数学分析考题1

《数学分析》考试题一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈∀,当0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时,),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )5 设 ⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时, 有)()(x g x f ≠. ( )二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题:1 =+=∞→+=∑n n n k n a kn a lim .911612.2 函数 |3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 .3. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim000=--→hh x f x f h , =0x .4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .5. ⎰⎰='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin)(2.二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题:1 1111lim3-+-+→x x x .2 求函数54)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ⎰+12x x dx .4 ⎰++dx x x )1ln(2. 5 ⎰+-+dx x x x 5232.6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .三 （ 满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 254)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 .四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:1 设函数f 在区间]2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :] , 0 [ a c ∈∃, 使 )() (a c f c f +=.2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明 函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =. 试证明: ) , 0 ( a ∈∃ξ, 使 0) (=''ξF .4 试证明: 对 R ∈∀n x x x ,,, 21 , 有不等式nx x x nx x x nn2222121+++≤+++ .（十二） 一年级《数学分析》考试题一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ） 2. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >。

（ ）3. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在。

（ ）4. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ） 二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。

（10分） 三 证明：nR中任意有界的点列中必有收敛的子点列。

（10分）四 计算下列极限：（9分）1xxy y x )sin(lim)0,0(),(→ ；242)(lim 22)0,0(),(yxy x y x+→；322)0,1(),()log(limyxex x y x ++→；五 计算下列偏导数：（10分）（1）)(222zyxx eu ++=；（2）)log(21n x x x z +⋅⋅⋅++=； 六（10分）计算下列函数f 的Jacobian Jf ：（1）)sin(),,(2yz y x z y x f =； （2）2/12222121)(),,,(n n x x x x x x f +⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅；七 （10分）设隐函数)(x y 由方程定义，求 'y 及 ''y 。

八（11分）在椭球内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？ 九、（10分）求椭球面过其上的点),,(000z y x p = 处的切平面的方程。

十、（10分）设函数),(),,(y x g y x f 是定义在平面开区域G 内的两个函数，在G 内均有连续的一阶偏导数，且在G 内任意点处，均有又设有界闭G D ⊂，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。

xy x y arctan2=1222222=++cz by ax 1222222=++cz by ax 0≠∂∂∙∂∂-∂∂∙∂∂xg yf yg xf ⎩⎨⎧==0),(0),(y x g y x f )0(≠x（十三）一年级《数学分析》考试题一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ） 5. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >。

（ ）6. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在。

（ ）7. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ） 8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。

（ ） 9. 对于函数xxx cos +，由于)sin 1(lim ')'cos (limx x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，xxx cos +的极限不存在。

（ ）二 计算下列极限：（18分）1 )1sin(lim nn n ∞→2 )sin 1(lim n nn ∞→；3 )1 (2)111(lim nn n n n ++++++∞→；4 xox xsin lim +→；5 )ln )(ln(lim x a x x x -+∞→；6 422cos limxex xx -→-。

三 计算下列函数的导数：（20分）（1）x x e x f xarcsin )log()(3+=；（2）)12(ln )(-=x x f x；（3）22,0ln sin 2dxy d y x x y 求=+；（4）⎩⎨⎧==;cos ,sin 22t t y t t x （5）设)(x f 二次可导，求'))'(arctan (x f 。

四 计算不定积分（12分）： （1）dx x x ⎰+-20)2)(1(； （2）dx xx x ⎰++cos 1sin ；（3）dx x e x ⎰2sin ；（4）dx e dxx ⎰+2)1(。

五 （8分）求函数x e x f sin )(=在0=x 处的5次Taylor 多项式：六 （8分）用Lagrange 中值定理证明：如果函数)(x f 在),([+∞a 可微，并且0)('lim =+∞→x f x ，则0)(lim=+∞→xx f x 。

七 （8分）证明：若函数)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞→)(lim （有限数），则)(x f 在),[+∞a 上一致连续。

八 （8分）求母线为l 的圆锥之最大体积。