第四章大数定律与中心极限定理

个次品， 例 6 设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，放回地 个样品， 的概率分布。 随机抽取 100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。
. 解：次品数 X ~ B(100,002)
m P( X = m) = C100 p mq100−m ， m = 0,1,2,L,100 .
p = 0.02 < 0.1
故
1 D(Yn ) = 2 n
∑ D( X
k =1
n
k
)=
σ2
n
2
切 比 雪 夫 不 等 式
σ P{| Yn − µ |< ε } ≥ 1 − 2 . nε
lim P {| Y n − µ |< ε } = 1
n→ ∞
1 意义：令ξn = n
∑
i =1
n
ξi ，则
1 n E ξn = ∑ E ξi ， n i =1 1 n 1 K D ξn = 2 ∑ D ξi < 2 ⋅ n K = n i =1 n n
1 P Yn = ∑ X k → µ n k =1
推论:若 为独立同分布随机变量序列, 推论 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 E(X1k)= <∞, 则 ∞
n
1 P k k ∑ X i → E( X1 ) n i =1
定积分的 近似计算
L.
适用范围：n较大，pn较小，npn适中
用EXCEL计算的结果 EXCEL计算的结果
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B(10,0.1) 0.348678 0.38742 0.19371 0.057396 0.01116 0.001488 0.000138 8.75E-06 3.65E-07 9E-09 1E-10 B(100,0.01) 0.36603234 0.36972964 0.18486482 0.06099917 0.01494171 0.00289779 0.00046345 6.2863E-05 7.3817E-06 7.622E-07 7.006E-08 5.7901E-09 4.3377E-10 B(1000,0.001) B(10000,0.0001) P(1) 0.367695425 0.367861046 0.36787944 0.368063488 0.367897836 0.36787944 0.184031744 0.183948918 0.18393972 0.061282509 0.061310174 0.06131324 0.015289955 0.015324478 0.01532831 0.003048808 0.003063976 0.00306566 0.0005061 0.000510458 0.00051094 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06 9.86181E-07 1.01099E-06 1.0138E-06 9.78284E-08 1.01018E-07 1.0138E-07 8.81337E-09 9.17522E-09 9.2162E-09 7.27095E-10 7.63837E-10 7.6801E-10
λ = np = 100× 002 = 2 不 很大 . 是
所以可用泊松分布近似二项分布， 所以可用泊松分布近似二项分布， 2m − 2 m P( X = m) = C100 p m q 100−m ≈ e ， m = 0,1,2,L,40. m!
二.几个常用的中心极限定理 几个常用的中心极限定理
x − nµ ) p{∑ X i ≤ x} ≈ Φ ( nσ i =1
n
将一颗骰子连掷100 100次 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 300的概率是多少 的概率是多少？ 300的概率是多少？ 解:设 Xk为第 次掷出的点数 设 为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 则 X1,…,X100独立同分布 独立同分布.
1
π
arctg
x , b ≠ 0 ，则辛钦大数定 b
√
相互独立， （4）设 ξ1 , ξ 2 , ⋅ ⋅ ⋅, ξ 9 相互独立， Eξ i = 1,
Dξ i = 1,( i = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, 9) 则对任 ε > 0 ，有
（A）
P{ ∑ ξ i − 1 < ε } ≥ 1 − ε −2
概率与 概率与统计
第四章 大数定律与中心极限定理
授课对象： 经管学院
为什么要讲述这部分内容？
量变到质变：条件？如何刻画？ 量变到质变：条件？如何刻画？ 概率的两个定义： 概率的两个定义：统计学定义与公理化 定义，其数理基础是否严格？ 定义，其数理基础是否严格？ 统计学的统计方法（统计量）是否优良？ 统计学的统计方法（统计量）是否优良？
两个数学问题
频率稳定于概率该如何用数学的语言描 传统的极限定义为何不可以用？ 述？传统的极限定义为何不可以用？ 正态分布的现实背景该如何用数学的语 言给出？ 言给出？ 概率统计的研究核心内容？ 概率统计的研究核心内容？
4.1大数定律及中心极限定理 4.1大数定律及中心极限定理 一、 大数定律 （一）依概率收敛
n→ ∞ n
则称{X 依分布收敛 依分布收敛于 则称 n}依分布收敛于X. 可记为
Xn → X .
w
现令 Yn =∑ X k , 若 Yn的标准化 r .v .Yn* w →ξ ~ N ( 0, 1),
k =1
n
则称{ X n }满足中心极限定理 .
定理 5.5
ξ 设 ξ n 服从二项分布 B( n, pn ) ， 服从泊松分
Xn →a
P
意思是:当 意思是 当
n → ∞ 时,Xn落在
Xn
a−ε
而
a
a+ε
当 意思是: X n → a 意思是 ∀ε > 0, ∃n0 ,当 n > n0
| X n − a |< ε
二.几个常用的大数定律 几个常用的大数定律
1.切比雪夫大数定律 切比雪夫大数定律 切比雪夫 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且 为独立的随机变量序列， 有相同的数学期望 数学期望µ 及方差σ ， 有相同的数学期望µ，及方差σ2>0，则
当n →∞ 时， D ξn 是一个无穷小量。
ξ 说明： 充分大时， 分布的分散程度很小， 说明：当n充分大时， n 分布的分散程度很小，即ξn E 的附近。 比较紧密地聚集在它的期望 ξn 的附近。
2.伯努里大数定律 伯努里大数定律 伯努里 设进行n次独立重复试验 每次试验中事件A 次独立重复试验， 设进行 次独立重复试验，每次试验中事件 发生的概率为p， 次试验中事件A发生的频 发生的概率为 ，记fn为n次试验中事件 发生的频 次试验中事件 率，则 p
i =1
9
（B）
P { ∑ ξ i − 9 < ε } ≥ 1 − ε −2
i =1
9
1 9 P { ∑ ξ i − 1 < ε } ≥ 1 − ε −2 （C） 9 i =1
（D）
√
P{ ∑ ξ i − 9 < ε } ≥ 1 − 9ε −2
i =1
9
5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 为随机变量序列 若在F(x)的 对应的分布函数分别为F 的 对应的分布函数分别为 n(x), F(x). 若在 连续点，有 lim F ( x ) = F ( x ), 连续点，
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给 为随机变量序列 ε>0, 使得
lim P{| X n − X |< ε } = 1
n→ ∞
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为
X n P→ X .
例如: 例如
内的概率越来越大. (a − ε , a + ε ) 内的概率越来越大 ∀n0 , n > n0
1 n Yn = ∑ X k P → µ n k =1
若任给ε 即若任给ε>0, 使得
lim P {| Y n − µ |< ε } = 1
n→ ∞
证明:由切比雪夫不等式 证明 由切比雪夫不等式 由切
P{| Yn − E (Yn ) |< ε } ≥ 1 − D(Yn )
ε
2
.
这里
1 n E (Yn ) = ∑ E ( X k ) = µ n k =1
fn → p
n→∞
证明:设 证明 设 则
次试验事件A发生 次试验事件 1 第i次试验事件 发生 Xi = 次试验事件A不发生 次试验事件 0 第i次试验事件 不发生
E ( X i ) = p, D( X i ) = p(1 − p)
fn =
由切比雪夫大数定理 由切比雪夫大数定理
∑
n
X n
i=1
1.独立同分布中心极限定理 独立同分布中心极限定理 独立同分布 (Levy-Lindeberg) 为独立同分布随机变量序列， 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若 为独立同分布随机变量序列 EXk=µ<∞，DXk= σ2 <∞，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中 µ ∞ ∞ 满足中 心极限定理 定理。 心极限定理。 根据上述定理， 根据上述定理，当n充分大时 充分大时
满足马尔可夫条件， {ξ n｝服从大数定律 ∴
注意: 辛钦大数定律只要求一阶矩存在,但是 注意 辛钦大数定律只要求一阶矩存在 但是 随机变量序列是独立同分布的. 随机变量序列是独立同分布的 若所讨论的随机变量序列是不服从同分布的要求 或不独立可应用切比雪夫大数定律 或者马尔可夫 大数定律 . 对比： 对比：从这些大数定律的推广可以得到做 事应该坚持的科研态度 ----从小事做起。 从小事做起。 从小事做起