题·江苏卷题组
OA OB OC OC 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 2 与OA 的夹角
OB OC OC 为α,且tan α=7, 与 的夹角为45°.若 = m +OA n (mOB ,n∈R),则m+n=
5sin θ),
因为 =3 ,所以P(5cos θ+2,5sin θ), PD CP
从而 =(5cos θ+2,5sin θ), =(5cos θ-6,5sin θ), AP BP 因为 · =2, AP BP 所以(5cos θ+2,5sin θ)· (5cos θ-6,5sin θ)=2,
7 2 10
2 10
∴| OM |=
又 OC =m OA +n OB = OM + ON ,| OA |=| OB |=1,
∴m= ,n= , ∴m+n=3.
5 4
7 4
2.(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, CP =3 PD, AP· BP =2,则
FD BE BF 由②③可得 · = · +3 =-1+ = . CE CF
2 1 = 2 ( 1 ( 1 1, 5 = + =DE 1 + + )= - DA AD )AB AC AB AB CE CD CB = CB AC AC 2 3 2 3 2 3 6 6 1 1 = BD + = BF DF + DA BC 2 3
(江苏专用)2018版高考数学大一轮温习 第五章节 平面向量 5.4 平面向量的综合应用讲义 理 苏教版
题型二 向量在解析几何中的应用
例 2 (1)已知向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，且 A、B、C
三点共线，当 k<0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为 _2_x_＋__y_－__3_＝__0__. 答案 解析
(2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x－2)2＋y2＝3 的圆心，且圆上有一点 M(x，y) 满足O→M·C→M＝0，则yx＝__±___3__.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足
(2)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.( √ ) (3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.
(4)在△ABC中，若
→→ AB·BC
<0，则△ABC为钝角三角形.(
×
)
(×)
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)， 若动点 P 满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点 P 的轨迹方程是 x－y ＋1＝0.( √ )
为___4__. 答案 解析
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0， ∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝ 2， ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝|aa||2b|＝ 22， 又∵〈a，b〉∈[0，π]， ∴向量 a 与向量 b 的夹角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
满足
→→ OP·OA
＝4，则点P的轨迹方程是__x_＋__2_y_－__4_＝__0__(填“内心”、
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理 苏教版
跟踪训练3 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__(2_，__4_)__.
答案 解析
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴D→C＝2A→B.
设点D的坐标为(x，y)，则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
答案 解析
A→B＝(3，1)，A→C＝(－4，－3)，B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1) ＝(－7，－4).
4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则
m＝ n
_－__12__.
答案 解析
由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，
y∈R，求 x＋y 的最大值. 思想方法指导 规范解答
建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向 量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数 特征.
课时作业
1.(2016·江苏苏州暑期测试)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋
－1 2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.
答案 解析
xx12＝yy12 ×
√
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成
.( )
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
考点自测
1.(教材改编)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则 ①③
下列说法中正确的有______.(填序号)
跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝
mA→B＋121A→C，则实数
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平
面向量综合练练习 理
1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12
(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面
积的比值为________．
3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，
则线段AC 的长为________．
4．已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4， b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈(0，π)，并且满足a∥b ，则θ的值为________． 5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB →的取值范围是________．
6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上
点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．
7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________． 8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直
线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，
则AB →·AC →的最大值是________．
9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时
(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；
③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )．
(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；
(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
答案精析
1．90° 2.4 3. 3 4.π3
5．[－1，－12
) 解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B (1,0)，C (12，32
)， 设M (x ，y )，AM →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得(x －12)2＋(y －32
)2＝1， 所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝(x －12，y －32)·(1,0)＝x －12∈[－1，－12)．
6．x ＝0
解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，
即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x ＋1)≤0，化简得x 2
≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16
解析 已知A ＝π6
， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6
， 则|AB →||AC →|＝23
， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16
. 8.214
解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52
，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214
，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．
9．①④
解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|
＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b＝b·a＝b ⊗a ，故①是正确的；
当λ＝0，b≠0时，λ(a ⊗b)＝0，(λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c＋b·c，显然|a ＋b －c |≠a·c＋b·c，故③是错误的；
当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e|
＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
10．解 (1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2，
|b|2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.
因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，
从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.
因为m ＞0，所以(
m m ＋1)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞m
m ＋1. 即x 的取值范围是
(－∞，－m m ＋1)∪(m m ＋1
，＋∞)． (2)a·b＝(m ＋1)x 2－mx .
由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．
当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0，m 2－4 m ＋1 m －1 ＜0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，
所以m ＞233. 即m 的取值范围是(233
，＋∞)．。