10-球函数
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
球函数及其性质
(三)勒让得函数
为了解决方程的两个幕级数解在(-1,1)中有界而在x=士1时 均无界的矛盾，令 的值为n(n+1)，其中n为大于等于零 的整数，则系数的递推公式变为:
由这个递推公式,使那两个无穷级数中有一个变为多项式。当n为 偶数时, 变为多项式， 仍为无穷级数，当n为奇数时， 仍为无穷级数， 变为多项式。两个多项式都在[一1,1]中有界， 两个无穷级数则都在(一1,1)中有界，在x=士1时无界。因而勒 让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征值是n(n十1)，对应的特 征函数为相应的多项式。
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的规格化
Pnk (cos )
2(
2n 1)(
k( n
n k
k )!
)! Pnk (cos
)
Ank
Ank
nk
பைடு நூலகம்
Bnk
Bnk
nk
球函数的规格化
nk qnk ( 2n 1)
qnk
2( n k )!
图 4-1
将
用于该微六面体，得
其中r为微六面体的体积,i=1,2,…,6表示微六面体 的6个面。 表示 在第i个面上的值，i为第i 个面的面积。
在AEHD上，n与p增加的方向反向，所以有
该面的面积为
，所以
所以有，
在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方
向的线元长度为d，所以，
同理有，
所以有，
在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加 方向的线元长度为 sin d ，所以
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
第四讲下球坐标中的分离变量法
一、球坐标系中拉普拉斯方程旳分离变量
2u 0
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
sin
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
2024/10/1
1
z
z
z
r
O
y
O
y
x
x
柱坐标系
球坐标系
2024/10/1
2
分离变量
ur, , RrY ,
1 R
x2 1 l
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
假如问题具有轴对称，可选z轴为对称 轴，则问题与无关，本征函数简化为 勒让德函数：
2024/10/1
Pl
x
1 2l l!
dl dxl
x2 1 l
l=0,1,2,…
7
二、球函数
Y ,
Clm Pl m cos eim
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
29
2、根据对称性得通解形式
u2 Alrl Blr l1 Pl cos
l
3、根据边界条件求系数
u0, 有限
Bl 0
2024/10/1
30
利用勒让德函数旳正交归一性，递 推公式，最终得解
ur ,
u0 2
5u0 8r02
P2 cos
u0
1 n!
4n
1
2n 2n
3! ! 2! !
2024/10/1
23
z
r
O
x
球坐标系
cos有关点=/2为点对称， 故cos恰好是从[0, /2]到[0, ]旳奇延拓
第16讲球函数-勒让德函数
数学物理方法第十章球函数参考教材：梁昆淼《数学物理方法》（第四版）球函数♦轴对称问题和勒让德多项式♦转动对称问题和连带勒让德函数♦一般问题和球函数♦本章小结轴对称问题和勒让德多项式♦轴对称拉普拉斯方程的求解♦勒让德多项式♦勒让德多项式的母函数和递推公式♦勒让德多项式的性质♦勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解0=∆u 0)1()''(2=+−R l l R r 0)1('2"2=+−+R l l rR R rΘΘ=Θ++Θ有界)(),0(0sin )1()''(sin πθθl l±Θ=Θ++Θ−有界)1(0)1(]'')1[(2l l x θcos =x )(|θf u a r ==1−−+=l l l l rB r A R )(x P l =Θ∑∞==)(cos )(l l l P r R u θ∑∞==)(cos )()(l l l P a R f θθ勒让德多项式♦定义♦一般表示♦具体形式♦级数表示♦微分表示♦积分表示的本征函数有界刘问题—斯±Θ=Θ++Θ−)1(0)1(]'')1[(2l l x ∑−−−−−=kl l k l xk l k l k k l x P 2)!2()!(!2)!22()1()(l lll lx dx d l x P )1(!21)(2−=∫+−−=dz x z z i x P l lll 12)()1(2121)(π♦代数表达式♦图象勒让德多项式的代数表达式)92cos 204cos 35()33035()()cos 33cos 5()35()()12cos 3()13()(cos )(1)(6412481481321341221210++=+−=+=−=+=−====θθθθθθx x x P x x x P x x P x x P x P llll k l l kl x dxd l x k l k l k k l x P )1(!21)!2()!(!2)!22()1()(22−=−−−−=∑−勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象母函数和递推公式♦母函数–定义：u(x, r) =∑ P l (x) r l–形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2–推导–应用♦递推公式–基本递推公式–证明–应用母函数的推导∑∞=)(),(ll rx P r x u ∑∫∞+−−=12)()1(2121),(lCl l lrdz x z z i r x u π∑∫∞−−−=2)(2)1(21ll l l Cx z r z xz dz iπ)(2)1(11221x z r z Cxz dz i−−−∫−=πr z x z dziC)1()(21221−−−=∫π2211|11221r xr zri i z z +−=−=−=ππ)211(12r xr rz +−±=±奇点：母函数的应用2211)(),(r rx r x P r x u ll +−==∑∞1)1(11)1(),1(00=⇒=−==∑∑∞∞l l ll P r rr P r u ll l l ll P r rr P r u )1()1()1(11)1(),1(00−=−⇒−=+=−=−∑∑∞∞∑∑∞∞−−=+==22!)!2(!)!12()1(11)0(),0(kkll rk k rr P r u+===⇒−−12,02,)0(!)!2(!)!12()1(k l k l P k k l k 1!)!1(!!0)12(531!)!12()2(642!)!2(=−=−⋅⋅=−⋅⋅=k k k k基本递推公式)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+)(')()1()('1x xP x P k x P k k k ++=+)(')(')(1x P x xP x kP k k k −−=)()()(')1(12x kP x kxP x P x k k k −−=−0)(0=<x P k递推公式的证明20211)(),(rrx r x P r x u ll +−==∑∞2/3201)21()(),(r rx r x rl x P r x u l l r +−−==∑∞−∑∑∞−∞+−=+−+−−=−0122/3220)()21()21()21)()()(l l ll r l x P r rx r rx r rx r x r x P r x （[][]∑∑∞+−∞++−=−01112l l l l l ll l llr P l r lxP rP l rP rxP 111)1(2)1(−+−−+−+=−k k k k k P k kxP P k P xP 0)12()1(11=++−+−+k k k P k xP k P k递推公式的应用)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+xx xP x P k =−=⇒=0)()(00113)()(3)(212012−=−=⇒=x x P x xP x P k x x x P x xP x P k 293215123)(2)(5)(32−=−=⇒=勒让德多项式的性质♦奇偶性P l(-x) = (-1)l P l(x)♦零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
chapt10-_球谐函数(4学时)解析
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2018/10/16 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! ( z) 2πi
f ( ) C ( z)l 1 d
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
数学物理方法--球函数
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u(r,,)
rl[ Alm cos m Blm sin m]Plm (cos )
m0 lm
m0
lm
1 r (l1)
[Cl m
cos
m
Dl m
sin
m ]Pl m
(cos
)
1 由于解在内部有限,所以含
xl 2k
4
微分表示
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
展开 1
2l l
!
(
x
2
1)l
1 2l l !
l k 0
(l
l! k )!k
( x2 )(l k ) (1)k !
再求导L次可得
积分表示
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
R Al rl Bl rl1
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYknd
n,m l ,k
(
N
m l
)2
d S
2
d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
π
l
0
即：
Pl ( x) =
1
π
1
[cos θ + i sin θ cosψ ] l dψ ∫0
π
——Laplace 积分
| Pl ( x) |≤ = 1
π
0
∫ (cos π
(cos θ + i sin θ cosψ ) l dψ π ∫0
2 2 2 l/2
π
θ + sin θ cos ψ ) dψ ≤ 1
[l / 2 ]
e 多项式的积分表示 ） 由柯西公式p30(2.4.7) 由柯西公式 n! f (ξ ) (n) f ( z) = ∫l (ξ − z ) n+1 dξ 2πi (10.1.7)可表为路积分 可表为路积分
1 dl 2 1 l! ( z 2 − 1) l Pl ( x) = l ( x − 1) l = l l ∫C ( z − x) l +1 dz 2 l! dx 2 l! 2πi
z = x + 1 − x 2 eiϕ = x + x 2 − 1e = x + x − 1e
2 iψ
1− x
i(ϕ + ) 2
2
y
z=x+ρeiϕ z •x •1 c
π
o
( z − 1) ∫C ( z − x )l +1 dz
2 l
θ
ϕ
x
代入积分 P ( x ) = 1 1 l 表示式 2πi 2 l
7
1
Legendre多项式曲线 多项式曲线
P0(x)
0 .6
P 3(x) P3 (x)
P 4 (x) P4(x)
0 .2 Legendre
-0 .2
-0 .6
P1(x) P 1 (x)
-1 -1
P (x) P22 (x )
P5(x)) P 5 (x
-0 .5
0 x
0 .5
1
对称性关系:
P (−x) = (−1)l P (x) l l
求导l次 求导 次, 2l-2k<l 的 项在求导l 项在求导 次后零, 次后零 只需保留 2l-2k ≥l即 即 k ≤ l/2 的 项
1 dl 2 Pl ( x) = l x −1 l 2 l! dx
(
)
l
(10.1.7)
∑ (−1) x k!(l − k )! 2 l! dx 2 l! dx k =0 [l / 2 ] (−1) k (2l − 2k )(2l − 2k − 1) ⋯[2l − 2k − (l − 1)] 2l − 2 k −l =∑ x l 2 k!(l − k )! k =0
一般形式： 一般形式：
Ql ( x) = 1 1+ x Pl ( x) ln + 2 1− x [ l −1 ] l −1− 2 k 1 2 k (−1) n +1 (2l − 2n)! ⋅ x l ∑ ∑ 2 k =0 n =0 (2k − 2n + 1) n!(l − n)!(l − 2n)!
l l
( x − 1) =
l
l
(−1) k (2l − 2k )(2l − 2k − 1) ⋯[l − 2k + 1] l − 2 k =∑ x l 2 k!(l − k )! k =0 (−1) k (2l − 2k )! =∑ l x l − 2 k = Pl ( x) k = 0 2 k!(l − k )!(l − 2k )!
1 1 Pl ( x) = 2πi 2l 1 = 2π 1 = 2π
π
2
∫π
−
π
x + x 2 − 1eiψ
(
(
x2 −1
iψ
)
)
2
l +1
(e )
2
− 1
l
iψ l +1
[ x − 1e
2
iψ
idψ
] ] dψ
l
x + 2 x x − 1e + x − 1 e ∫−π 2 x 2 − 1eiψ
普遍理论
∫
2x dx 2 1− x
(10.1.12)
—称为 第二类 Legendre 函数 称为 函数(p226)。 。
d 2w dw + p( z ) + q( z ) w = 0 ，若已求出 w1(z) ， 对二阶常微分方程 2 dz dz
1 总可以通过积分 w2 ( z ) = Aw1 ( z ) ∫ exp− ∫ p(ξ )dξ dz 2 [ w1 ( z )] z z
6
注意到 x=cosθ, 由(10.1.4)可方便求出前5个Legendre多项式 前 个 多项式
P0 ( x) = 1 P ( x) = x = cos θ 1 1 2 1 P2 ( x) = (3x − 1) = (3cos 2θ + 1) 2 4 1 3 1 P3 ( x) = (5x − 3x) = (5cos3θ + 3cos θ ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) = (35x − 30 x + 3) = (35cos 4θ + 20cos 2θ + 9) 8 64 ⋯
显然， 显然，有
Pl ( ±1) = ( ±1)l
13
（二）第二类 Legendre 函数
为零或正整数， 当 l 为零或正整数，Legendre 方程的另一个线性独 立解（利用朗斯基行列式）： 立解（利用朗斯基行列式）：
1 e Ql ( x ) = Pl ( x ) ∫ dx = Pl ( x ) ∫ dx 2 2 2 [Pl ( x )] (1 − x )[Pl ( x )]
（1） Legendre多项式的表达式 ） 多项式的表达式 方程的本征值问题 m=0 时，Legendre 方程的本征值问题
d 2 dy (1− x ) + l (l +1) y = 0 dx dx 自然边界条件 y( x) |x=±1 = 有限 .
本征值： 本征值： l (l + 1), (l = 0,1,2,⋯) 本征函数： 多项式。 本征函数：l 阶Legendre多项式。 多项式 约定l 约定 阶Legendre多项式 多项式 的系数: 最高幂次项 xl 的系数:
λ = m 2 , m = 0,1,2,⋯
方向角部分： 方向角部分：本征值问题
1 d dΘ(θ ) m2 sin θ + l (l + 1) − 2 Θ(θ ) = 0 dθ sin θ sin θ dθ 自然边界条件：Θ(θ ) |0≤θ ≤π = 有限 2
式中本征值m与变量φ的本征值问题有关。 若所研究的问题具有旋转对称性，即定解问题的解与
φ无关，此时m=0（可取Φ(φ)=1 )=1）。则方程转化为熟悉
的勒让德方程，其解为l 阶Legendre 多项式 Pl(0)—— 轴对称球函数 。
3
§10.1 轴对称球函数
Legendre多项式 (一) Legendre多项式
第十章 球函数
球坐标中
∇ 2u ( r , θ , ϕ ) = 0 ∇ 2u ( r , θ , ϕ ) + k 2u ( r , θ , ϕ ) = 0
球函数方程
分离变量
径向方程
1 ∂ ∂Y (θ,ϕ) 1 ∂2Y (θ,ϕ) + l(l +1)Y (θ,ϕ) = 0 sinθ + 2 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
其解Y( 称为球函数。 其解 (θ, ϕ)称为球函数。
(9.1.3) (9.1.37)
1
分离变量： 分离变量： Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) 极角部分： 极角部分：本征值问题
Φ ' '+ λ Φ = 0 Φ (ϕ ) = Φ ( 2 π + ϕ )
解为： 解为：
e imϕ cos mϕ Φ (ϕ ) = , or Φ (ϕ ) = −imϕ e sin mϕ
( 2l )! al = l 2 2 (l! )
(10.1.2)
4
利用系数递推公式(9.2.5) 利用系数递推公式
( k + 2)( k + 1) ak = ak + 2 (k − l )( k + l + 1)
al − 2 =
k (k − 1) ak −2 = ak , (k − l − 2)(k + l − 1)
求出线
性独立的第二解 w2(z) (p197) 。
14
前三个函数形式： 前三个函数形式：
dx 1+ x = 1 ln ; 2 2 1− x 1− x dx 1+ x Q1 ( x ) = x ∫ = 1 P ( x ) ln − 1; 2 1 2 2 (1 − x ) x 1− x 1+ x 3 Q2 ( x ) = 1 P2 ( x ) ln − 2 x; 2 1− x Q0 ( x ) = ∫
其中：C 为 z 平面上围绕 z=x 点 的任一闭合回路。 其中： 平面上围绕 的任一闭合回路。 回路 即
1 1 Pl ( x ) = 2πi 2 l
( z 2 − 1) l ∫C ( z − x )l +1 dz
(10.1.8)
——施列夫利积分 施列夫利积分
11
为圆周， 取C为圆周，圆心在 半径为 为圆周 圆心在x,半径为
al − 4 al − 6
( 2l − 4)! = ( −1) , l 2! 2 (l − 2)! (l − 4)! ( 2l − 6)! 3 = ( −1) , l 3! 2 (l − 3)! (l − 6)! ⋅ ⋯⋯