第四章 根轨迹法习题
自控原理第四章根轨迹分析法：利用主导极点估算系统性能指标
“自动控制原理”
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自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自控原理第四章书后习题答案
4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a(4) 分离点：1110d 45d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
2、()()()()11.02*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，45.0131.010011-=-+--=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,23,2131212ππππϕ±±=-+=-+=k mn k a (4) 分离点：1111d 10.1d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)分离角：()() ,23,221212ππππϕ±±=+=+=k lk d 最后，精确地画出根轨迹。
4-3 已知系统的开环传递函数为()()()2*1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
第四章 根轨迹法
四 根轨迹分析法2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图【解】：题2-4-1解图2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1）)1)(5.0)(2.0()(+++=s s s Ks G （2）)12()1()(++=s s s K s G（3）)52()2()(2+++=s s s K s G （4）)136)(5)(1()(2++++=s s s s Ks G试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图。
【解】：（1）系统有三个开环极点 1,5.0,2.0321-=--=--=-p p p 。
① 0,3==m n ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。
② 实轴上的根轨迹在区间]][2.0,5.01,(----∞。
③ 渐近线 ()()2,1,0180,6031801257.0315.02.0=︒︒±=︒⋅+=-=---=-k k θσ ④ 分离点。
方法一 由0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得33.0,8.008.04.332,12--=⇒=++s s s8.01-=s 不在根轨迹上，舍去。
分离点为33.0-。
分离点处K 值为 014.0)()(33.0=-=-=s s P s Q K方法二 特征方程为：01.08.07.123=++++K s s s重合点处特征方程：0)2()2()()(22232=+++++=++b a s a ab s b a s b s a s 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点。
系统的特征方程为01.08.07.1)(23=++++=K s s s s D方法一 令ωj s +，得⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-⇒=+++--26.18.001.07.108.001.08.07.12323K K K j j ωωωωωωω 方法二 将特征方程列劳斯表为Ks K s Ks s ++-+1.07.11.08.01.07.18.010123令1s 行等于0，得26.1=K 。
第四章 根轨迹法习题
第四章 根轨迹法习题4-1 系统的开环传递函数为 )4)(2)(1()()(*+++=s s s Ks H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G ⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ⑶ )12()1()(++=s s s K s G4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )208()()(2++=*s s s Ks H s G ⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s Ks H s G⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G ⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(s G ，要求： （1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s Ks G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
4-７ 已知控制系统的开环传递函数为 22)94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）（试概略绘制系统根轨迹。
4-８ 已知系统的开环传递函数为)93()(2++=*s s s Ks G试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的K 值范围。
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第四章 根轨迹法习题
班级_________ 学号_________ 姓名_________
4-1 系统的开环传递函数为)
4s )(2s )(1s (K
)s (H )s (G *
+++=
，
试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出该点对应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解：
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)
b s )(4s (02)s (G ++= （2）)
b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=
解：
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)
b s )(4s (s 2)s (G ++=
，试绘制参数b 从零变化到无
穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解：
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的概略根轨迹。
⑴ )
1s 5.0)(1s 2.0(s k
)s (G ++=
(2) )
1s 2(s )1s (k )s (G ++=
(3) )
3s )(2s (s )5s (k )s (G *
+++= (4) )
1s (s )
2s )(1s (*k )s (G -++=
解：
班级_________ 学号_________ 姓名_________
4-5 单位反馈系统的开环传递函数为)
101s .0)(102s .0(s k
)s (G ++=
，要求：
(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼时开环增益k 的值。
解：
4-6 已知系统的开环传递函数为)
20s 8s (s k
)s (H )s (G 2
*
++=
，要求绘制根轨迹并确定系
统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。
解：
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)
1s 7
4(
)1s ()1s 2(k )s (G 2
-++=
，试绘制系统根轨迹，并确定
使系统稳定的k 值范围。
班级_________ 学号_________ 姓名_________
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出4个起始角）。
2
2
)
9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*
）（
解：
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。
(1) )
1s (s )a s (4/1)s (G 2
++=，0a >；(2) )
1Ts )(11s .0(s 6
.2)s (G ++=
，0T >
解：
4-10 系统的开环传递函数)
18s ()1s ()1s (k )s (H )s (G 2
+-+=
*
，试概略绘出相应的根轨迹，并求
出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的取值范围。
解：
4-11 已知系统结构如图所示，
试绘制时间常数T 变化时系 统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：
班级_________学号_________ 姓名_________
4-12正反馈控制系统的结构如图所示，
试概略绘制其根轨迹(0
k* )。
解：
4-13设单位反馈系统的开环传递函数为
)2
s(s )s
1(
*
k
)s(
G
+-
=，试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根时根轨迹增益*
k的值。
解：。