专题19定积分与微积分基本定理-2019年高考数学理科数学复习资料
备考2019年高考数学一轮专题：第15讲 定积分与微积分基本定理(理科)
备考2019年高考数学一轮专题：第15讲 定积分与微积分基本定理（理科）一、选择题1.定积分的值为( ) C 、 D 、A 、B 、 +2.设f （x ）=2|x|，则 f （x ）dx=（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 +3.已知（3x 2+k ）dx=16，则k=（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 + 4.A 、的值是（??） C 、 D 、B 、 + 5.下列值等于1的积 分是（）A 、B 、C 、D 、+6.设曲线y=x 3与直线y=x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是（ ）A 、S=（x 3﹣x ）dxB 、S=（x ﹣x 3）dxC 、S= |x 3﹣x|dxD 、S=2（x ﹣x 3）dx +7.A 、1B 、C 、D 、( ) + 8.计算定积分（1+）dx=（ ）A 、e ﹣1B 、eC 、e+1D 、1+ + 9.A 、B 、 等于（）C 、1D 、 +10. (sinx-cosx)dx=（ ）A 、2B 、4C 、πD 、2π +11. a= 3x 2dx ，函数f （x ）=2e x +3x ﹣a 的零点所在的区间是（ ）A 、（﹣2，﹣1）B 、（﹣1，0）C 、（0，1）D 、（1，2） +二、填空题12. a= xdx，分别以3a，2a，a，为长，宽，高的长方体表面积是．+13.已知函数f（x）为一次函数，其图象经过点（2，4），且．f（x）dx=3，则函数f（x）的解析式为+14.已知2 （k+1）dx≤4，则实数k的取值范围为．+15.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．+16.设，则= ．+17.（3x2+k）dx=10，则k= ．+18.在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为．+三、解答题19.已知F（x）= (t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．+20.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．+。
2019年数学高考总复习重点课件3 4定积分与微积分基本定理58张
?
?a
第三章 第四节
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(2)用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割： n 等分区间 [a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
③求和：
n
?
b－a f(ξi)· n
；
i＝1
④取极限：
? ? ? ?
bf(x)dx＝li
a
nm→∞i＝?n 1f(ξi)·b－n a
第三章 第四节
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(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积 分．
(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
第三章 第四节
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2.
由两条直线 x＝a 、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝
思想方法技巧
第三章 第四节
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一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
积．当 y<0 时，即曲边梯形在
x
轴的下方时
? ?
b
f(x)dx 在几何上
?
?a
表示这个曲边梯形面积的相反数．
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2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
A.- B.- C.-1D.-2
【解析】选B.根据题意有 (x2+mx)dx=( x3+ mx2) = + m=0,解得m=- .
5.(2018·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 ,则a的值是()
=
= (43-23)+ (44-24)-30(4-2)= .
【变式备选】下列积分的值等于1的是()
A. xdxB. (x+1)dx
C. dxD. dx
【解析】选C. dx=x =1.
2.设函数f(x)= 则定积分 f(x)dx等于()
A. B.2C. D.
【解析】选C. f(x)dx= x2dx+ dx
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课时分层作业十七
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
一、选择题(每小题5分,共35分)
1. (x2+x3-30)dx=()
A.56B.28C. D.14
【解析】选C. (x2+x3-30)dx
答案:2
1.(5分)(2018·珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()
A. B. C. D.
【解析】选A.由 得x=t.
故S= (t2-x2)dx+ (x2-t2)dx
定积分与微积分基本定理 2019高考绝密资料
定积分与微积分基本定理主标题：定积分与微积分基本定理副标题：为学生详细的分析定积分与微积分基本定理的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：定积分，应用 难度：4 重要程度：5考点剖析：了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法.了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题.命题方向：定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主． 规律总结：1．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数知 识 梳 理1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点01a x x =<<1i i n x x x b -<<<<=将区间[,]a b 等分成个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,)i i n ξ=，当n →∞时，和式1()ni i b af nξ=-∑无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做：()baf x dx ⎰.记：()baf x dx ⎰=lim n →∞1()ni i b af n ξ=-∑，,a b 分别叫做积分下限和积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间.2.定积分几何意义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续且恒有()0f x ≥ ，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义. 3.定积分性质：(1)()()()()bc baac f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰(2)()()(bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）1212(3)[()()]()()bbbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰4.微积分基本定理一般地，如果函数()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F a F b =-⎰导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
2019年高考数学总复习课时作业定积分与微积分基本定理理
课时作业(十五)第15讲定积分与微积分基本定理基础热身1.(1-x)d x=()A.1B.-1C.D.-2.某物体从静止开始自由落下,若速度v(t)=gt(v的单位:m/s,t的单位:s,g为重力加速度),则经过t=10 s后下落的距离为 ()A.50g mB.100g mC.25g mD.75g m3.[2017·孝义质检]定义=ad-bc,如=1×4-2×3=-2,那么=()A.6B.3C.D.04.[2017·安徽宣城二模]|sin x|d x=()A.1B.2C.3D.45.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1(单位:m)处运动到x=3处,则力F(x)所做的功为.能力提升6.[2017·江淮十校三模](sin x-a cos x)d x=-,则实数a等于()A.1B.C.-1D.-7.d x= ()A. B.C.1D.28.已知+=2,若φ∈0,,则(x2-2x)d x=()A.B.-C.D.-9.[2017·辽宁实验中学模拟]如图K15-1所示,正弦曲线y=sin x、余弦曲线y=cos x与两直线x=0,x=π所围成的阴影部分的面积为()图K15-1A.1B.C.2D.210.[2018·齐齐哈尔八中月考]设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于()A.B.C.D.11.[2017·石家庄三模](+x)d x= .12.[2018·郑州一中模拟]设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)d x=3f(x0),x0>0,则x0= .13.[2017·吉林实验中学模拟]由直线x=e,y=x及曲线y=所围成的封闭图形的面积为.14.曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.难点突破15.(5分)[2017·青岛三模]已知函数f(x)在R上满足f(π-x)=f(x),若当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,则当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积为()A.π-2B.2π-4C.3π-6D.4π-816.(5分)[2017·天津南开中学月考]函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线与曲线y=x2围成的图形的面积等于.课时作业(十五)1.C[解析] (1-x)d x=x-x2=.2.A[解析] 下落的距离为gt d t=gt2=50g(m).3.D[解析] x d x=x2=,∴==×2-3×1=0.故选D.4.D[解析] |sin x|d x=2sin x d x=2(-cos x)=2×(1+1)=4.5.14 J[解析] W=(4x-1)d x=(2x2-x)=14(J).6.B[解析] (sin x-a cos x)d x=(-cos x-a sinx)=--a+1,∴--a+1=-,∴a=.7.A[解析] 令y=,则(x-1)2+y2=1(y≥0),表示的是以(1,0)为圆心,半径为1的圆在x轴上方的半圆,所以d x=π×12=.8.C[解析] 由已知+=2,φ∈0,,得到sin φ=cos φ=,所以tan φ=1,所以(x2-2x)d x=(x2-2x)d x=x3-x2=.9.D[解析] 阴影部分的面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=(sin x+cos x)+(-cos x-sin x)=-1+1+=2.10.A[解析] ∵f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=x3-x2=,故选A.11.π+2[解析] (+x)d x=d x+x d x,令y=,得x2+y2=4(y≥0),圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,d x=π,又x d x=x2=2,∴(+x)d x=π+2.12.[解析] ∵f(x)=ax2+b,f(x)d x=3f(x0),∴(ax2+b)d x=ax3+bx=9a+3b,则9a+3b=3a+3b,∴=3,又x0>0,∴x0=.13.[解析] 如图所示,图中阴影部分的面积S=x-d x=x2-ln x=.14.2-[解析] 令2sin x=1(0≤x≤π),即sin x=,可得x=或,∴曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1交于点A,1和B,1,因此,围成的封闭图形的面积S=(2sin x-1)d x=(-2cos x-x)=-2cos---2cos-=2-.15.A[解析] ∵当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,∴当<x≤π时,0≤π-x<,f(x)=f(π-x)=cos(π-x)-1=-cos x-1,∴f(x)=所以当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积S=-(cos x-1)d x-(-cos x-1)d x=(1-cos x)d x+(cos x+1)d x=(x-sin x)+(sin x+x)=π-2.16.[解析] 因为f(x)=x3-x2+x+1,所以f'(x)=3x2-2x+1,f'(1)=2,则函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.作出草图(如图所示),则所求阴影部分的面积S=(2x-x2)d x=x2-x3=.。
2019版高考数学理一轮总复习课件：3-4定积分与微积分
n 个小区间，在每个区间[xi
n n
b－a xi]上取一点 ξi(i＝1， 2， …， n)， 作和式∑ f(ξi)Δ xi＝∑ f(ξi)， －1， i＝1 i＝1 n 当 n→＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间 [a ， b]上定积分，记作 f(x)dx ，即 b－a n f(ξi)．
－a 0
a (4)若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝0.
－a
答案
(1)√
(2)× (3)√
(4)√
2 1 x 2．(课本习题改编) (e ＋3x )dx 等于(
0
)
A．1 C．e
答案 解析 C
B．e－1 D．e＋1
1 x 2 x 3 1 0 1 (e ＋3x )dx＝(e ＋x ) ＝(e ＋1)－e ＝e，故选 0
0
0
1
2 2 1 ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
1 0 0
6．(2015· 天津)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的 面积为________．
答案 解析 1 6 两曲线的交点坐标为(0，0)，(1，1)，所以它们所围成的
第4 课时
定积分与微积分基本定理
…2018 考纲下载… 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解 定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 请注意 本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借 助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．
课前自助餐
定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
【2019年整理】定积分与微积分基本定理
记为F(x) .即|ba
b f(x)d=xF(x)
a
=|Fba (b)-F(a).
6.利用微积分基本定理求定积分的关键是 求被积
函数的原函数 可将基本初等函数的导数公式逆向使用.
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考点一 利用微积分定理求定积分
计算下列定积分:
定积分与微积分基本定理
1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出 曲边梯形的面积的具体步骤 为 分割 、 近似代替 、 求和 、 取.极限
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2.定积分的定义
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点
a=x0<x1<…<xi-1<…<xn=b将区间［a,b］等分成n个小区
间和式,在每i个n1 f小(ξi )区Δx间 ［in1 bx-1i-a1,xfi(］ξi )上任.当取n一→点+∞ξi时(i=,上1,2述,…和,n式),无作限
【分析】由题意知,在t∈［0,10) 和t∈［40,60)物体做匀变速直线 运动,t∈［10,40)做匀速运动,∴v(t) 应为分段函数,应三段求积分.
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【解析】由速度—时间曲线易知,
3t,
v(t)=
30,
t∈［0,10) t∈［10,40)
-1.5t+90, t∈［40,60］,
由变速直线运动的路程公式可得
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＊对应演练＊
如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为 面积相等的两部分,求k的值.
抛物线y=x-x2与x轴两交点的 横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线 与x轴所围图形的面积
S
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2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx ＝1ni =∑b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛abf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝limn →∞1ni =∑b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x ) ⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.(3)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________. [答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8. (3)⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝1＋π4.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. 2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 【对点训练】1．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.2．⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2[答案] C[解析] ⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e＋e －1＝2e －2，故选C.3．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.[答案] 9π4[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________. (2)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] (1) 23－2π3(2) 18 (3) 2[解析] (1)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝ (2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.【类题通法】1. 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【对点训练】1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12 B ．1 C ．32D ． 3[答案] D[解析] 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x33ππ- ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2[答案] D[解析] 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1(舍去)，x ＝2，作出曲线y ＝2x与直线y ＝x －1的图象如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x ⎪⎪⎪42＝4－2ln 2.3．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[答案] 49[解析] 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.考点三、定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A ． 3 JB ．233 JC ．433J D ．2 3 J[答案] (1) C (2) C [解析] (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). (2)⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪21＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.【类题通法】定积分在物理中的两个应用：1．变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【对点训练】1．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .[答案] 132[解析] s ＝⎠⎛12 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.[答案] 36[解析] 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦).。
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19 定积分与微积分基本定理
【考点讲解】
一、具本目标：
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
(2)了解微积分基本定理的含义．
考点透析：
1.以定积分与微积分基本定理的简单应用—计算为主；
2.在计算面积方面的应用.
3.备考重点：
(1) 掌握微积分基本定理；
(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算.
二、知识概述：
1. 定积分的概念与微积分基本定理
1．定积分的概念
在()bafxdx中，,ab分别叫做积分下限与积分上限，区间[]ab，叫做积分区间，()fx叫做被积函数，x叫
做积分变量，()fxdx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1) (k为常数)；
(2) ；
(3) (其中a
，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()Fx叫做
()fx
的一个原函数．为了方便，常把记作()baFx，即．
2．定积分的几何意义
（1）由直线x=a，x=bab（），x轴及一条曲线()yfx(()0)fx围成的曲边梯形的面积
，若，则.
（2）推广：由直线x=a，x=bab（），()yfx和y=g(x）（）围成的平面图形的面积为
.
3．定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s
＝ʃ
b
a
v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功
是W＝ʃbaF(x)dx.
4.温馨提示：
1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
【真题分析】
1.【2015湖南理11】 .
【答案】0.
2.【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图
中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【解析】考点为1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是，设抛物线的方程为22xpy（0p），因为该抛物线过
点5,2，所以2225p，解得254p，所以2252xy，即2225yx，所以当前最大流量是
，故原始的最大流
量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案应填：1.2．
【答案】1.2
x
y
3. 【2015天津理11】曲线2yx 与直线yx 所围成的封闭图形的面积为 .
.
【答案】16
4.【2016·九江模拟】若ʃ10(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
【解析】 (1)ʃ10(2x＋λ)dx＝(x2＋λx)|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.
【答案】B
【变式】定积分ʃ2－2|x2－2x|dx等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】ʃ2－2|x2－2x|dx＝ʃ0－2(x2－2x)dx＋ʃ20(2x－x2)dx＝(x33－x2)|0－2＋(x2－x33)|20＝83＋4＋4－83＝8.
【答案】D
6.计算：ʃ313＋2x－x2 dx＝________.
【解析】由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x－x2 dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形
的面积，∴ʃ313＋2x－x2dx＝14×π×4＝π.
【答案】π
7.【2017·青岛月考】由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．
【解析】 由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(13，3)．
由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3
所围成图形的面积为：
＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.
【答案】4－ln 3
【变式】（1）定积分ʃ309－x2dx的值为( )
A．9π B．3π C.
94π D.9
2
π
【答案】C
【变式】(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
【解析】由 y＝2x2，y＝－4x－2，解得x＝－1，依题意可得，
所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x2＋4x＋2)dx＝(23x3＋2x2＋2x)|1－1
＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.
【答案】163
8.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 113
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【答案】 C
【模拟考场】
1.若则实数a的值为( )
A．－1 B．1 C．－3 D.3
【答案】A
2.设f(x)＝ x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则dxxf20等于( )
A.34 B.45 C.56 D.67
【解析】dxxf20＝ʃ10x2dx＋ʃ21(2－x)dx＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－12×4)－(2－12)＝56.
【答案】C
3.一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，
则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为( )
A.3 J B.233 J C.433 J D．23 J
【解析】＝｜21＝433，
∴F(x)做的功为433 J.
【答案】C
4.若，则m＝________.
【解析】根据定积分的几何意义ʃm－2－x2－2x dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成
的图形的面积，又ʃm－2－x2－2x dx＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.
【解析】－1
5.二项式的展开式的第二项的系数为23，则adxx22的值为__________．
【答案】3