河师大量子力学考题
《量子力学》基本概念考查题目以及答案
《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了什么？A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案：B3. 量子纠缠是指什么？A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案：C4. 在量子力学中，一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的？A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案：D5. 量子力学的基本方程是什么？A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案：C6. 在量子力学中，一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下？A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案：D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这主要影响什么？A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案：C8. 量子退相干是什么？A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案：B9. 在量子力学中，哪个原理说明了全同粒子不能被区分？A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案：D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么？A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案：A11. 在量子力学中，一个粒子的波函数通常是复数还是实数？A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案：B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么？A. 粒子有时表现为波动，有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案：C13. 在量子力学中，一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗？A. 是的，可以同时准确测量B. 不可以，这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案：B14. 量子力学中的“超定性”是指什么？A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案：A15. 在量子力学中，一个粒子的自旋是什么？A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案：B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么？A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案：C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么？A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案：C18. 在量子力学中，一个系统的能量通常是量子化的，这意味着什么？A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案：C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么？A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案：C20. 在量子力学中，一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么？A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案：C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念，适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。
河师大量子力学考题
一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
量子力学经典练习题及答案解析
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。
解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。
( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。
又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。
量子力学试题
量子力学试题
谈及量子力学，我们会想到不可思议的微观世界和奇妙的波粒二象性，其实量子力学还包含着更为丰富和深远的物理现象。
以下是一些与量
子力学相关的试题，包括了基础概念、数学表达式和实验现象等方面：
1. 什么是量子力学？它涉及哪些物理现象？
2. 波粒二象性是指什么？请举例说明。
3. 怎样通过波函数描述量子系统？波函数的性质有哪些？
4. 算符是什么？量子态在算符作用下的变化有何物理意义？
5. 薛定谔方程是如何描述量子系统的演化的？请解释薛定谔方程中各
项的含义。
6. 观测量如何作用于量子系统？测量结果的不确定性体现在哪些方面？
7. 什么是量子纠缠？量子纠缠的实验现象有哪些？
8. 量子隧穿现象是什么？它对于电子显微镜的分辨率提升有何意义？
9. 什么是量子计算？量子计算相对于经典计算的优势在哪些方面？
10. 量子力学受到了哪些哲学思考的挑战？有哪些纠缠现象可以支持
“超距作用”假设？
以上试题所涉及的知识点广泛，有些问题需要基于数学表达式进行解释，有些则需要运用实验现象进行解答。
掌握量子力学的基础知识，
对于深入理解本质微观世界和实现更加前沿的技术应用都具有重要意义。
量子力学期末考试试卷及答案集
1
s
[ (1) (2)
2
(2) (1)]
是什么性质： C
D. z 本征值为 1. 二 填空题（每题 4 分共 24 分）
En
1．如果已知氢原子的电子能量为
13.6 n 2 eV ，则电子由 n=5 跃迁到 n=4 能级时，发出的光子
二、（15 分）已知厄密算符 A?, B?，满足 A?2 B?2 1 ，且 A?B? B?A? 0 ，求
1、在 A 表象中算符 A? 、 B? 的矩阵表示；
2、在 A 表象中算符 B? 的本征值和本征函数；
3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。
三、（15 分）线性谐振子在 t 0 时处于状态
5 2 ， E3 3 2
92
( 0) 1
先求出 H?0 属于本征值 1、2 和 3 的本征函数分别为：
1
0
(0 ) 2
0，
0
1
(0) 3
0，
0 0 1，
(1) k
利 用波函数的一级修正公式
H ik
(0 )
E( 0)
ik
k
E (0) i
i
， 可求 出波函 数的 一级 修正为：
0
(1) 1
21
(1) 2
0，
2
0
0
(1) 3
3
1
3，
0
1
近似到一级的波函数为：
1
2
2
0，
2
0
1
33
3，
1
五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
量子力学习题
e x e x ，问能否得到 G 3、知 G
d 的过程。 5、简单 Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
0 二（20 分）求在辏力场势 U r ra ra
中运动的粒子，当 l=0 时的定态能级
数。
三（20 分）氢原子处于基态。求(1) r 的平均值；(2) 动量 P 的平均值 0 1 0 四（20 分）已知哈密顿算符 H 0 2 ai 0 ai 3
求： （1）能量本征值； （2）当 a 很小时，能量修正至二级。
五（20 分）设 F l 1 1 ) L (l 1 2l 1
表象下， S 五（20 分）求在 S n z
系处于 1 (sz ) 态时，求 S n
2
1 ( x 2 2
3 2
z ) 的本征值及本征函数。当体
的几率为多少？ 2
C—1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D
ˆ n n n ，证明：a ˆ a ˆ ]=1， N ˆ ，a ˆn ˆa ˆ ，N 3、据[ a
n n 1 。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
是否厄米算符？ 是否一种角动量算符？ ，问 5、自旋 S 2 二（20 分）粒子在势场 U x 1 2 x a2 2 xa 中运动，求其定态能级及波函 xa
ˆ 在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 3、力学量 G
4、简述能量的测不准关系；
1 ( x, y , z ) ˆ 表象下，波函数 5、电子在位置和自旋 S z ( x, y, z ) 如何归一化？解释 2
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
河南师范大学804量子力学
2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码与名称：804量子力学适用专业或方向：物理学汲考试时间：3小时满分：150分试题编号：B 卷（必须在答题纸上答题，在试卷上答题无效，答题纸可向监考老师索要）一、简答题（每题6分，共计30分）（在答题纸上写明题号，将答案写在题号后）1.写出Planck常数力的数值。
2.在量子力学中，用什么来描述微观体系的状态？它满足的数学要求是什么？3.在量子力学中，当粒子的能量E小于势垒高度时会发生什么现象？4.什么是量子力学中的守恒量？试给出一个例子。
5.自旋算符宁有对应的经典力学量吗？为什么？二、填空题（每空3分，共计21分）（在答题纸上写明题号，将答案写在题号后）1.已知一维线性谐振子的状态波函数"（X）,能量为势能为!日刃2注，则它的薛定造方程可表示为O 2.已知氢原子的归一化波函数为r = -^y21 + cr I0,匕为球谐函数，则系数c的值为,电子的角动量Z分量4的可能值为、电子的角动量平方算符云的本征值为6护的儿率为。
3.已知L±^L x±iL y,贝Ij[f,£±]= o 4,泡利不相容原理是指__ 三、选择题（每题3分，共计12分）（在答题纸上写明题号，选择一个正确答案写在题号后）1.下列说法正确的是：（）A.线性谐振子的能量和动量都是量子化的。
B.房和少不对易，它们没有共同本征态。
第1页，共2页第2页，共2页C. 力学量的表示形式和表象变换有关。
D. 4•是厄密算符。
dx对于一维无限深势阱中的粒子，它的哪个力学量是守恒量？（A.势能B.速度C.能量D.坐标 若厄米算符九W 满足[A,B] =ih,贝!J(A Z 4)2»(A5)2> (1.证明在定态W 侦,t ）中，儿率流密度"=挡（内与时间无关。
（12分） 2"2. 证明 & & = Z CT . o （15分）A y *五、 计算题（20分）（在答题纸上写明题号，将答案写在题号后）已知粒子在一维势阱r （x ）= 0, 中运动，试求粒子的能级和波函数。
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一、填空题
1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_____________________________________
__________________________________________________________
5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率
为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率
为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子
___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别
为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符
与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系
数c的取值为，的可能值为
，本征值为出现的几率为。
22．原子跃迁的选择定则为。
23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。
24．为泡利算符，则，，。
25．为自旋算符，则，，。
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，
_______________________________。
27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，
自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则
的意义为_____________________；
_________________。
一、计算题
1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为
，。
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。
2．一维运动粒子的状态是
其中，求
（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
（利用公式）
3．设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级修正。
（10分）
4．在自旋态中，求。
（10分）
5．各是厄密算符。
试证明，也是厄密算符的条件是对易。
6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
7．求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。
（10分）
（基态波函数，利用公式
）
9．证明下列关系式：
1．， 2.
3. ,
4.
(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)
10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。
11．为厄密算符，（为单位算符），。
（1）求算符
的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。
12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。
（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。
13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14．证明下列算符的对易关系。
1．；
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：，
证明：
15．设有两个电子，自旋态分别
，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）
的几率分别为：（20分）。
16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。
17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。
试证明（1）
是
厄密算符；（2）有
；（3）
的本征值为0和1（20分）。
18． 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰
论求能级二级修正（14分）。
19．证明下列算符的对易关系（24分）：
1．
2.
(
)
3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有
两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
21．求证在 的共同本征态下，角动量沿与z 轴成 角的方向 的分量
的平
均值为。
22．证明如算符
有共同的本征函数完备集，则
对易。
23．求 及
的本征值和所属的本征函数。
1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？
2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？
5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？
8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？
9．什么是斯塔克效应？
10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
12．什么是定态？定态有什么性质？
13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？
14．简述力学量与力学量算符的关系？
15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？
16．简述量子力学的五个基本假设。
17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？
18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？
19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。
20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。
21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？
23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的。