matlab实验三 级数

实验三 级数
【实验目的】
1.了解级数的有关理论。

2.了解函数的Taylor 展开式。

3.学习,掌握MATLAB 软件中有关命令。

【实验内容】
1.求函数sin y x =的级数，并考察其Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数的图形向sin y x =的图形的逼近情况。

2.计算级数211n n
∞=∑的值。

3.验证Euler 公式11
1lim(1ln )0.577123x C n n →∞
=++++-= 。

【实验准备】
1.级数的基本概念。

数项级数；Taylor 级数。

2.级数的MATLIB 命令。

主要用symsum,taylor 求级数的和及进行Taylor 展开式。

【实验重点】
1、级数的计算
【实验难点】
1、无穷级数的计算
【实验方法与步骤】
练习1 先用Taylor 命令观察函数sin y x =Maclaurin 展开式的前几项,若观察前6项,相应的MATLIB 代码为
>>clear;syms x;
>>taylor(sin(x),0,2) >>taylor(sin(x),0,3) >>taylor(sin(x),0,4) >>taylor(sin(x),0,5) >>taylor(sin(x),0,6) 运行结果为
>> taylor(sin(x),0,1) ans =
>> taylor(sin(x),0,2) ans =
x
>> taylor(sin(x),0,3) ans =
x
>> taylor(sin(x),0,4) ans =
x-1/6*x^3
>> taylor(sin(x),0,5) ans =
x-1/6*x^3
ans =
x-1/6*x^3+1/120*x^5
然后在同一坐标系里作出函数sin
y x
=和其Taylor展开式的前几
项构成的多项式函数,
y x
=
3
3!
x
y x
=-,
35
,,
3!5!
x x
y x
=-+ 的图形,观察这些
多项式函数的图形向sin
y x
=的图形逼近的情况。

在区间[0,]π上作函数与多项式函数sin
y x
=图形的MATLIB代码为
>>x=0:0.01:pi;
>>y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.^3/6;y4=x-x.^3/6+x.^5/120;
>>plot(x,y1,x,y2,':',x,y3,':',x,y4,':')
运行结果如图3.1，其中实线表示函数sin
y x
=的图形。

类似的，根据函数的Taylor级数
246
cos 1,(,)2!4!6!
x x x x x =-+-+∈-∞∞ 231,(,)2!3!!n
x
x x x e x x n =++++++∈-∞∞ 234
ln(1),(1,1]234
x x x x x x +=-+-+∈- 2
(1)(1)1,(1,1)2!x x x αααα-+=+++∈-
作图观察其展开式的前几项多项式函数逼近原函数的情况。

练习2 利用幂级数计算指数函数。

指数函数可展开为幂级数
231,(,)2!3!!n
x
x x x e x x n =++++++∈-∞∞ 其通项为22
n ，因此用下列循环相加就可计算出这个级数。

>>x=input('x=');n=input('n=');y=1;%输入原始数据,初始化y
>>for i=1:n y=y+x^i/prod(1:i);end,vpa(y,10),
%将通项循环相加，得y
执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=0，得到结果如下：
2.718281801,7.388994709,54.44310406,.9671957672e-1
用vpa(exp(1),10),vpa(exp(2),10),vpa(exp(4),10),vpa(exp(-4),10)命令可得?的有10位精确有效数字的结果为
2.718281828,7.389056099,54.59815003,.1831563889e-1
对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。

因此这个程序虽然原理上正确，但不适用。

对不同的x ，精度差
别很大。

还存在其它的问题：
这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错
n次乘法，n很大时，乘法次数太多，级数，收敛很慢；该程序要做2
2
计算速度很低；对不同的x，要取不同的n才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由程序按精度要求来选。

针对上面的四个问题,可以采用下面的四种方法改进:
(1)允许数组输入,改进输出显示
x=input('x=');n=input('n=');y=ones(size(x));
%输入原始数据,初始化y
for i=1:n
y=y+x.^i/prod(1:i);%循环相加
s1=sprintf('%13.0f',i);s2=sprintf('%15.8f',y);
%将结果变为字符串
disp([s1,s2])%显示
end,
执行此程序,输入x=[1 2 4 -4],n=10,结果为
1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000
2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000
3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667
4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000
5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333
6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556
7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810
8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986
10 2.71828180 7.38899471 54.44310406 0.09671958
(2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算。

（3）为了减少乘法次数，设一个中间变量z ，它的初始值为z=ones(sine(x))，把循环体中的计算语句改为
y=y+z;z=x.^z/i;
这样，求得的z 就是z=x.^i/i ，于是每个循环只需做一次乘法，计算整个级数只需n 次乘法。

按这种方法，y 的初始值改为y=zeros(size(x))。

(4)为了按精度选择循环次数，不应使用for 循环，而用while 语句，它可以设置循环的条件语句，通常可用y+z-y>tol ，tol 是规定的允许误差，只要相邻的两次y 值之差大于tol ，循环就继续进行，直到小于tol 为止。

当x 较大时，exp(x)仍能很快收敛，还可以利用关系式
exp()(exp())k x x p
=，令x1=x/k 。

k 通常取大于x 而接近x 的2的幂，例如x=100，就取k=128，可以保证x1的绝对值小于1，这时级数收敛的很快。

从练习中可以看出，n 取10时就能保证7位有效数字，而128exp(1)x 可以化为222(((exp(1))))x x = ，即exp(x1)的7次自乘，总共享17次乘法就可完成？222exp(100)(((exp(100/128))))= 的计算，既保证了精度，又提高了速度。

【练习与思考】
习题1用Taylor 命令求出函数)(x f y =的Maclaurin 展开式的前几项，然后在同一坐标系利作出函数)(x f y =和它的Maclaurin 展开式的前几项构成的多项式函数的图形，观察这些多项式函数的图形向)(x f y =的图形的逼近情况。

（1）x x f arcsin )(=；
（2）x x f arctan )(=；
（3）2)(x e x f =；
（4）x x f 2sin )(=；
（5）x e x f x
-=1)(；
（6）)1ln()(2x x x f ++=。

习题2求当8,7,6,5,4=k 时，公式∑∞==1221n k k
k m n π中k m 的值。