《二次根式》导学案1

21.1 二次根式
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
)0
a≥的式子叫做二次根式.二次根式的概念主要包括
)0
a≥是非负数a的算术平方根，
当0
a>0
>；当0
a=0
=.a可以是数，也可以是代数式，并且被开方数必须是非负的.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的识别
例1、小明在作业本上写出了以下几个式子，你认为是二次根式的有.；
（只填序号）
【解题思路】在式子中只有当被开方数a是非负数时，才是二次根式，因为
222
250,0,20110
x y a
>+≥+>.
【解】①、④、⑤.
【方法归纳】理解二次根式的定义是判断一个式子是否为二次根式的基本前提，一个式子是否为二次根式要有以下两个条件：①被开方数为非负数；②根指数为2，不要误认为只要带有二次根号，就为二次根式.
类型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2x的取值范围是.
【解题思路】二次根式要有意义，被开方数必须大于或等于零；分式要有意义，分母必须为等于零.此函数既含有二次根式又含有分式，必须同时使它们有意义.
【解】10,30
x x
+≥-≠，即1,
x≥-且3
x≠.
【方法归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母为能为0；（3）当函数的表达式是二次根式时，被开方的数为非负数.
类型三：二次根式的非负数性的应用
例3、代数式3
a+的值等于.
【解题思路】根据二次根式的意义先求出a的值，再对式子化简.
【解】根据二次根式的意义，可知
10
10
a
a
-≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，解得a=1，∴3
a+=1+3=4.
【方法归纳】主要考查二次根式的意义，二次根式的被开方数为非负数，二次根式才有意义.
例4、当14x <<
时，4x -= . 【解题思路】根据已知条件判断出4,1x x --的符号，再根据二次根式的性质、去绝对值的法则解答.
【解】∵14x <<，∴40,10x x -<->.原式=
441x x x -=-+-=3.
【方法归纳】解答此题，要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则。

类型四：实践应用题 例5、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13
，则梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到 5.6
米高的墙头吗？1.414=）
【解题思路】由已知可得当AB=6时，BC=13AB=2，由勾股定理求得AC 的值即可比较出结果.
【解】能.当BC=13AB 时，∵AB=6，∴ BC=2.在R t △ABC 中，由勾股定理得：
4 1.414 5.656===⨯=（米）.∵5.656＞
5.6，∴梯子
顶端能到5.6米高的墙头.
易错警示
例6、当x 为何值时，312x x
+- 有意义？ 【错解】 ∵⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≥≥-010023x x x , ∴0≤x ≤2.
【错因分析】这是一道容易混淆的两个概念的例子，解答中x ≥0是多余的，出现此错误也是混淆了二次根式与三次根式的本质区别.二次根式要求被开方数非负，三次根式对被开方数没有要求.
【正解】由题意得：⎩⎨⎧≠+≥-0
1023x x ，∴x ≤2 且x ≠-1. 课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：二次根式的概念
1 ）
A 、10a ≥≥
B 、10a ≥≤
C 、10a ≥>
D 、10a ≥<
2))00y x >≤中，是二次根式的有 . 知识点2：确定二次根式中被开方数的取值范围
3,a b 应满足 .
4m 能取的最小整数值是（ ）
A 、0m =
B 、m =1
C 、m =2
D 、m =3
课后作业练习
一、选择题：
1、要使式子 a ＋2a
有意义，a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0
3、已知⎩⎨
⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为（ ）. A ．4 B ．2 C ． 2 D ． ±2
4、若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不对 5、下列各式中，计算正确的是（ ）
A ()248=
-⨯-=
B ()40a a =>
C 347=+=
D 9==
6、)2x ≥有下面几种说法：2x -的算术平方根；
2x -的平方根.其中正确的说法有（ ）种.
A 、2
B 、3
C 、4
D 、以上都不对
7、下列一定是二次根式的是（ ）
A B C D 二、填空题：
8
有意义的条件是 . 9、若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜
52
，则m 的值是 ．
10、若,x y 为实数，且20x +=，则2010()x y +的值为___________．
12、已知实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：(22
b a -+-= .
三、解答题：
13、已知2x =246x x --的值是多少？
14111111112
=+-=+；
111112216=+-=+1111133112
=+-=+.
（1. （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n （n 为正整数）表示的等式.
15、计算：（1）25⎛ ⎝⎭；（2）2⎛- ⎝
；（3）2
17、已知实数,,x y a ,,x y a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求该三角形的面积；如果不能，请说明理由. 课堂作业参考答案：
1、A
2))00y x >≤ 3、0,0b a a
≥≠ 4、B
.
课后作业答案：
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.答案：D
5.答案：B
6.答案：D
7.答案：0x ≥且4x ≠.
8.【答案】0或－1
9.【答案】1
10.答案：2a
11.解：因2x =2x -=()222x -=，24410x x -+=，∴246x x -=，故246x x --=0.
12.解：（11111144120=+-=+；（2()1111111n n n n =+-=++（n 为正整数）.
13.答案：（1）25；（2） 43
；（3）22x y + 14.解：根据二次根式的意义，得：8080
x y x y +-≥⎧⎨--≥⎩，解得8x y +=.所以
30a +=，根据非负数的意义，得：30230x y a x y a --=⎧⎨-++=⎩，解得：3,5,4x y a ===.故可组成直角三角形，其面积为6.。