2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
2.1.1指数与指数幂的运算
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自 主 预 习·探 新 知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合 作 探 究·攻 重 难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当 堂 达 标·固 双 基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。
学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝ ＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】 ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需 ，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
4.D
【解析】原式＝ ＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－ －160.75＝________.
2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
3. 5
2 3
,5
2
有意义吗？
知识点一：分数指数幂的意义 思考1:设a>0， a ，
5 10
10 5
a
4
8
， a 分别等于什么？
4 12
8
12 4
a
10
a
2
a
5
,
a
8
a
a2,
a
12
1 3 8
(m 4 n
3
) (m , n 0)
8
(3)
25
125
4
25
(4)
a
2
(a 0)
3 2
a a
• 小结： • 1．指数幂的运算步骤： • (1)有括号先算括号里的；无括号先进行指 数运算． • (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． • (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先要化成分数，底数是带分数，要先化成 假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
2
是一个确定的
数吗？
思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗？
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
.
知识点二:有理数指数幂的运算性质
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
2.1.1指数与指数幂的运算（2）分数指数幂【教学目标】1．有理指数幂． 2．无理指数幂． 3. 幂的运算．【重点】分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质. 【难点】1.实数指数幂的形成过程；2.利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.【学习探究】【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材 2.1.1 分数指数幂 部分）1. 1. 分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义212= ，312= ，232= ；nm a = )1,,.,0(>N ∈>*n n m a .（2）正数的负分数指数幂的意义12-= ，212-= ，342-= ；nm a-= )1,,,0(>N ∈>*n n m a .（3）0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . （4）分数指数幂的运算性质：①=∙s r a a Q).,0(∈>s r a ;②=sr a )( Q).,0(∈>s r a ；③rb a )(∙= Q).,0(∈>s r a . 【感悟】2. 无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【感悟】3. 根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算. 【感悟】【基础练习】1. 如果n m b a ,,0,0>>都是有理数，下列各式错误的是（ ）. （A ）mnnm aa =)（ （B ）nm n m a a a --=（C ）nn n b a ba -∙=)( （D ）n m n m a a a +=+2.对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）. （A ）a a =2132)( （B ）313221)(a a = （C ）513153)(a a=--（D ）515331)(a a =3.求值：①3227； ②2116-； ③2)31(-； ④32)1258(-4.用根式表示2134()m n -， 其中,0m n>.【典型例题】例1用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0>a ）： a a ∙3； 322a a ∙；3a a .【方法总结】例2计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-；（2）322aa a ∙)0(>a .【方法总结】例3已知22121=+-a a ，求：（1）1-+a a ； （2）22-+a a .【方法总结】【课后作业】1. 设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）.①n m nm a a=；②10=a ；③nmnm aa1=-（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个2. 计算)(84)21()2(21221*-++N ∈n n n n 的结果为（ ）. （A ）461（B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n3.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）.（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x 4.已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）. ①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A)1(B)2 (C)3 (D)45.14.333-π的值是 （精确到0.0001）.6.=+-++--48373)27102(1.0)971(03225.0π . 7.若410,310==yx，则yx -10= ，=+yx 10.8.用分数指数幂表示下列各式.（1）)0(4>a aa ； （2）)0()(5≥++n m n m ；（3）3x x ；)0(≥x . 9.计算下列各式的值.（1）75.003116)87(064.0+---；（2）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-.10.化简：223410623+--.。
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3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________441 2 1 4 1 8
111 2 4 8
a a .
8 7
7 8
解:原式 =
a
2
a a
1 2
2 3
a
2 2 2 3
a 6 a5 .
5 6
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
变式训练
5
m n
a a a a
m n
n
a
m ( n)
(5) ( a )n a n (b 0, n Z) b b n a a n 1 n n n ( ) (a b ) a b n b b
整数指数幂的运算性质
(1) a a a ( m , n Z) m n mn (2) (a ) a ( m, n Z) n n n (3) (ab) a b ( m , n Z)
(2) a a
3
a
1 2
2 2 3
a ;
4 3 1 2
8 3
(a a ) (a ) a .
1 3
2 3
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
5 2 1 1 1 1 例4 ： (1) (2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
化简
a b c
2 3
0
2
abc
(7)(0.001)
________
4 3
8 0.064
2 3
10 已知a、b是方程x
9 若3
a
2,3 3, 则3
b
2
3 4 2 5
3a 2b
______
2 x y
8
8
________
4
3 4
4
x
4 3
4
y ________
3
(8)
10
2
________
1 2 5 若 x 2, 化简 1-4 x 4 x 2 x 2 2
6 若ABC的三边长分别为a、b、c，
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
2.1.1 指数与指数幂的运算 ——指数幂运算与无理数指数幂
1.根式定义 2.根式的性质
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 0. n x a (a R ) （4）当n为奇数时， x n a (a 0) 当n为偶数时，
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
2 11 3 2 6
b
115 2 3 6
4ab 4a;
0
(2) (m n ) (m ) (n ) m n .=
8
8
2
1 4
3 8
1 4
3 8 8
3
m2 n3
变式训练：
(a 2 b3 )(4a 1 b) (12a 4 b2 c )
51.41 51.41451.4142 51.4143 51.415 2
· · ·
5
1.42
5
1.5
5
结论 : 一般地, 无理指数幂a a 0, 是无理数
是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂.
例5.求使等式 ( x 3)( x 9) (3 x ) x 3
2
成立的x的范围.
解: ( x 3)( x2 9) ( x 3)2 x 3
x 3 x 3.
x3
x 3 0, 则有 x 3 0.
x 3 (3 x ) x 3.
x 3, 解得： x 3.
所以x的取值范围是
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
r s r s
解：原式
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
b
3 1 2 1
c
变式训练2：
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指 数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
4 例 （3 25 - 125 ） 25
解：原式
（5 （5 5 5 5
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
r r r
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ☞当有多重根式时,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质. 例3.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
(1) a a ;
2 3 2
(2) a a .
2 3
3
解: (1) a 2 3 a 2 a 2 a
3.两个公式
(1)
a
n
n
a;
⑵ 当 n 是奇数时， n a n a;
当 n 是偶数时， n
4.分数指数幂概念 m
(1) a n
m n
a n | a | .
n
am ;
n
(2) a
1 m an
1 ; am
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.
☞整数指数幂有哪些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a
m
a a
n
mn
( m , n Z)
(2) (a ) a
m n
n
mn
n
( m, n Z)
(3) ( ab) a b ( m, n Z)
n
(4) a a a
m n
mn
(a 0 , m, n Z, 且m n)
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
X≠±1
知识探究（二）:无理数指数幂的意义
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5 的大小如何确定？我们又应如何 理解它呢？
2
2 52
2 的过剩近似值
5
m n
mn
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q);
r s
rs
(3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
6 2 3
2 3 2 3
-5 ） 5 -5 ） 5
— 1 2 3 2
3 2
1 2 1 2 — 1 2
—
5
-5
3 2
5
2 1 — 3 2 1 6
-5
3 1 — 2 2
-5
5 -5
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) a a a a a a a 2 a (2) . 3 2 a a 1
(1) a a a (a 0, r , s R); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s R); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r R).