03-选择(平面几何)
平面几何问题的解法与应用
测量在几何问题中的应用：角度和长度的测量是解决平面几何问题的基础，例如计算面 积、周长、距离等。
相似三角形的性质和判定方法
相似与全等在解题中的应用实例
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全等三角形的性质和判定方法
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相似与全等在几何图形中的应用 实例
归纳总结解题思路： 通过练习和归纳， 总结出适合自己的 解题思路，形成自 己的解题风格。
拓展解题思维：尝试 从不同角度思考问题， 探索多种解题方法， 拓展自己的解题思维。
数学思维在解决实际问题中的应 用
数学思维对个人和社会的贡献
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培养数学思维的途径和方法
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数学思维在创新和科技发展中的 作用
三角形问题：涉及三角形边长、角度、面积等计算 圆的问题：涉及圆周长、面积、弧长等计算 直线与圆的位置关系问题：判断直线与圆的位置关系，求交点等 平面几何中的最值问题：求线段、图形面积的最大值或最小值
理解问题：明确 问题的目标和条 件，弄清问题的 几何意义。
制定方案：根据 问题的特点，选 择合适的解题方 法，如构造辅助 线、运用相似三 角形等。
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01 平 面 几 何 问 题 概 述 02 基 础 解 法 技 巧 03 进 阶 解 法 技 巧 04 实 际 应 用 案 例 05 解 题 技 巧 总 结 与 提 高
平面几何问题定义：研究平面图形在力的作用下的运动和平衡问题。 分类：静力学问题和动力学问题。 静力学问题：研究物体在力的作用下保持平衡状态的问题。 动力学问题：研究物体在力的作用下运动状态改变的问题。
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
平面几何中的角度关系与计算
角度是描述两条 射线或线段之间 夹角的重要概念
角度的取值范围 是0°到360°
角度的度量单位
度：将圆周分为360等份，每一份所对的角的大小 分：度的一百分之一，即60秒 秒：分的百分之一，即60秒
角度的分类
锐角：小于90度的角
钝角：大于90度且小于180度的 角
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直角：等于90度的角
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角度关系的证明技巧：在数学竞赛中，角度关系的证明需要一定的技巧， 例如利用三角形的性质、平行线的性质等来证明角度关系。
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天文学中的星体定位：通过平面几何角度关 系，天文学家可以确定星体的位置和运动轨 迹，这对于导航和空间探索具有重要意义。
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工程设计中的机械零件配合：在机械工程中， 平面几何角度关系对于确定机械零件的配合 精度和稳定性至关重要，直接影响机械设备 的性能和寿命。
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地理信息系统中的地图投影：在地理信息系 统中，平面几何角度关系用于将地球上的经 纬度坐标转换为地图上的平面坐标，这对于 地图制作和地理数据分析至关重要。
建筑设计：在建筑设计过程中，利用角度关系确定建筑物的朝向、采光和通风等
机械设计：在机械设计中，角度关系对于确定零件的位置、运动轨迹和机械性能至关重 要
道路设计：在道路设计中，利用角度关系确定道路的坡度、弯度和排水等，以确保行车 安全和排水顺畅
在科学研究中的应用
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物理学中的光学研究：平面几何角度关系在 光学研究中有着重要的应用，如反射、折射 等光线的传播方向与角度的关系。
注意事项：使用量角器时，要确 保量角器的中心与角的顶点重合， 并且要选择合适的量角器规格， 以免测量误差过大
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。
在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（ ）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（ ）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（ ）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（ ）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（ ）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（ ）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 平面解析几何初步 直线的点斜式方程
2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程 A 级必备知识基础练1.下列方程是斜截式方程的是( ) A.x-y+1=0 B.y-2=3(x-1) C.y=-2x-1D.x=12.直线2x+y-3=0用斜截式表示,下列表达式中,正确的是( ) A.x 32+y3=1B.y=-2x+3C.y-3=-2(x-0)D.x=-12y+323.已知直线l 经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l 的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=04.直线y-b=2(x-a)在y 轴上的截距为( ) A.a+b B.2a-b C.b-2aD.|2a-b|5.已知直线l 的斜率为2,在y 轴上的截距为m.若直线通过(1,1)点,则m= .6.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点坐标是 .B 级关键能力提升练7.直线y=ax-1a 的图象可能是( )8.过点(1,0)且与直线y=12x-1的倾斜角相同的直线方程是( )A.y=12x-12B.y=12x+12C.y=-2y+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2,则直线的斜率为( ) A.1B.-13C.-23D.210.若直线l 经过点A(1,2),且在x 轴上的截距的取值范围是(3,5),则其斜率的取值范围是 ( )A.-1,-12B.-12,0 C.(-∞,-1)∪12,+∞D.(-∞,-1)∪-12,+∞ 11.已知直线l 的方程为y+1=25x-52,且l 的斜率为a,在y 轴上的截距为b,则|a+b|= .12.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为.13.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.C级学科素养创新练14.已知过定点(2,1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,符合条件的直线条数为( )A.2B.3C.4D.0参考答案2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程1.C2.B3.A 由题知,直线l 的点斜式方程为y-5=-34(x+2),整理得直线l 的方程为3x+4y-14=0.故选A.4.C 由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y 轴上的截距为b-2a.故选C.5.-1 利用直线的斜截式方程可得方程为y=2=-1.6.(2,3) 将直线方程化为点斜式得y-3=k(x-2),故可得该直线过定点(2,3).7.B 由y=ax-1a 可知,a≠0,且斜率和在y 轴上的截距一定异号,故B 正确.8.A 由题可得,与直线y=12x-1的倾斜角相同的直线方程的斜率为k=12.又该直线过点(1,0),因此所求直线的方程为y-0=12(x-1),即y=12x-12,故选A.9.D 由题可得a≠0. 令x=0,得y=-2a 3m,令y=0,得x=-2.因为直线在两坐标轴上的截距之和为2,所以-2a3m+(-2)=2,所以a=-6m.将a=-6m 代入直线可得-6m=0,化简可得y=2x+4,故直线的斜率为2.故选D.10.A 设直线的斜率为k(k≠0),则直线方程为y-2=k(x-1).令y=0,得直线l 在x 轴上的截距为1-2k,则3<1-2k<5,解得-1<k<-12,所以直线l 的斜率的取值范围为-1,-12.故选A.11.85由直线l 的方程可得a=25.令x=0,得y=-2,即b=-2,所以|a+b|=|25-2|=85.12.y=32x-35由题意知,直线l 的斜率为32,故设直线l 的斜截式方程为y=32x+b,则直线l 在x 轴上的截距为-23b,在y 轴上的截距为b,故-23b-b=1,解得b=-35.因此直线l 的斜截式方程为y=32x-35.13.解当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,经检验,符合题目的要求.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x-2). 令y=0得,x=2k -2k.由三角形的面积为2,得12×|2k -2k|×2=2.解得k=12.故可得直线l的方程为y-2=12(x-2).综上可知,直线l的方程为x=2或y-2=12(x-2).14.B 由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=2k-1k.所以直线l交x轴于点2k-1k,0,交y轴于点(0,1-2k).由题意可得12·|2k-1k|·|1-2k|=4,即(2k-1)2|k|=8.①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,Δ1=0,有1个实根;②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,Δ2=144-16=128>0,有2个实根.综上所述,符合条件的直线l有3条.故选B.。
高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!高中数学平面解析几何知识点平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
平面解析几何基本理论坐标在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。
最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
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(01) 已知梯形ABCD 和梯形OBPD 形状相同，大小相等，它们重叠成如右图，比较三角形ADO 和三角形BCP 的大小是( )。
A ：三角形ADO 较大B ：三角形BCP 较大C ：这两个三角形一样大D ：无法比较(02) 如右图，长方形的面积是12.4平方厘米，图中阴影三角形的面积是6.2平方厘米，这是因为( )。
A: 它是用两个三角形拼成的B: 三角形的底和高分别与长方形的长和宽对应相等 C: 三角形面积是长方形面积的一半 D: 长方形面积是三角形面积的2倍(03) 右图中D: E 分别是BC 和AC 的中点，已知三角形ABC 的面积是30平方厘米，阴影部分的面积是( )。
A: 30 B: 15 C: 10 D: 7.5(04) 下列各图形分成两部分后，不能得到梯形的是( )。
(05) 三角形的一条高被三等分，沿着虚线可以把三角形分成三个图形(如下图)，其中阴影部分的面积( )。
A: 最大B: 最小C: 和其他两个图形的面积分别相等 D: 无法比较(06) 右图中，甲面积( )乙面积。
A: ＞ B: ＜C: ＝D: 无法比较ABO底A: B: C:D:(07) 在右图中，D 是直角三角形ABC 斜边上的中点，比较两个三角形面积的大小，结果是( )。
A: 三角形ABD 面积＞三角形BCD 面积B: 三角形ABD 面积＜三角形BCD 面积 C: 三角形ABD 面积＝三角形BCD 面积 D: 不能比较(08) 在长方形ABCD 中E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，则三角形BAF 和三角形BCE的面积( )。
A: 相等B: 三角形BAF 面积大 C: 三角形BCE 面积大 D: 不能比较(09) 在下面的梯形中，E 、F 点分别是它们所在边的中点，阴影部分面积与空白部分面积不相等的图形是( )。
(10) 右图中，比较阴影部分甲和乙的面积结果是( )。
A: 甲＞乙 B: 甲＜乙 C: 甲＝乙D: 无法比较(11) 右图是一个梯形，甲乙两个阴影部分的面积比较，( )。
A: 甲大B: 乙大C: 甲和乙相等D: 不能确定大小(12) 在长方形ABCD 中，三角形ABF 的面积与三角形EDF 的面积相比，( )。
A: 三角形ABF 面积大 B: 三角形EDF 面积大 C: 一样大 D: 无法比较A F DB CEBCEA BCDADBC(13) 下列的分类中，错误的一种分类是( )。
A: B:C:D:(14) 以平行四边形一条边上的两个端点和对边上任意一点做顶点组成一个三角形，这个三角形的面积是平行四边形面积的( )。
A: 2倍B:21 C: 31D:41(15) 想一想，过A 点画平行四边形CD 边上的高，可以画( )。
A: 一条 B: 二条 C: 无数条D: 零条(17) 如图，AB ∥CD ，图①的面积与图②相比，( )。
A: 面积相等B: 图①面积是图②的一半C: 图②的面积是图①的1.5倍 D: 无法比大小平行四边形 三角形 正方形任意三角形 等边三角形 等腰三角形直角三角形钝角三角形锐角三角形除尽 整除ADBCBACD① ②4厘米5厘米6厘米(18) 在平行四边形中，三角形甲与三角形乙的面积相比较，( )。
A: 甲＞乙 B: 甲＝乙C: 甲＜乙D: 无法确定(19) 右图是两个平行四边形，S 1( )S 2。
A: ＞ B: ＜C: ＝D: 无法比较(20) A 的面积( )(B ＋C)的面积。
A: ＞ B: ＜C: ＝D: 不能比较(21) 一个长方形和一个平行四边形叠成右图，乙是重叠部分，如甲的面积是42平方米，乙的面积是24平方米，那么丙的面积是( )平方米。
A: 18 B: 66 C: 42D: 24(22) 两个完全相同的长方形中，比较阴影部分S 1和S 2的大小，结果是( )。
A: S 1＞和S 2 B: S 1＜S 2C: S 1＝S 2D: 无法比较(23) 在下图中以A 为端点的4条线段中，哪一条叫做A 点到直线BE 的距离。
( ) A: 线段AB B: 线段ACC: 线段ADD: 线段AE(24) 把24平方分米的平行四边形框架拉成长方形框架后，面积( )24平方分米。
A: 大于B: 小于C: 相等D: 无法判断S 1S 2B C D C A(25)平行四边形具有容易变形的特征，当把一个长方形拉成一个平行四边形后，这个平行四边形与长方形比较，( )不变。
A: 高B: 面积C: 周长D: 形状(26)两个形状、大小完全一样的直角三角形，不能拼成( )。
A: 长方形B: 直角三角形C: 等腰三角形D: 梯形(27)已知三角形的一个内角是88度，这个三角形是( )。
A: 直角三角形B: 钝角三角形C: 锐角三角形D: 无法确定(28)X÷0.7＝Y÷1，(X、Y都不等于0)，那么X( )Y。
A: ＞B: ＜C: ＝D: 无法比较(29)平行四边形的特性容易变形，变形后，面积与原来相比较，面积( )。
A: 变大B: 变小C: 相等D: 以上三种都可能(30)一个梯形的下底和高都不变，上底增加5厘米，面积比原来增加10平方厘米，梯形的高是( )厘米。
A: 2 B: 4 C: 50 D: 25(31)一个正方形，边长增加2厘米，它的面积( )。
A: 增加2平方厘米B: 增加4平方厘米C: 增加8平方厘米D: 无法确定增加多少平方厘米(32)等腰三角形ABC中，有一个角是40°，则∠A是( )。
A: 40°B: 70°C: 100°D: 可能是40°也可能是70°(33)平行四边形的高是0.8分米，底边是高的2倍，将这个平行四边形截成两个完全一样的梯形，其中一个梯形的面积是( )平方分米。
A: 0.32 B: 0.64 C: 1.28 D: 1.6(34)一个平行四边形的底是10厘米，高是8厘米。
连接相邻两边的中点，沿这条线段剪去一个三角形，剩下的面积是( )平方厘米。
A: 70 B: 60 C: 50 D: 40(35)面积是96平方厘米的形状不同的长和宽都是整厘米数的长方形有( )。
A: 8种B: 6种C: 4种D: 2种(36)一个等腰三角形的周长是50厘米，它底边长14厘米，它的一条腰长( )厘米。
A: 36 B: 22 C: 18 D: 11(37)平行四边形的一条边减少2厘米，就成为一个梯形，它的面积( )。
A: 减少2平方厘米B: 减少4平方厘米C: 减少8平方厘米D: 无法确定减少多少平方厘米(38)下列图形中，只有3条对称轴的图形是( )。
A: 长方形B: 等腰三角形C: 正方形D: 正三角形(39)三角形的面积是10平方厘米，平行四边形的面积是20平方厘米，已知三角形的底与平行四边形的底相等，那么三角形的高和平行四边形的高相比较是( )。
A: 三角形的高是平行四边形高的2倍B: 三角形高与平行四边形的高相等C: 三角形的高是平行四边形高的一半D: 平行四边形的高是三角形高的4倍(40)一个等腰三角形的周长是50厘米，它的一条腰长14厘米，这个等腰三角形的底边长( )厘米。
A: 12 B: 18 C: 22 D: 32(41)两个完全相等的直角三角形，不能拼成( )。
A: 正方形B: 长方形C: 平行四边形D: 直角梯形(42)符合两个梯形的面积相等的是( )。
A: 上底相等、高相等B: 下底相等、高相等C: 上底相等、下底相等D: 上底和下底的和相等，高也相等(43)把一个长方形拉成一个平行四边形，原长方形和平行四边形相比较( )。
A: 周长相等，面积不等B: 周长不等，面积相等C: 周长、面积都相等D: 周长、面积都不相等(44)在一个三角形中，∠C＝90º，AC＝BC，AB长8厘米，它的面积是( )。
A: 无法计算B: 16平方厘米C: 32平方厘米D: 64平方厘米(45)等腰三角形的一个底角大于顶角，这个等腰三角形一定是( )三角形。
A: 钝角B: 直角C: 锐角D: 无法确定(46)一个三角形是轴对称图形，这个三角形一定是( )。
A: 锐角三角形B: 直角三角形C: 钝角三角形D: 等腰三角形(47)两个同样大小的直角三角形，可以拼成一个等腰三角形，按角分类，这个等腰三角形可以是( )三角形。
A: 直角B: 锐角C: 钝角D: 以上三种情况都可以(48)不可能是轴对称图形的是( )。
A: 长方形B: 菱形C: 正方形D: 直角梯形(49)一个三角形的内角是85度，这个三角形是( )三角形。
A: 锐角B: 直角C: 钝角D: 无法确定(50)要使一个三角形的面积缩小2.5倍，底不变，高应( )。
A: 缩小2.5倍B: 缩小5倍C: 缩小1.25倍D: 扩大 2.5倍(51)下列( )的两条对角线互相垂直。
A: 长方形B: 正方形C: 等腰三角形D: 任意四边形(52)下列图形中，对称轴条数最少的是( )。
A: 长方形B: 菱形C: 等腰三角形D: 正方形(53)平行四边形具有容易变形的特性，当把一个平行四边形变形成一个长方形后，这个平行四边形的( )变长了。
A: 长B: 宽C: 边长D: 高(54)用两个形状大小都相等的三角形，拼成一个平行四边形，不同的拼法最多有( )种。
A: 4 B: 3 C: 2 D: 1(55)过平行四边形的一个顶点A，可以向它的对边画( )条高。
A: 1 B: 2 C: 1或2 D: 无数(56)长方形的长与平行四边形的底相等，它们的周长相等，那么它们的面积( )。
A: 长方形大B: 平行四边形大C: 一样大D: 可能长方形大，也可能平行四边形大(57)从直线外一点到这条直线所画的线段中( )最短。
A: 斜线B: 线段C: 垂线D: 直线(58)下列图形中，( )不是轴对称图形。
A: 平行四边形B: 菱形C: 等腰梯形D: 正方形(59)∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角，如果∠1＋∠2＝∠3，那么这个三角形一定是( )。
A: 锐角三角形B: 直角三角形C: 钝角三角形D: 无法确定(60)两个( )的三角形可以拼成一个平行四边形。
A: 面积相等B: 形状相等C: 等底等高D: 面积相等，而且形状相同(61)两个完全一样的三角形，最多可以拼成( )个不同形状的平行四边形。
A: 1 B: 2 C: 3 D: 无法确定(62)长方形和平行四边形面积相等，平行四边形底边等于长方形的长，比较它们周长( )。
A: 平行四边形长B: 长方形长C: 一样长D: 无法确定(63)三角形ABC，已知∠A度数是∠B的3倍，∠C的度数是∠B与∠A的差，这个三角形是( )三角形。
A: 钝角B: 直角C: 锐角D: 无法确定(64)正方形有( )条对称轴。