天津市天津一中2014届高三5月月考 理科数学
天津市第一中学2024届高三第五次月考数学试卷(含答案与解析)_1189
天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2014天津一中三月考( 理工类)(word版含解析)
（2014一中三月考1）已知复数i z +=1,则21z z += A ．12i - B ．12i + C.12i -- D .12i -+（2014一中三月考2）下列说法错误．．的是 A.命题“若,则”的否命题是:“若,则” B.“”是“”的充分不必要条件 C.若命题,则 D.若命题“”与命题“或”都是真命题,那么命题一定是真命题 （2014一中三月考3）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7（2014一中三月考4）已知10,1<<>>x b a ，以下结论中成立的是A ．x xba )1()1(> B ．ba x x > C. log log ab x x > D ． b a x x log log >（2014一中三月考5）设函数的图像关于直线x =对称,它的周期是,则 A.的图象过点(0,) B.在[]上是减函数 0a =0ab =0a ≠0ab ≠1sin 2θ=30θ=2:,10p x R x x ∃∈-+=2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠p ⌝p q q )22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 32ππ)(x f 21)(x f 32,12ππC.的图像一个对称中心是() D ．的最大值是4 （2014一中三月考6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于ABC ．32D ．（2014一中三月考7）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若n S a ,11=是数列{}n a 前n 项的和，则)(3162*∈++N n a S n n 的最小值为A. 4B. 3C. 232-D.29 （2014一中三月考8）已知函数1()()2(),f x f x f x x=∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1(0,)e B. 1(0,)2e C. ln31[,)3e D. ln31[,)32e（2014一中三月考9）设变量x y ，满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x xy ，则13+-=y x z 的最小0y x π<<<，且t a n t a n 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ __3（2014一中三月考11）某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为)(x f 0,125π)(x f（2014一中三月考12）如图，AB 切⊙O 于D A ,为⊙O 内一点，且2=OD ,连结BD 交⊙O 于C ，3==CD BC ，6=AB ，则⊙O 的半径为 22=r（2014一中三月考13）已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x的取值范围是 ()12,1--（2014一中三月考14）已知P 是椭圆181622=+y x 上任意一点，EF 是圆 M ：()1222=-+y x 的直径，则 ∙的最大值为 23（2014一中三月考15）已知函数的图像上两相邻最高点的坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34π （Ⅰ）求的值;（Ⅱ）在△ABC 中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且求的取值范围.解：（1）)2sin()sin(3)(x x x f ωπωπ---==x x ωωcos sin 3- =)6sin(2πω-x由题意可知：π=T ，故2=ω （2）由2)(=A f ，得1)62sin(=-πA ，又6π-<62π-A <611π,则62π-A =2π，解得3π=A]sin 2)32[sin(3323sin sin sin 2C C C B a c b --=-=-ππ=)6sin(2C -π因为0<C <32π,所以2π-<C -6π<6π, 即)1,2(2-∈-acb （2014一中三月考16）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为5,4,3,2,1的5个红球与编号为4,3,2,1的4个白球，从中任意取出3个球（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率 （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率（Ⅲ）记X 为取出3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望（1）845 （2）31（3）21=EX （2014一中三月考17）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，12,1,2PD PA BC AD CD ===== （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角C BQ M --为030，设tMC PM =，试确定t 的值．证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC= =∥AQ ．（Ⅲ）∵PA=PD,Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴PQ ⊥平面ABCD以Q 为原点建立空间直角坐标系 则平面BQC 的法向量为n =（0,0,1） 平面MBQ 的法向量为m =（3，0，t ） ∵二面角M-BQ-C 为030，cos 030||||m n =203t t ++=23 ∴3=t（2014一中三月考18）已知等比数列{}n a 的首项10a >，公比0q >，前n 项和为n S （Ⅰ）试比较33S a 与55Sa 的大小；（Ⅱ）设{}n a 满足:*321lg lg lg lg ,()23n a a a a n n N n+++⋅⋅⋅+=∈，数列{}n b 满足：121(lg lg lg )n n b a a ka n=++⋅⋅⋅+，求数列{}n a 的通项公式和使数列{}n b 成等差数列的正整数k 的值。
【解析版】天津市天津一中2014届高三上学期一月考数学理试题
天津一中2013—2014学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。
若2560x x --=，则6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 错误。
∃x ∈R,使得x 2+x+1<0的否定是∀x ∈R,均有210x x ++≥，所以C 错误。
命题若x=y,则sinx=siny 正确，所以若x=y,则sinx=siny 的逆否命题也正确，所以选D.2.定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A.3.函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为 A.8π B.4π C.2π D.π【答案】C【解析】221()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242T πππω===，选C. 4.设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)A.在区间[-π,2π-]上是减函数 B.在区间27[,]36ππ上是增函数 C.在区间[8π,4π]上是增函数 D.在区间5[,]36ππ上是减函数 【答案】B 【解析】当2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π=+单调递减，所以sin()3y x π=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B. 5.在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】由s i n c o s s i n c A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.6.,,x y z 均为正实数,且22log x x =-,22log y y -=-，22log z z -=，则 A. x y z << B.z x y << C.z y x << D.y x z<<【答案】A【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1x x =->，即2log 1x <-，所以102x <<。
天津市第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题(含答案)
天津一中2015—2016学年度高三年级第一次月考数学（理科）学科试卷一.选择题1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B = （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x <D ．{|01}x x << 【答案】B2.执行右面的程序框图，若8.0=p ，则输出的n =( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．3.已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B4 ．已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f sin )3(')(2+=π，则=)3('πf ( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+ 【答案】A5.若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是 A ．13 B ．32 C ．23 D ．12【答案】B6. 已知函数0,0,(),0,x x f x e x ≤⎧=⎨>⎩则使函数()()g x f x x m =+- 有零点的实数m 的取值范围是（ ）A.[0,1]B.(,1)-∞C. (,1)(2,)-∞+∞D. (,0](1,)-∞+∞【答案】D7.设，则多项式的常数项（ ）A. B. C. D.【答案】D8. 已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(][)10,-∞-⋃+∞ B.[]1,0- C.[]0,1D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 【答案】B二.填空题9. 复数满足2)1()1i z i +=+-（，其中i 为虚数单位，则复数z =【答案】i -1 10. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .10．【答案】243π- 11. 已知点P 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是___________________ 【答案】00135180α≤<或3[,)4ππ12.直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得的弦长为5，则实数a 的值为 . 【答案】 0或213.如图,C B A ,,是圆O 上三个点,AD 是BAC ∠的平分线,交圆O 于D ,过B 作直线BE 交AD 延长线于E ,使BD 平分EBC ∠. 若,3,4,6===BD AB AE 则DE 的长为【答案】DE=278.14.在边长为1的正三角形ABC 中,BD BC 2=,CE CA λ=，若41-=⋅，则λ的值为 【答案】3三.解答题15. 已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求：(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域．15．【解】(I)： 1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=+22cos2x x =+2sin(2)26x π=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴最小正周期22T ππ==， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数 ∴()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++，由题意得: 63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈ ∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且520P ==）（ξ，求： （1）植树小组的人数； （2）随机变量ξ的数学期望。
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考数学理试卷
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考数学理试卷全卷满分150分，考试时间120分钟★ 祝大家考试顺利 ★ 注意事项：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，若复数20132ii z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -23. 执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ） A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 下列命题中正确的是（ ）A. 命题“x ∃∈R ，使得210x -<”的否定是“x ∀∈R ，均有210x -<”．B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠．C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题．D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题．5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线的方程为340x y ±=，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 221916y x -=D. 221169y x -=6. 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足sin cos a B b A =，则）第3题图A. 17. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ）A. 16B. 25C. 36D. 498. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在(0,)+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）9. 某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），则该三棱锥的外接球表面积为______________2cm ．11. 曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为______． 12. 在()13nx -的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含2x 项的系数为_______． 13. 如图，已知点C 在O ⊙直径BE 的延长线上，CA 与O ⊙相切于点A ，若AB AC =，则． 14. 在ABC △中，60B ∠=︒，O 为ABC △的外心，P 为劣弧AC 上的一个动点，且OP xOA yOC =+（x y ∈R ，），则x y +的取值范围为______________．432侧视图俯视图正视图第10题图第13题图三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数2()cos cos f x x x x a ++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间ππ[,]63-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区，3个场馆分布在C 片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需要排队等候．已知A 片区的每个场馆的排队时间为2小时，B 片区和C 片区的每个场馆的排队时间都为l 小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观． （Ⅰ）求小红每个片区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为ξ(小时)，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17. 如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，PD =（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q （除去端点），使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3？若存在，请说明点Q 的位置；若不存在，请说明理由．18. 已知数列{}n b 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n b 的前n 项和，满足314S =，且18b +，23b ，36b +构成等差数列，数列{}n a 满足11a =，121111()n n n a b b b b -=+++*2n n ∈N （≥且）．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式n b ；EA（Ⅱ）证明：111n nn n a b a b +++=*2n n ∈N （≥且）； （Ⅲ）证明：12111(1)(1)(1)4na a a +⋅+⋅⋅+＜*n ∈N （）．19. 已知中心在坐标原点的椭圆Ω的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的离心率为12，一个焦点是(1,0)-，过直线4x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆2222 1(0)x y a b a bΩ+=>>：上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=，求证：直线AB 恒过定点(1,0)C ；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20. 设()(1)x f x e a x =-+．（Ⅰ）若0a ＞，()0f x ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值；（Ⅱ）设()()x ag x f x e=+，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12x x ≠（）是曲线()y g x =上任意两点，若对任意的1a -≤，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求证：13(21))n n n n n n +++-*n ∈N （）．1.复平面内，复数20132iz i +=，则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是（ A ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知实数x ，y 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( A )A.－2B.5C.6D.73.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B4.下列命题，正确的是（ B ）A.命题x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.5.已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为（ C ）A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则7.若正数a ，b 满足,1=+b a 则11614-+-b a 的最小值为（ A ）A 、16B 、25C 、36D 、498.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）D ．)66,0(9.某校共有学生1000名，其中高一年级由380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数是 25010.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___29π___2cm ．第12题图432侧视图俯视图正视图11.曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为827 12.在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此展开式中含2x 项的系数 135 . 13.已知C 点在O 直径BE 的延长线上，CA 切O 于点A ，若AB AC =，则AC BC = 3314.在ΔABC 中，B ∠=600，O 为ΔABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且y x OP += （x,y ∈R )，则x+y 的取值范围为__[]2,1___.15.已知函数2()cos cos f x x x x a ++.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值.16.在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区， 3个场馆分布在C 片区。
天津市天津一中2014届高三5月月考 9科10份(语数英政史地物化生)
2013-2014-2天津一中高三年级第五次月考地理学科试卷Ⅰ卷单项选择题44分我国某城镇2000年和2010年的人口统计数据。
读表，完成41题。
41．该城镇2000年至2010年人口统计数据的变化显示（）A．出生率上升、死亡率下降导致常住人口总数上升B．社会养老负担减轻C．15-64岁人口比例上升受外来人口增加的影响D．家庭抚养少儿的负担加重我国第二大瀑布—-壶口瀑布位于图（a）中甲地，其奔腾汹涌的气势是中华民族精神的象征。
图（b）为某游客拍摄的壶口瀑布照片。
读图回答第42～43题。
42. 图（a）中，冬季太原比大同气温高，其原因是太原（）①晴天较多，大气逆辐射作用强②位于河谷，冬季风影响小③纬度较低，正午太阳高度角大④海拔较低，太阳辐射较弱A．②③ B．①② C．③④ D．①④43.壶口瀑布（）①具有非凡性和可创造性②流水侵蚀作用明显③乘船观赏，感悟意境④有较高的科学价值、美学价值⑤此照片拍摄的季节可能是夏季A．①②④ B．②④⑤ C．②③④ D．①③⑤读下图回答44～45题。
44.该国在农业生产发展过程中，产生的主要生态环境问题是( )①南部雨林破坏、生物多样性减少②南部水资源短缺、沙尘暴频发③北部酸雨严重、土地退化④北部荒漠化、次生盐碱化A．①② B．①④ C．②③ D．③④45．推测图示国家与我国之间的商品贸易主要集中于( )A．煤炭、粮食B．煤炭、工业制成品C．石油、工业制成品D．石油、粮食46．经纬网图中，甲乙、丙丁为纬线，甲丁、乙丙是经线。
某日乙丁两地昼长相差2小时；若甲丙为该日北京时间某时刻的昏线，则该日乙地日出时间比丁地（）A．迟0小时 B．迟1小时 C．早1小时 D．早2小时2012年7月1日，横贯我国东、中、西部地区的沪汉蓉高速铁路的重要组成部分（武）汉宜（昌）铁路正式开通运营。
读下图完成47题。
47.汉宜铁路没有选择沿江修建，主要是因为该河段（）A. 河道弯曲，线路太长B. 地形复杂，路基不牢C. 人口稠密，搬迁人口多D. 多小城镇，对经济带动不明显甲乙丙丁下图为某月海平面平均气压分布图。
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考理综试题
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考理综试题生物试卷一、单选题(每题6分，共36分)1．下列说法错误的个数是（）①．构成膜的脂质主要是磷脂、脂肪和胆固醇②．需氧呼吸及光合作用产生ATP均在膜上进行③. ATP分子由1个腺嘌呤核糖核苷酸和3个磷酸基团组成④. 动物激素参与的调节过程具有作用范围比较局限、作用时间比较长等特点⑤．下丘脑中有些细胞不仅能够分泌激素，而且能传导兴奋⑥．质粒一定没有核糖参与组成A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个2．下列对有关实验的描述中，正确的是（）A．选用洋葱鳞片叶内表皮细胞做实验材料在观察DNA 和RNA在细胞中的分布实验中，可看到RNA主要在细胞质中，DNA主要在细胞核中B．探究有丝分裂日周期性可为实验取材时机提供依据，并且在同一个视野中可以同时见到不同分裂时期的细胞C．动物细胞培养中获得的不死性细胞一般具有正常的基因数和核型，酶的类型不变D．在探究遗传物质的实验中，格里菲思运用了放射性同位素标记法3. 下图表示转基因动、植物的培育过程。
据图分析下列有关叙述正确的是（）A．在获得目的基因的过程中，需要使用限制性核酸内切酶和DNA连接酶等工具酶B．受体细胞A、B一定均为受精卵C．②过程需要用到胚胎体外培养、胚胎移植等生物技术D．将目的基因导入受体细胞B时常使用大肠杆菌作为工具去侵染植物细胞4．科学家为研究激素水平与水稻穗、粒发育的关系，将水稻幼穗的分化及灌浆结实过程划分为不同阶段，并测定了水稻穗分化过程中内激素含量的动态变化，结果如下图。
下列叙述错误的是（）A．若生长素在Ⅰ期起促进作用而Ⅱ期表现出抑制作用，说明其生理作用具有两重性B．由于脱落酸能抑制细胞的分裂，因此在Ⅲ期～Ⅳ期脱落酸含量逐渐降低C．Ⅲ～Ⅴ期生长素含量降低有利于花粉形成，此阶段生长素含量与结实率呈正相关D．赤霉素含量在Ⅴ期后急剧增加，由此推测它可能与籽粒的结实密切相关5、下图表示利用基因工程培育抗虫棉过程的示意图，与该图相关描述不正确的是（）A．该技术的理论基础之一是基因重组B．上图过程需要用到的工具酶有DNA连接酶、限制性核酸内切酶、纤维素酶、解旋酶、DNA聚合酶C．培育成功的抗虫植株细胞中含有一个携带目的基因的DNA片段，因此可以把它看作是杂合子。
天津一中-高三年级五月考数学试卷(理科).docx
天津一中2014-2015高三年级五月考数学试卷（理科）一、选择题：1．若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =ABCD2．以下说法错误的是 A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件； C ．若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题；D ．若命题p :∃x 0∈R,使得20x 010x ++<则﹁p :∀x ∈R,则210x x ++≥3．若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是A ．1y ≥B ．2x ≥C ．220x y ++≥D ．210x y -+≥ 4．执行如图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为A ．4B ．6C ．8D ．105．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A ． 3B ．3cmC ． 3cmD ． 33cm6．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数y = A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设123,,x x x 均为实数，且()1211log 13xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，213x⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．132x x x << B ．321x x x << C ．31x x x <<8．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zs xyz+=的最小值为 A ．3 B ．4C D ．1)二、填空题：9．已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____． 2410．曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．211．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB //DC ，过点A 作 圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5,6AB AD BC AE ====， 则DC =25412．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 4=，则=QF 513．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅的取值范围为 23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 9(,2][0,2)4m ∴∈--U15．已知函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=+++(0,0||)2πωϕ><<为奇函数,且函数()y f x =的图象的两相邻对称轴之间的距离为2π.(1)求()6f π的值；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（13（2）π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：(1)首先利用辅助角公式把()y f x =化成单一函数，即()2sin()3f x x πωϕ=++，又Rx ∈，根16．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个．．．的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个．．．的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应(Ⅰ)求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率； (Ⅱ)设一次摸奖中，他们所获得的积分为X ，求X 的分布列及均值(数学期望)E (X )；所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分1809060(Ⅰ)解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A ，则事件A 包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为2122214319C C C C ⋅=；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为111221214329C C C C C ⋅=故121()993P A =+= 4分(Ⅱ)解：X 可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：211222212143431112(180),(90)189C C C P X P X C C C C ==⋅===⋅= 11217(60),(0)13189318P X P X ====---=8分1217()1809060050189318E X =⨯+⨯+⨯+⨯=17.在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由． （I ）证明： ,AC BC M =Q 是AB 的中点CM AB ∴⊥． 又ΘEA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥． EA AB A CM =∴⊥Q I 平面AEM∴EM CM ⊥ ………………4分 （Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -，则(0,0,0),2),(M C B D E -((0,0,2),(ME MC BD BC =-===-u u u r u u u u r u u u r u u u r设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z =u r，则1110z ⎧+=⎪=取1111,0,x y z ==m =u r设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z r =，则222020y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n =r66321=⨯==所以平面EMC 与平面BCD所成的锐二面角的余弦值6. ………………9分（Ⅲ）设(,,)N x y z 且DN DC λ=u u u r u u u r,01λ≤≤,2)(2),,,22x y z x y z λλ∴-=-===-（,22)MN λ=-u u u u r若直线MN 与平面EMC 所成的角为060，则()()()2360sin 142123222220222==-++--+-=λλλλλ 解得：12λ=，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14 18．设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. …………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++.解得 34k =.所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19． 设数列n S 为数列{}n a 的前n 项和，且122n n n S a +=-，n =1,2,3…（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1log 2n n a n b +=，数列{}n b 的前n 项和n B ，若存在整数m ，使得对任意n *∈N 且2n ≥都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值 （Ⅲ）设11n n a C n =-+，证明：23111123n C C C ++++<L （n *∈N ） 解:（1）因为211122a S a ==- 所以14a =11112222(2)222n n n n n n nn n n S a S a n a a a +---=-∴=-≥∴=--Q 即122n n n a a --=，两边同时除以2n11122n n n n a a ---= 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1等差数列 (1)2nn a n =+⋅ （2）因为211log 2log 2n n n a n b n+===所以3111123n n B B n n n -=+++++L 令111()123f n n n n=+++++L 1111(1)()31323311121120313233333333f n f n n n n n n n n n n n +-=++-++++=+->+-=++++++即(1)()f n f n +>，所以数列()f n 为递增数列 当2n ≥时，()f n 的最小值为111119(2)345620f =+++= 由题意知19,192020m m <∴<，所以m 的最大整数值为18。
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2013-2014-2天津一中高三年级数学第五次月考检测试卷（理）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. i 是虚数单位，若复数20132ii z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -23. 执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ） A. 120 B. 720C. 1440D. 50405. 已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线的方程为340x y ±=，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 221916y x -=D. 221169y x -=6. 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足sin cos a B b A =，则）A. 17. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A. 16B. 25C. 36D. 49第3题图8. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在(0,)+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）9. 某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），则该三棱锥的外接球表面积为______________2cm ．11. 曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为______．12. 在()13nx -的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含2x 项的系数为_______．13. 如图，已知点C 在O ⊙直径BE 的延长线上，CA 与O ⊙相切于点A ，若AB AC =，则． 14. 在ABC △中，60B ∠=︒，O 为ABC △的外心，P 为劣弧AC 上的一个动点，且OP xOA yOC =+（x y ∈R ，），则x y+的取值范围为______________．432侧视图俯视图正视图第10题图第13题图三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数2()cos cosf x x x x a++．（Ⅰ）求()f x的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x在区间ππ[,]63-上的最大值与最小值的和为32，求a的值．16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需要排队等候．已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为l小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个片区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为ξ(小时)，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．17. 如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，90 BAD ADC∠=∠=︒，112AB AD CD===，PD（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为π3？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由．EA18. 已知数列{}n b 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n b 的前n 项和，满足314S =，且18b +，23b ，36b +构成等差数列，数列{}n a 满足11a =，121111()n n n a b b b b -=+++*2n n ∈N （≥且）． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式n b ； （Ⅱ）证明：111n nn n a b a b +++=*2n n ∈N （≥且）； （Ⅲ）证明：12111(1)(1)(1)4na a a +⋅+⋅⋅+＜*n ∈N （）．19. 已知中心在坐标原点的椭圆Ω的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的离心率为12，一个焦点是(1,0)-，过直线4x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A B 、． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆2222 1(0)x y a b a bΩ+=>>：上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=，求证：直线AB 恒过定点(1,0)C ；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考解答一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）9.2510.29π11.12. 135 13.14.[12]，三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解：（Ⅰ）1()sin 262f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，T π=，()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z ．（Ⅱ）由已知得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 可以得到max min 33()()22f x f x a a +=++=，所以0a =． 16. 解：（Ⅰ）设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件A ，则111433310C C C 3()10P A C ==；（4分） （Ⅱ）ξ可能的取值为3，4，5，6．（5分）36310C 1(3)6P C ξ===；1246310C C 1(4)2P C ξ===；2146310C C 3(5)10P C ξ===；34310C 1(6)30P C ξ===．（9分）ξ的分布列为：34561131621030P ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（11分），数学期望215E ξ=．（13分） 17. 解：（Ⅰ）连结PC ，交DE 于N 点，连结MN ，∵△PAC 中，M ，N 分别为PA 、PC 的中点， ∴MN ∥AC因为MN ⊂面MDE ，又AC ⊄面MDE ， 所以AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）以D 为空间坐标系的原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)(1,1,0)(0,2,0)A B C P ，，，，记平面PBC 的法向量为111(,,)m x y z =，由0BC m PB m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令12z =可得(2,m =。
设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，那么sin cos ,m PA θ=<>==； （Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点Q ，满足PQ PC λ=，可知(0,2)Q λ，(0,2)DQ λ=，(1,0,0)DA =。
设平面QAD 的法向量为222(,,)n x y z =，由0DQ n DA n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21z =可得2(0,n λ=。
若Q 使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3，则 cos ,cos3m n π<>=，解得0λ=或23λ=．由于Q 不为端点，则23λ=。
因此PC 上存在靠近C 点的三等分点Q ，满足题意。
18. 解：（Ⅰ）由题意得12321314614b b b b b b ++=⎧⎨=++⎩，化简得21211410b b qb b q ==⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得122b q =⎧⎨=⎩或1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），所以2nn b =；（Ⅱ）证明：2n ≥时，由已知可得111[1()]2222212n n n n a -⋅-=⋅=--， 所以1122112222n n nn a a ++-+==⋅-，11112122n n nn n n b a b a ++++===，原题得证； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知22, 21, 1n n n a n ⎧-=⎨=⎩≥，则12232323232111111(1)(1)(1)1112121212(1)(1)(1)222222222222221212121222(21)2(21)2(21)22442nn n nn n n n n a a a ---+⋅+⋅⋅+---=⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅----------=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅-⋅-=-<．19.20.11。