1.概率的预测
人教a版必修3数学教学课件第3章概率第1节随机事件的概率
反思判断随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,
在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机
事件),还是一定不发生(不可能事件).
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
反思利用频率估计概率的步骤:
(1)依次计算各个频率值;(2)观察各个频率值的稳定值即为概率
的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
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IANLITOUXI
【做一做1】 下列事件中,是随机事件的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③买一张彩票中奖;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三
反思1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将试验的条
件实现一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判
断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一
般采用列举法.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列
结果没有重复,也没有遗漏.
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新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率 知识点考点重点难点解题规律归纳总结
第六章概率1随机事件的条件概率................................................................................................ - 1 -1.1条件概率的概念............................................................................................. - 1 -1.2乘法公式与事件的独立性............................................................................. - 5 -1.3全概率公式..................................................................................................... - 5 -2离散型随机变量及其分布列.................................................................................... - 9 -2.1随机变量......................................................................................................... - 9 -2.2离散型随机变量的分布列........................................................................... - 12 -3离散型随机变量的均值与方差.............................................................................. - 16 -3.1离散型随机变量的均值............................................................................... - 16 -3.2离散型随机变量的方差............................................................................... - 21 -4二项分布与超几何分布.......................................................................................... - 24 -4.1二项分布....................................................................................................... - 24 -4.2超几何分布................................................................................................... - 27 -5正态分布 ................................................................................................................. - 30 - 1随机事件的条件概率1.1条件概率的概念1．条件概率(1)条件概率的定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)．(2)条件概率公式当P(A)>0时，有P(B|A)＝P(AB) P(A)．1．如何从集合角度看条件概率公式？[提示]若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间，因此，有P(B|A)＝P(AB) P(A)．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0，1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．P(B|A)与P(B)有何大小关系？[提示]P(B|A)≥P(B)．疑难问题类型1利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．[思路点拨]可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)求概率．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110．(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(AB) P(A).类型2利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式求解；第(3)问为条件概率，可以利用定义P(B|A)＝P(AB)P(A)求解，也可以利用公式P(B|A )＝n(AB)n(A)求解．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝n AnΩ＝2030＝23．(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝n ABnΩ＝1230＝25．(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35．法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35．如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n(AB)n(A)，其中n(AB)表示事件包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数.类型3条件概率的性质及应用[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C．则所求事件为B∪C|A．∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13．【例3】有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨]先设出基本事件，求出基本事件的概率，再求试验成功的概率．[解]设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{第二次取出的球是红球}，D＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(C|A)＝12，P(D|A)＝12，P(C|B)＝45，P(D|B)＝15．事件“试验成功”表示为CA∪CB，又事件CA与事件CB互斥，故由概率的加法公式，得P(CA∪CB)＝P(CA)＋P(CB)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝12×710＋45×310＝0.59．1．应用概率加法公式的前提是事件互斥．2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率．归纳总结1．由条件概率的定义可知，P (B |A )与P (A |B )是不同的．另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的概率不一定是P (B )，即P (B |A )与P (B )不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P (A )＞0．当P (A )＝0时，P (B |A )＝0．3．P (B |A )＝P (AB )P (A )可变形为P (AB )＝P (B |A )·P (A )，即只要知道其中的两个值就可以求得第三值．1.2 乘法公式与事件的独立性1.3 全概率公式1．概率的乘法公式当P (A )>0时，P (AB )＝P (B |A )·P (A )．2．相互独立事件的概率(1)一般地，事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．(2)如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．相互独立事件的性质若A 与B 是相互独立事件，则A 与B －，B 与A －，A －与B 也相互独立．若A ，B 相互独立，则A 与B 也相互独立，为什么？[提示] ∵A 、B 相互独立，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )－P (A )P (B )，∴P (A )P (B )＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )， ∴A 与B 相互独立．3．全概率公式(1)全概率公式设B 1，B 2，…，B n 为样本空间Ω的一个划分，若P (B i )＞0(i ＝1，2，…，n )，则对任意一个事件A 有P (A )＝∑ni ＝1P (B i )P (A |B i )． *(2)贝叶斯公式设B 1，B 2，…，B n 为样本空间Ω的一个划分，若P (A )＞0，P (B i )＞0(i ＝1，2，…，n )，则P (B i |A )＝P (B i )P (A |B i )∑n j ＝1P (B j )P (A |B j )． 疑难问题类型1 互斥事件与相互独立事件的判断【例1】 判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．[思路点拨] 利用独立事件、互斥事件的意义判断．[解] (1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．判断两事件相互独立的方法(1)若P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 和B 相互独立.(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立.类型2 相互独立事件同时发生的概率【例2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45，35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． [思路点拨] (1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解． [解] (1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i ＝1，2，3，4)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25，P (A 4)＝15．“该选手进入第四轮才被淘汰”记为B ，P (B )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝45×35×25×45＝96625．(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C ，P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝101125．法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D ，则P (D )＝45×35×25×15＝24625．而C 与B ∪D 为对立事件，B 与D 为互斥事件，∴P (C )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－96625－24625＝101125．1．求P (AB )时，要注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时，应注意事件A ，B 是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②转化为求对立事件的概率，利用P (A )＝1－P (A )来计算．2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．类型3全概率公式的应用【例3】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的该概率．[解]设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，A i＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．2．从以上典型例题的分析可以看出，应用全概率公式解决问题时，准确、迅速寻找完备事件组是解决此类问题的关键，其应用的一般方法和步骤归纳如下：(1)认真分析题目中的条件，找出完备事件组A1，A2，…，A n；(2)求出A i发生的条件下B发生的条件概率P(B|A i)，这样就可以直接利用全概率公式解决此类问题了．归纳总结1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．2．如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．2离散型随机变量及其分布列2.1随机变量1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量．(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗？[提示](1)可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．(2)不一定．可以是无限个，如1，2，3，…，n，…．疑难问题类型1随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量；(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路点拨]判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．类型2离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．[解](1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.类型3用随机变量表示随机试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[思路点拨]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5， (11)X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．归纳总结1．随机变量可将随机试验的结果数量化．2．随机变量与函数的异同点：随机变量函数相同点都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数2.2 离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量X 的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 的取值为x 1，x 2，…，x n ，…，随机变量X 取x i 的概率为p i (i ＝1，2，…，n ，…)，记作：P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…，n ，…)，①，把①式列成如下表格：如果随机变量X 的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X 服从这一分布列，并记作X ～⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 x 2 … x n …p 1 p 2 … p n…． (2)性质：在离散型随机变量X 的分布列中， ①p i >0(i ＝1，2，…，n ，…)； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＋…＝1． 3．伯努利试验若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p ，每次“失败”的概率均为1－p ，则称这样的试验为伯努利试验．4．两点分布如果随机变量X 的分布列如表其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1?[提示]因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1．疑难问题类型1离散型随机变量的分布列【例1】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解](1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X 3456P12032031012(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920．求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1，2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.类型2 离散型随机变量分布列的性质【例2】 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710．[思路点拨] (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a ．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．[解] 依题意，随机变量X 的分布列为X ＝i 1525354555P (X ＝i )a 2a 3a 4a 5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115．(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝55＝315＋415＋515＝45．法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45．(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35．故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25．1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．类型3 离散型随机变量分布列的应用【例3】 袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．[思路点拨](1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所有可能取值及取每个值的概率；(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．[解](1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23．法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23．(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815．所以随机变量X的分布列为(3)“C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330．离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用.归纳总结1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？[提示](1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．疑难问题类型1求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[思路点拨]首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．[解](1)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，当ξ＝0时，即取到2个黑球，则P(ξ＝0)＝C24C29＝16；当ξ＝1时，即取到1个黑球和1个白球，则P(ξ＝1)＝C14·C13C29＝13；当ξ＝2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(ξ＝2)＝C23 C29＋C12·C14 C29＝1136；当ξ＝3时，即取到1个红球和1个白球，则P(ξ＝3)＝C13·C12C29＝16；当ξ＝4时，即取到2个红球，则P(ξ＝4)＝C22C29＝136．所以ξ的分布列为ξ01234P 1613113616136(2)均值Eξ＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值． (2)求概率：求X 取每个值的概率． (3)写分布列：写出X 的分布列． (4)求均值：由均值的定义求出EX ，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．类型2 离散型随机变量均值的性质 【例2】 已知随机变量X 的分布列为：X －2 －1 0 1 2 P141315m120(1)求EX ；(2)若Y ＝2X －3，求EY ．[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16， 所以EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730． (2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b ，得 EY ＝E (2X －3)＝2EX －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215．法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以EY ＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215．1．本例条件不变，若ξ＝aX ＋3，且Eξ＝－112，求a 的值． [解] Eξ＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112，所以a ＝15．2．已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P1213m若η＝aξ＋3，Eη＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，所以m ＝16， 所以Eξ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 法一：Eη＝E (aξ＋3)＝aEξ＋3＝－13a ＋3＝73． 所以a ＝2．法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η －a ＋3 3 a ＋3 P121316Eη＝(－a ＋3)×12＋3×13＋(a ＋3)×16＝73． 所以a ＝2．]求离散型随机变量均值的解题思路(1)若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数．一般思路是先求出EX ，再利用公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b 求EY ．(2)利用X 的分布列得到Y 的分布列，关键由X 的取值计算Y 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY ．类型3 离散型随机变量均值的应用【例3】 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？[思路点拨]在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．[解](1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝C56C512＝1132．(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝C56C512＝1132，P(X＝4)＝C46C16C512＝15132，P(X＝3)＝C36C26C512＝50132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝66132，所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：Y －19－10.51P1132151325013266132所以收入的随机变量Y的均值为EY＝(－19)×1132＋(－1)×15132＋0.5×50132＋1×66132≈0.431 8．故这个人可以赚钱，且摸10 000次净收入的均值为4 318元．(1)实际问题中的均值问题,均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.(2)概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.归纳总结1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用． 2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E (C )＝C (C 为常数)； (2)E (aX 1＋bX 2)＝aEX 1＋bEX 2；(3)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝EX 1·EX 2．3.2 离散型随机变量的方差1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差DX ＝∑n i ＝1(x i －EX )2p i ．(2)标准差σX ＝DX ． 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2DX ．(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？ (2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？[提示] (1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．疑难问题类型1 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120， P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320， P (ξ＝4)＝420＝15． 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015所以Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75．求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．(4)利用公式EX ＝∑ni ＝1x i p i 求出随机变量的期望EX ．(5)代入公式DX ＝∑ni ＝1(x i －EX )2p i ，求出方差DX ．类型2 方差的性质【例2】 已知随机变量X 的分布列为X1234P 0.2 0.2 a 0.2 0.1求EX ，DX ，D (－2X [解] ∵0.2＋0.2＋a ＋0.2＋0.1＝1，∴a ＝0.3． ∴EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．。
概率的含义教案及教学说明(新)1
§25.3概率的含义（一）东莞市东华初级中学冯婷婷华东师大版数学九年级(上) 第二十五章第三节教材分析概率的含义（一）是华师大版九年级数学上册第25章第三节第一课时，概率在日常生活中、科学预测中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点，也是数学研究的一个重要分支.按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式，统计与概率的内容已经由简单到复杂，由低层次的展开到高层次的综合，得到了不断的深化.本节在学生已有的实验概率的知识基础上，首先引出概率的计算；通过问题1，介绍如何从频率的角度解释某一个具体的概率值，通过本节的学习，为后面概率的计算和沟通实验概率与理论概率作了准备.学情分析(1)到本册为止，除了概率的公理化定义外，已经介绍了两种和初步接触了一种研究事件发生可能性大小的途径：主观概率、实验概率和根据树状图等理性分析预测概率；(2)在经过前四册概率知识的学习后，九年级学生已经具有一定的动手实验能力和归纳概括能力；(3)学生希望老师能创设便于观察和思考的学习环境，也希望结合具有现实背景的素材，获得数学概念，掌握解决问题的技能与方法.设计理念为了充分调动学生学习的积极性，变主动学习为主动愉快学习，使数学课变得生动、有趣、高效，在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.教学目标知识目标： 1.理解概率定义和简单的计算2.充分利用学生已有的对实验概率的经验，从频率的角度去解释某一个具体的概率值含义能力目标：通过活动，帮助学生感受到数学与现实生活的联系，提高用数学知识来解决实际问题的能力情感目标： 1.培养学生实事求是的态度及勇于探索的精神2.培养学生交流与合作的协作精神教学重点 1.通过回顾以往实验,引出概率的定义和计算公式2.通过学生对已有实验的经验去体会某一概率值的含义教学难点从实验中某事件发生的频率去理解某一概率值的含义教学方法采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”的“引导发现法”和“探索讨论法”.教学手段采用多媒体教学教学基本流程教学过程问题问题设计意图 师生活动一 .回顾实验已做过的抛掷一枚普通硬币的实验（电脑演示） 问题1：在抛掷一枚这个实验中“出现反面”的机会是多少？这个机会还表示什么？问题2:投掷手中一枚普通的正六面体骰子，有几个等可能的结果及掷得6的结果？通过回顾实验，学生很容易答出，抛掷一枚普通硬币仅有两个可能的结果：“出现正面”和“出现反面”.这两个结果发生的机会相等，“出现反面”的机会为50%.50%还表示“出现反面”这个事件发生的可能性的大小.通过回顾画树状图分析某事件的等可能结果及关注的结果 师：提出问题，引导学生回忆、观察做过的实验· 生：观察、叙述这一实验频率的稳定值·及画树状图来分析某事件的等可能结果和关注的结果二 .归纳定义 概率的定义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率· 例如，抛掷一枚硬币，“出现反面”的概率为21，记为：P （出现反面）＝21 读作：出现反面的概率等于21写一写，读一读：你投掷手中一枚普通的正六面体骰子，“出现数字1”的概率是多少？解：(116P 出现数字）＝ 读作：“出现数字1”的概率为16通过具体的简单实验，得到概率的定义，学生经历了从特殊到一般的探索过程，降低了学习的难度，消除了学习新知的畏惧心态.师：分析学生的解释，引出概率含义的正确理解.生：思考、讨论、叙述自己的理解.三 .从学过的实验频率初步体会概率含义⑴.合作填表：⑵ .归纳总结：提出三个问题：1.频率和概率的关系是什么？2.除实验外我们还有哪种方法可以得到概率？3.理论分析概率的关键是什么？通过三个问题的总结，学生发现理论分析概率的关键：（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果（2）要清楚所有机会均等的结果. （1）、（2）两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率.P（关注结果）关注的结果个数＝所有机会均等的结果的个数三个问题的提出，为学生归纳概率公式指明了方向，在三个问题的指导下，发现理论分析概率的关键就是1.要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果2.要清楚所有机会均等的结果;进而得到概率的一般公式，达到沟通实验概率和理论概率的目的;进一步强化对概率含义的正确理解.师：然后将学生每四人分为一组，选出组长做好记录，类比学习，四人合作完成将后面四个实验填写·生：完成后，小组长发表结论，师生共同分析判断，得到正确答案.首先让学生观察课本124页表25.3.1已填好的三个简单实验，引导学生发现图表中所填内容和要求的联系，特别是发现“所有机会均等的结果”就是要将包括关注的结果在内的所有机会均等的结果都罗列出来.师：帮助学生回忆上节课的试验，引导学生观察、归纳和总结·最后归纳总结频率与概率的区别与联系的书面文字·生：尝试归纳、概括频率与概率的区别与联系，并发表自己的意见四. 设计实验，从频率角度解释概率值含义 议一议：某俱乐部举办了一次掷一个骰子的游戏，每掷一次付款0.1元，若掷中“6”则奖1元，小明想，我只要掷6次，就有一次掷中6，小明的想法对吗？（此问题原型为课本P126页问题1）问题1：在抛掷一枚普通的六面体骰子这实验中，掷得“6”得概率等于61表示什么意思？有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”，你同意吗？思考：①已知掷得“6”的概率等于61，那么不是“6”（也就是1～5）的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？②我们知道，掷得“6”的概率等于61也表示：如果重复投掷骰子很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到61附近·这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？思考1的解决让学生理解同一事件中所有关注结果的概率和为1，学会从频率角度解释概率值;思考2的解决让学生理解这两种说法其实是一回事，达到实验概率和理论概率的统一. 师：提出问题，引导学生讨论，讲出自己的想法，肯定正确的，指出错误的地方，用试验来验证.生：思考、讨论、叙述自己的理解通过做投掷骰子实验（或模拟实验），一旦掷到“6”，就算完成了一次实验，然后数一数你投掷了几次才得到“6”的．看看能否发现什么．通过自我设计模拟实验，培养学生用所学的知识解决问题的能力，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新能力师：提出问题，引导学生讨论，讲出自己的想法，肯定正确的，指出错误的地方，用试验来验证生：思考、讨论、叙述自己的理解生：（四人小组合作交流完成）五.当堂训练(分层练习)A 组1．掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：P （掷得点数是6） = 61 ；P （掷得点数小于7）= 1 ； P （掷得点数为5或3）= 31；P （掷得点数大于6）= 0 . 2．甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80，你认为买哪一种产品更可靠？ 3.阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？ 4.从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张· P （抽到红心） = ？ P （抽到黑桃） = ？ P （抽到红心3）= ？ P （抽到5）= ？ 5.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4·现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则： p （摸到1号卡片）= ？ p （摸到2号卡片）= ？ p （摸到3号卡片）= ？ p （摸到4号卡片）= ？ 6. 任意翻一下日历，翻出1月6日的概率为 ·翻出4月31日的概率为 ________. B 组 1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）·甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？2．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏,游戏设置了如图所示的翻奖牌，如果只能在9个数字中选中一个翻牌，试求以下事件的概率（1）得到书籍；（2）得到奖励；（3）什么奖励也没有当堂训练分为A 、B 、C 三组练习，其中A 组练习以基础知识为主，让多数学生都有收获，感受到成功的喜悦.B 组练习的设计，联系生活实际，训练学生的基本技能，让学生感受到概率与实际生活的联系.C 组练习，设计一道摸球游戏的开放题，目的是培养学生合作，探究，创新的能力.1 2 3 4 5 6 789奖牌正面 一架显微镜 一套丛书 谢谢参与 一张唱片 两张球票 一本小说 一个随身听一副球拍一套文具奖牌反面卧室书房饭厅客厅C 组1. 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. （1）使摸到白球的概率为 21 ，摸到红球的概率为21（2）使摸到白球的概率为 21 ，摸到红球和黄球的概率都是41 .你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？设计A 、B 、C 三组练习，可以让学生从会做的题开始做起，让每个学生都有可以做的题目，都有做不完的题目，使不同程度的学生通过例题，练习，习题得到不同程度的发展. 六.小结归纳到此为止，学生已基本掌握好本节课主要内容，并能简单应用，达到了教学目标;为了再现本节课重点、难点，突出关键，使学生对所学知识有一个完整的印象，从四点作出小结：①概率的定义②获得概率的两种方法：实验观察和理论分析 ③会用概率公式解决实际问题 ④从频率角度解释概率值的含义七.布置作业（A 组）1.从一副52张的扑克牌（除去大小王）中任抽一张. P （抽到红心） = ； P （抽到不是红心）= ； P （抽到红心3）= ； P （抽到5）= .（B 组）2.如图是小明家的平面示意图，某天，马小虎不慎把文具盒丢在下面四个房间中的某个房间中，房间里铺满了相同 的地砖.问文具盒丢在哪个房间内的概率最大？（C 组）3.如图是一个转盘，小颖认为转盘上共有三种颜色， 所以自由转动这个转盘，指针停在红色、黄色、或蓝色区域的概率都是31，你认为呢 ？八、板书设计板书分为三块，一个为定义公式，一个为例题，一个为投影区·九．评价设计评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学.1＝经常 2＝一般 3＝很少思维的创造性 (用不同方法解决问题、独立思考) 1＝经常 2＝一般 3＝很少 思维的条理性（能表达自己的意见、解决问题的过程清楚、有计划） 1＝经常 2＝一般 3＝很少 是否善于与人合作和积|极表达意见) 1＝经常 2＝一般 3＝很少 是否自信（提出和别人不同的问题、大胆尝试并表达自己想法） 1＝经常 2＝一般 3＝很少 积极（举手发言、提出问题并询问、讨论与交流以、阅读课外读物） 1＝参与有关的活动2＝初步理解 3＝真正理解并掌握知识技能掌握情况（概率含义、解决问题） 说 明321 项 目【教案设计说明】：一.关于教学内容本课时是华东师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级（上）第25章第3节概率含义第一课时，主要是探究概率的含义和介绍如何从频率的角度解释某一具体的概率值……二.关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，变主动学习为主动愉快学习，使数学课变得生动、有趣、高效，在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.三.关于教学手段在教学手段方面我选择多媒体辅助教学的方式，多媒体为教师进行教学演示和学生的观察与发现提供了平台，借助投影、计算机辅助教学，通过有声、有色、有动感的画面，提高学生学习的兴趣，在美的熏陶中主动愉快地获取知识，提高教学效益，使信息技术与数学教学有机整合，真正为教学服务.四.关于教学设计为了达成教学目标，强化重点、突破难点，我把引导学习活动分为实验回顾、学习新知、当堂训练、小结归纳、课后巩固等阶段.五.思考的几个问题1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.3、怎样应对学生“动”起来后提出来的各种令教师始料不及的问题，防止学习秩序失控.。
预测概率阈值选择
预测概率阈值选择
预测概率阈值的选择是一个重要的决策过程，它可以根据特定的业务需求和目标来调整模型的预测精度和覆盖率。
以下是一些可能有用的方法：
1、根据历史数据确定阈值：使用历史数据来确定一个适当的阈值是一种常见的方法。
通过对历史数据进行统计分析，可以确定一个适当的阈值，以便在模型预测时区分真正的正例和负例。
2、交叉验证：交叉验证是一种评估模型性能的统计方法，也可以用于确定预测概率的阈值。
通过将数据集分成多个部分，并使用其中的一部分数据进行训练，然后使用另一部分数据进行验证，可以找到一个最佳的阈值，以最大化模型的预测精度和覆盖率。
3、业务规则和常识：在某些情况下，业务规则和常识可以用来确定预测概率的阈值。
例如，某些行业可能已经有了公认的阈值标准，或者根据实际情况可以设定一个合理的阈值。
4、实验和调整：确定阈值的过程也可以是一个试错的过程。
通过对不同的阈值进行实验，并观察模型性能的变化，可以找到一个最佳的阈值。
如果需要的话，可以进行一些调整以获得更好的模型性能。
高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步
第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的.尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小.为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学. （当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出1现的可能性相同，所以概率均为丄；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所1 2 以概率均为-•6|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值. 冷1 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为 -，并1 2 不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面.2虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）.（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型.古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可.某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量12反”但概率都不是 -，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A和B,那3么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）.而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）•为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4,假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是10.11等可能4.从10个红球、5. 投掷两枚硬币,1反的概率是-.46. 从3个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是1出现2个正面的概率是 -，出现1正1反的概率是41011 •1—，出现2232个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是 -.10例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况一一“2正、1正1反、例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球•从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数.练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4 个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？例题 3. 一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5 的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1 的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3 枚硬币，请问：（1）出现3 个正面的概率是多少？（2）出现1 正2 反的概率是多少？例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1 个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2 个红球、3 个黄球和4 个黑球．从中任取两个球，请问：取出2 个黑球的概率是多少？取出1 红1 黄的概率是多少？取出1 黄1 黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如： A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球,1 然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球的概率是-，所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄•3 2 3 6在分步拿球的问题中，大家还要注意“ 无放回拿球”和“有放回拿球” 的区别，它关系到每步的概率计算结果•例如：一个盒子中装有形状大小相•同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中111取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是2 2 4 -例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？「分析」分步计算概率即可.小概率事件之买彩票彩票市场产生于16 世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139 个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011 年，全国彩票销售规模首次突破了2000 亿元，达到2215 亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987 年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433 亿元．在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987 年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票（如3D）三种，后两种均是电脑型彩票.体育彩票：体育彩票是指由1994 年3 月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票（如大乐透、22 选）.截止到2013 年世界上中得彩票最大额为一个美国80 多岁的老太太，独中5.9 亿美元.作业1. 在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6 黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？2. 小高与墨莫做游戏：由小高抛出3 枚硬币，如果抛出的结果中，有2 枚或2 枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？3. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？4. 连续抛掷2 个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12 的概率有多大？5. 6 名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？一样的，所以这个游戏是公平的 .例题:例1.答案：(1) 1 ; (2) ；( 3) 033详解：若没有任何要求共有 A 6种排法，（1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共A 55种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是1-；（2）总的情况去掉（1 ）问的情况的即可，所以3可以；（3）男生无法互不相邻，所以该问概率为 0.例2.答案：（1） 2; (2) 7;(3) 0、19 9详解：共有9个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概 率是2 ; （2）排除法可得：2 7 1 - - ; （ 3）没有绿球，所以绿球出现的概率是 0.一定99 9不是绿球，概率是1 .例3.答案：（1） 1 ; (2) 1 ; (3)色69 18详解：（1）两个骰子点数共有 6 6 36种情况，其中相同的情况有 6种，所以概率为-6（2）和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为1 , （3）按第一个骰子的点9数分类，第一个骰子点数为 1~6时，第二骰子的点数依次有 1、2、2、2、2、1种情况所以概率为—•18例4.答案：1 ; 233详解：两个盒子各取一个球放在一起有3 X 3=9种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为1 --=-.3 3例5.答案：0.72; 0.02详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即 0.8 0.9 0.72 ;都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.1 0.2 0.02 .例6.答案：一样大详解：先计算第一个人的中奖概率为 1 ,再计算第二个人中奖的概率， 首先第一个人要3 没有中奖概率为-，此时第二个人抽中的概率为-，所以，第二个人中奖的概率为3 2第十三讲概率初步1 21 --，该问用插空法也3 32 112丄丄，综上，两个人中奖的概率一样大.3 2 3练习：1. 答案：0.2; 0.4; 0.3简答：A4A5 0.2 ；（A： A2）A 0.4 ；（c3 A A3） A 0.3.2. 答案：上；兰35 35简答：共有七人选出3人的的选法总数是C；7 6 535种，（1）选出3男有43 2 1种选法，所以，概率为4 35 —；（2）2男有6种选法，1女有3种选法，2男135女共有18种选法，所以，概率为I8.353. 答案：-；38 8简答：（1）每枚硬币出现正面的概率为-,3个正面的概率是1111 , （2）2 2 2 2 8 投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8种，其中1正2反的次数是3次，所以，概率为？.84. 答案：1；1；16 6 3简答：任取2球，取法总数为C9236种，其中2黑的取法有C426种，1红1黑取法有2X 3=6种，1黄1黑有3 X 4=12种，所以，概率为1, 1 , 1 .6 6 3作业：4 11 26. 答案：（1）；（2）；（3）15 15 35简答：（1）任取一个球，全部情况的数量是15，取到红球的数量是4,所以概率是 -；1511（2）取到黄球或黑球的数量是11,所以概率是；（3）任取两个球，全部情况的数152 2 2量是氏105，取到两个红球的数量是C26，所以概率是6 105 -357. 答案：公平1简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的2111111311概率是：c2 —————一 ___ ，墨莫获胜的概率是3222222882111 111 3 1 1C3-1 1 1 1 1 31 1，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是2222228828.答案：0.09 ; 0.49简答：0.3 0.3 0.09 ；0.7 0.7 0.49 .19. 答案：—6简答：点数和大于9 的情况有 6 种：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6,16）.其中和为12的概率为二.610. 答案：1/5简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5.古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1. A、B、C排成一排，共有6种排法，其中A占排头的方法共2种，所以A站排1头的概率是* 1 2 3 * 5.32 .从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法,3其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是一.103. 3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法3共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是-.5上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件一样的，所以这个游戏是公平的.。
第一章 概率论的基本概念
• 答案：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的 拿这个钱的1／4。
• 假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。 若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了， 即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱 应该是（1／2）×1＋（1／2）×（1／2）＝ 3／4,当然，B就应该得1／4。
24
0.4614
• “分赌本”问题 两个人决定赌若干局，事先约 定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢4 局，另一人赢3局时因故终止赌博，应如何分 赌本？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4 份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早 说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分 一半呢？
• 法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一 位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学 家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了《论 赌博中的计算》（1657年）。
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即A B，称事件A与事件B
相等。
n
和： A，B表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习 证明下列等式：
1A B A B A 2A B B A AB AB 3B A AB AB
解 1 A B A B A B A A
证明(3):由于A1，A2 ，… ，Ak是两两互不相 容，在n次试验中A1∪A2∪…∪Ak的频数
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率
《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材：《概率论与数理统计教程》总安排学时：90本章学时：14第一讲：随机事件及其运算教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
2011数学中考第一轮复习课件第39讲 频率与概率的应用
【答案】D
9． (2010·门头沟区)小明要给刚结识的朋友小林打电话， 他只记住了电话号码的前 5 位的 顺序，后 3 位是 3、6、8 三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次 就拨通电话的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 3
2 1 【解析】所有机会均等的情况共有 6 种，其中相同颜色的 2 种，∴P(相同颜色)＝ ＝ . 6 3
【答案】B
12．(2011 中考预测题)小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的 六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得朝上一面的点数之和是 3 的倍数的概率是( ) 1 1 5 5 A. B. C. D. 3 6 18 6 【解析】所有机会均等的结果共 36 种，利用画树状图或列表的方法可查得点数之和是 3 的倍数的是 12 种， 12 1 ∴P(和是 3 的倍数 )＝ ＝ . 36 3
【解析】共有 12 种等可能的结果，抽出的试卷是数学试卷的有 2 种等可能的结果，故概 2 1 率为 ＝ . 12 6
【答案】C
11．(2011 中考预测题)小华外出，带了白色、蓝色、棕色上衣各 1 件，白色、棕色裤子 各 1 条，他任意拿了 1 件上衣和 1 条裤子，正好是相同颜色的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 5
【答案】D
7．(2009 中考变式题)在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红 球只有 3 个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸 球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是( ) A．12 B．9 C．4 D．3
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从一副没有大 小王的扑克牌 中随机抽一张
黑桃
1 4 左右
黑桃,红 桃,方块, 草花
1 4
1 4
四人小组讨论：你从上表中发现了什么规律？
合作交流
从上表中发现的 规律： 原来这几个通过重复实验得到的频率稳定值也
可以开动脑筋分析出来。 分析的关键：
（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果； （2）要清楚所有机会均等的结果； （1）、（2）两种结果个数的比值就是关注的结 果发生的概率。
思考： 甲袋
20红，8黑
乙袋
20红,15黑,10白
下面三位同学的说法，你觉得这些同学说的 有道理吗？
1．小明认为选甲袋好，因为里面的球比 较少，容易取到黑球；
2．小红认为选乙袋好，因为里面的球比较 多，成功的机会也比较大 。
3．小丽则认为都一样，因为只摸一次，谁 也无法预测会取出什么颜色的球．
甲袋
才掷得一次“6”?记录后汇报结果.
原来掷得“6”的概率等于 1 表示的意思是：
6
如果掷很多很多次的话，那么平均每6次有1次掷得 “6”.
1
出现反面的概率等于 2表示： 如果掷很多很多次的话，
那么平均每2次有1次出现反面.
抽到黑桃的概率等于
1 4
表示：
如果抽很多很多次的话，
那么平均每4次有1次抽到黑桃.
2 （3）该卡片上的数字是质数；5
（4）该卡片上的数字不是质数. 3 5
考考你：
抛掷一枚普通的硬币三次．有人说连续掷 出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的 机会是一样的．你同意吗？
分抛掷析：一枚普通的硬币三你次能，用共树状有图以表下示八吗种? 机
会均等的结果： 正正正 正正反 正反正 反正正
1 2
1
2
读作：出现正面的概率等于 2
再例如，投掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字1”的概率
为 1，
6
可记为： P（出现数字1）＝ 1
6
读作：出现数字1的概率等于
1 6
感知理解
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做 该事件的概率
由定义可知:
(1)概率是表示一个事件发生的可能性大小的那个数. (2)一个事件发生机会的大小可以用频率的稳定值 来估计；于是概率也可以用频率的稳定值来表示. (3)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
1、抽到男同学名字的概率是
11，
21
表示什么意思？
2、P(抽到女同学名字)+P(抽到男同 学名字)=100%吗？
如果改变男、女生的人数，这个 关系还成立吗P（？抽取男同学名字）＋P（抽取女
同学名字）＝1，若改变男女生人数， 这个关系仍成立．
达标反馈：
1.一只口袋中放着8只红球和16只黑球，这两种球除
分 析： 20女, 22男
全班42个学生名字被抽到的机会是均等的。
解：
22 11
P（抽到男同学名字）= 42 = 21 20 10
P（抽到女同学名字） = 42 = 21
所以，抽到男同学名字概率大．
请思表次考示 的： 时以如 候下果 ，几抽平个一均张2问1纸次题条就：很能多抽
到11次男同学的名字。
不矛盾.
3、完成课本第109页的练习.
我们九（8）班有85位同学，其中女同学 30名，校长说他今天正好遇到我们班的 一位同学，问：他遇到男同学的机会大， 还是女同学的机会大？
遇见男生的概率大还是女生的概率大？ 我们需要做实验吗？我们能否去预测？
思考与探讨：
问题 在我们班里有女同学20人，男同学
22人。先让每位同学都在一张小纸条上写 上自己的名字，放入一个盒中搅匀。如果 老师闭上眼睛从中随便的取出一张纸条， 想请被抽到的同学在明天的英语课上作值 日生英文报告，那么抽到男同学名字的概 率大还是抽到女同学的概率大？
已经做过的几个实验及实验结果
实验
关注的结 果
频率稳 定值
所有机 会均等 的结果
所关 注结 果发 生的 概率
关注的结果 个数与所有 机会均等的 结果个数的 比值
抛掷一枚硬币 反面
1 2 左右
Байду номын сангаас
正面, 反面
1 2
1 2
抛掷一枚正六 面体骰子
1 掷得“3” 6 左右
点数: 1,2,3, 4,5,6
1 6
1 6
再思考 :
1
1、已知掷得“6”的概率等于6 ，那么不是“6”的概 率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思呢？
P（出现数字不是6）＝5
6 如果掷很多次的话， 那么平均每6次有5次掷得的不是“6”.
1
2的、话掷，得那“么6实”的验概中率掷等得于“6 6，”的也频表率示会：逐如渐果稳重定复到掷1很附多近次， 这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？ 6
乙袋
20红，8黑 20红,15黑,10白
解：
8
在甲袋中，P（取出黑球）＝ 28
＝
2 7
在乙袋中，P（取出黑球）＝
15 45
＝
1 3
1 ＞2 37
所以，选乙袋成功的机会大．
小菜一碟
在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地 抽出1张卡片.试求以下事件的概率.
1
（1）该卡片上的数字是5的倍数； 5
（2）该卡片上的数字不是5的倍数；4 5
了颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上
眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别
是多少？
解:
P（取出黑球）＝
16 24
＝2 3
P（取出红球）＝ 1－P（取出黑球）
＝
1 3
所以，取出黑球的概率是 2 ，取出红球的概率 1
是．
3
3
想一想：
甲袋中放着20只红球和8只黑球，乙袋 中则放着20只红球、15只黑球和10只白球，这 三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的 球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只 球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功 的机会大呢？
温故知新
我们已经知道，抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能
的结果：“出现正面”和“出现反面”．这两个结果发 生机会相等，所以各占50%的机会．50%这个数表示事 件“出现正面”发生的可能性的大小．
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做
该事件的概率
1
例如，抛掷一枚硬币，“出现正面”的概率为
可记为：
P（出现正面）＝
正反反 反正反 反反正 反反反
解：
P（正正正）＝P（正正反）＝
1 8
所以，这一说法正确.
小结
1． 要清楚所有等可能结果；
2 ．要清楚我们所关注的是发生哪个 或哪些结果；
关注结果数 3 ． 概率的计算公式：
所有等可能的结果数
布置作业
P114—115 第１、2 、3题
小试牛刀
填空：
1、在一个装着白、红、黑三只除颜色之外没有任何
其他区别的小球的布袋中，闭上眼睛，取出红球的概率
是1
3
1
2、投掷一枚正六面体骰子，掷得“6”的概率是 6
请思考：
掷得“6”的概率等 于
1 表示什么意思？
6
探究实验
实验要求：
掷得“6”的概率等 于
1 表示什么意思？ 6
四人一组，做掷骰子实验，一旦掷到”6”, 就马上停止实验;然后数一数你一共投掷了几次