关于高考数学总复习基础知识名师讲义
高中数学高考知识点名师讲义(1)--集合的概念
集合的概念一、教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．二、教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．三、教学过程：（一）主要知识： 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。
②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
④性质 确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。
记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆, ②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。
记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示 对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a5．子集的个数若},,{21n a a a A =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。
（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．（三）例题分析：例1．已知P={0，1}，M={x ∣x ⊆P}，则P 与M 的关系为（ ）M P D M P C M P B MP A ⊇⊆∉∈)()()()( [P 8变式]解：∵P={0，1} ∴M={x ∣x ⊆P}={φ，{0}，{1}，{0，1}} ∴P ∈M 应选A 例2．（2002年全国高考题）设集合},214{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）N M A =)( (B)M N (C)M N φ=⋂N M D )( [P8变式]分析:}42{},214{},,412{},412{Z k k x x Z k k x x N Z k k x x Z k k x x M ∈+==∈+==∈+==∈+==应选B例3.已知非空集合M ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈M,则6-a ∈M ，求集合M 的个数[P8变式] 解：∵M ⊆{1,2,3,4,5}，且若a ∈M,则6-a ∈M∴若1∈M ，则5∈M ，反之亦然，∴1∈M 且5∈M ，或1∉M 且5∉M 同理：2∈M 且4∈M ，或2∉M 且4∉M 3∈M 且6-3∈M ， 又∵M 是非空集合，∴M 个数为23-1=7例4．已知}023{},02{22≤+-=≤+-=x x x B a x x x A ，且A B ，求实数a 的取值范围。
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第七节双曲线(一) 理
第七节 双曲线(一)知识梳理 一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF 1|－|AF 2||＝2a ，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c ，0)，且c 2＝a 2＋b 2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中焦点坐标为F 1(0，c )，F 2(0，－c )，且c 2＝a 2＋b 2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．三、双曲线的几何性质 方程x 2a 2－y 2b 2＝1 y 2a 2－x 2b 2＝1图形范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－a )，B 2(0，a )离心率 e ＝ca (e >1) e ＝ca (e >1) 渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c的关系c 2＝a 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2基础自测1．(2013·郑州质检)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，故选A. 答案：A2．(2013·北京东城区)若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3.答案：A3．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是____________．答案：14＋8 24．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝__________.解析：因为F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，所以F 1(－10，0)，F 2(10，0)．由题意知△F 1PF 2为直角三角形，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝210.答案：2101．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：设P 点在右支上，m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝6a ，m －n ＝2a ，⇒m ＝4a ，n ＝2a ，依题意，△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得cos 30°＝16a 2＋4c 2－4a 22·8ac ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3a c ＋c a ＝32，于是可解得e ＝ca＝ 3.答案： 32．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解析： (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .由题设知||x ＋52＋y 2－x －52＋y2＝4，化简得L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由已知可求得过M ，F 的直线l 方程为y ＝－2(x －5)，将其代入L 的方程得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，故可求得l 与L 的交点坐标分别为T 1⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255，T 2⎝⎛⎭⎪⎫14515，2515. 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2. 若P 不在直线MF 上，在△MFP 中有||MP |－|FP ||<|MF |＝2. 故||MP |－|FP ||只在点P 位于T 1⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255时取得最大值2.,1．(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，则m ＝________.解析：因为在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以m ＞0，焦点在x 轴，所以a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，所以c 2＝m 2＋m ＋4，又双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以：m 2＋m ＋4＝16，即m 2＋m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－4(舍)． 答案：32．(2013·韶关二模)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF 2F 1＝3，则双曲线的离心率为__________．解析：因为圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，所以F 1F 2是圆的直径，所以∠F 1PF 2＝90°.依据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为在Rt△F 1PF 2中，tan∠PF 2F 1＝3，即|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在直角三角形F 1PF 2中由(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝c 2a 2＝102. 答案：102。
高考数学复习讲义共十一章
高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函 数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 理(1)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.4.会用反证法证明命题知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若p q，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若p q，q p，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“s in α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第九节抛物线(一) 文
第九节抛物线(一)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py图形焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率e ＝1焦半径||PF ＝ p2 ＋x 1||PF ＝ p2 ＋||x 1||PF ＝ p2 ＋y 1||PF ＝ p2 ＋||y 1基础自测1．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.故选D.答案：D2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013·新课标全国Ⅰ卷)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，所以x 0＝32，所以y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝2 3.故选C.答案：C2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →·E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →·E B →＝(A F →＋F D →)·(E F →＋F B →)＝A F →·E F →＋A F →·F B →＋F D →·E F →＋F D →·F B →＝|A F →|·|F B →|＋|F D →|·|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·E B →取得最小值16.1．(2013·汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝⎛⎭⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积． 解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||y 2－y 1＝42，所以S △AOB ＝12×||OF ×||y 2－y 1＝12×1×42＝2 2.。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第八节双曲线(二) 理(1)
第八节 双曲线(二)基础自测1．已知m >0，直线y ＝34x 是双曲线x 24－y2m 2＝1的渐近线，则m 等于( )A.32B.332C.83D.163解析：双曲线x 24－y 2m 2＝1的渐近线为x 24－y 2m 2＝0，即y ＝±m 2x ，又m >0，故直线y ＝34x 就是直线y ＝m 2x ，得34＝m 2，所以m ＝32.答案：A2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c a＝2.故选B.答案：B3．中心在原点，经过点(3,0)，离心率为53的双曲线的标准方程为__________．解析：依题意，双曲线实轴在x 轴上，且a ＝3，设其方程为x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)，则32＋b23＝53，得b 2＝16，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝14．(2013·梅州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为________________．解析：因为a ＞b ＞0，所以渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π3，所以，渐近线的倾斜角为π6，即b a ＝tan π6＝33，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋13a 2，所以c 2a 2＝43，所以e ＝233.答案：2331．(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1解析：依题意c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝5，故选B.答案：B2．(2013·湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等解析：双曲线C 1的离心率是e 1＝1cos θ，双曲线C 2的离心率是e 2＝sin 2θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ，故选D. 答案：D1．(2013·山东淄博上学期期末)已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3解析：抛物线的焦点坐标为(3，0)，双曲线的右焦点为(c,0)，则c ＝3，渐近线为y ＝±b a x ，因为一条渐近线的斜率为2，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，即c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，故选B.答案：B2．F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为________．解析：设该双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，则MF 2的斜率为－a b，所以MF 2的方程为y ＝－a b(x －c )．所以可求得交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c . 所以|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b .在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－cos∠F 2OM ＝－a c. 在△F 1OM 中，由余弦定理可知 a 2＋c 2－3b 22ac ＝－a c .又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2，即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第一节集合的概念与运算 理
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
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5．强化不等式的应用．
高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．
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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等式 文
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
年份
题号
赋分
所考查的知识点
2011
4
5
求函数定义域
5
5
求一元二次不等式的解集
18
14
证明四点共面，证明线面垂直
2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．
3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．
4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．
在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．
A．－1
B．log2b
C．log2a＋log2b＋1
D．log2(a3＋a2b＋ab2＋b3)
解析：特殊值法．取a＝ ，b＝ ，则log2b＝log2 ＝1－log23>1－log24＝－1；
log2b－(log2a＋log2b＋1)＝－1－log2 ＝－1＋log23>0；
计算可知，b>a3＋a2b＋ab2＋b3，
答案：④
4．a>b>0，m>0，n>0，则 ， ， ， 由大到小的顺序是____________．
解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，则 ＝ ， ＝2， ＝ ， ＝ .∴ > > > .
答案： > > >
1．(2013·北京卷)设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc<
C．a2>b2D．a3>b3
6．定理4推论1(叠乘性)： ac>bd.
7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0an>bn(n∈N*且n>1)．
8．定理5(可开方性)：a>b>0 ＞ (n∈N*且n>1)．
四、不等式性质成立的条件
例如，重要结论：a＞b，ab＞0 ＜ ，不能弱化条件得a＞b ＜ .
五、正确处理带等号的情况
如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，当且仅当a＝b且b＝c时，才会有a＝c.
如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．
6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．
7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．
对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．
答案：D
1．(2013·江门一模)若x＞0，y＞0，则x＋y＞1是x2＋y2＞1的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：先看充分性，
可取x＝y＝ ，使x＋y＞1成立，而x2＋y2＞1不能成立，故充分性不能成立；
若x2＋y2＞1，因为x＞0，y＞0，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＞x2＋y2＞1，
21(3)
6
三次函数在指定区间上的最值
本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．
不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式简单应用．
推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，其中合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．
解析：当a>b时，a3>b3成立．A项中对c＝0不成立．B项取a＝1，b＝－1，则 < 不成立；C项取a＝1，b＝－2，则a2>b2不成立．
答案：D
2．(2012·大纲全国卷)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－ ，则( )
A．x<y<zB．z<x<y
C．z<y<xD．y<z<x
解析：x=ห้องสมุดไป่ตู้n π>ln e＝1，y=log52<log5 ＝ ，z＝e－ ＝ > ＝ ， ＜1.综上可得，y＜z＜x.故选D.
第一节 不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景.
知识梳理
一、不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．
二、实数运算性质与大小顺序关系
1．a>ba－b>它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据．
三、不等式的基本性质
双向性：
1．定理1(对称性)：a>bb<a.
单向性：
2．定理2(传递性)：a>b，b>ca>c.
3．定理3(同加性)：a>b，c为整式或实数a＋c>b＋c.
4．定理3推论(叠加性)： a＋c>b＋d.
5．定理4(可乘性)： ac>bc； ac<bc.
由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；
∵a>b>0，∴ > ，
∴( )2－( － )2＝2 －2b＝2 ( － )>0，
∴ > － ，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．
注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型．要注意二者的区别．
基础自测
1．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞ ＞
＞ ＞a
＞ ＞a
＞a＞
解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，验证知 ＞ ＞a成立．也可用作差比较法．
答案：C
2．(2012·广东两校联考)若0<a<b，且a＋b＝1，则下列各式中最大的是( )
加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．
加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．
归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．
推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．
∴x＋y＞1成立，故必要性成立．
综上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分条件．
答案：B
2．(2013·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2②2a>2b－1③ > －
④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为________．
解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立；
答案：①②③
3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，注重知识交汇处的命题．
预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．
本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：
1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．
6
5
线性规划的最大值问题
20(2)
8
以数列为背景的不等式证明
(续上表)
2012
5
5
线性规划的最小值问题
11
5
求函数定义域
18(1)
6
线面垂直的证明
21(1)
6
一元二次不等式的解集
2013
2
5
求函数的定义域
13
5
线性规划、目标函数的最大值