备考2020版高考物理复习攻略之方法汇总专题09微元累积法(含解析)

专题09 微元累积法目录1．过程微元法 (1)2. 对象微元法 (9)微元法是一种介于初等数学与高等数学之间的一种处理物理模型问题的方法，其要点是：在对物理问题做整体的考察后，选取该问题过程中的某一微小单元进行分析，通过对微元细节的物理分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方法。

微元法按其研究物理模型问题可分为对象微元法、过程微元法。

1．过程微元法过程微元法着眼于研究对象物体所经历的比较复杂的过程，比如，物体的运动不是恒力作用下的匀变速运动，而是变力作用下的变加速运动，这时物体运动的过程复杂，运动过程性规律不甚明了，若从整体着手研究，则难以在高中物理层面展开，不过当我们用过程微元法，把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运动过程的规律。

典例1.质量为m 物体从地面以初速度v 0竖直上抛，经过t 1时间达最高点，在运动过程中受到的阻力f=kv （k 是常数），求上升的最大高度。

【解析】物体上升过程ma kv mg =+mkv g a += t m kv g v ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆∑∑ mkH gt v 10+= ()kgt -v m H 10= ① 针对训练1.接上题，上题条件不变，物体从最高点下落，当物体到达地面时速度刚好达到最大，求其下落时间t 2.【解析】到达地面速度最大值为v mm g kv m =②过程中ma kv -mg =③∑∑∆=∆t a v ④ ①②③④得：102t -gv k m t += 【总结与点评】本题上升下落过程受到变化的阻力，加速度变化，需要把物体的运动过程进行微元处理，在每一小段的时间内可以认为加速度一定，再进行时间的累积，就可以求出结果。

典例2.如图所示，顶角045θ=的金属导轨MON 固定在水平面内，导轨处在方向竖直，磁感应强度为B 的匀强磁场中，一根与ON 垂直的导体棒在水平外力作用下的恒定速度0v 沿导轨MON 向右滑动，导体棒的质量为m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r ，导体棒与导轨接触点为a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t ＝0时，导体棒位于顶角处。

求（1）t 时刻流过导体棒的电流强度I 和电流方向。

（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F 的表达式。

（3）导体棒在0t -时间内产生的焦耳热Q 。

（4）若在0t 时刻将外力F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x 。

【解析】⑴经时间t ，导体棒位移 t v x 0= ①导体棒有效长度 l x = ②导体棒电动势 0Blv E = ③回路总电阻 ()r x l x l R 22+++= ④ RE I = ⑤①②③④⑤联立解得()r Bv I 220+=⑥电流方向 b a →（2F IlB =22（3）在t 时刻 ，rt v R 0'= R I P '=2联立解得 ()r t v B P 230222+=t P -为正比例函数关系，作出其图像，（如图2）把时间t 无限小等分，每份t ∆内.........332211t P t P t P Q ∆+∆+∆= ④当Q t ,0→∆线在t 时间内时间所围面积。

()r t v B Pt Q 2230222221+== （4） 撤去外力后，设任意时刻t 导体棒的坐标为x ，速度为v ，把停止前时间无限小等分，每份为t ∆， 由动量定理得02211.........mv t F t F =+∆+∆ ①n n n Bl I F l B I F l B I F ===....,.........,22221111 ② (),2211r Bv I += ()r Bv I 2222+=， ()..........2233r Bv I += ③把② ③代入上式①得：()()()022*********.........2222mv r l t v B r l t v B r l t v B n n n =+∆+++∆++∆ ()()n n n n mv l t v l t v l t v r B =∆+∆+∆+..........222221112 ④当0→∆t 时，棒扫过的面积n n n l t v l t v l t v S ∆+∆+∆=.........222111 ⑤将⑤代入④ 得， ()0222mv rS B =+ ()2022B rmv S += ⑥又知：()()200x xx x S -+= ⑦000t v x = ⑧将⑥⑦⑧联立得， ()202020222t v B rmv x ++= 【总结与点评】该题中导体棒在斜导轨上运动，随着导体棒的运动，导体棒的有效长度随之变化，电阻，电动势，安培力也随之变化，如果直接利用有关公式计算无法得出结果，但这里可以利用过程微元法，将物体运动的过程分成很多的小等份，从而解决了“研究过程的选择”，再辅以力学、电磁学知识，问题得到迎刃而解。

针对训练2.如图所示3，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度1B T =，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为0.5d m =，现有一个边长0.2l m =，质量0.1m kg =、电阻0.1R =Ω的正方形线框MNOP 以07/v m s =的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求（1）线框MN 边刚进入磁场时受到安培力的大小F 。

（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q 。

（3）线框能穿过的条形磁场区域的个数n .【解析】（1）线框MN 边刚进入磁场时0E Blv = ①E I R= ② F IBl = ③①②③联立得220 2.8B l v F N R== ④ （2）在水平方向，由能量守恒定律得 201 2.452Q mv J == ⑤（3）在水平方向，把部分线框在磁场中变速运动过程微元处理，每一微元的冲量 i i i Blv t I R∆= 由动量定理得11220......n n Blv t Blv t Blv t mv R R R∆∆∆++= ⑥ ()11220......n n Bl v t v t v t mv R++= ⑦ 部分线框在磁场中的变减速运动的位移1122......n n x v t v t v t =++ ⑧将⑦⑧联立得0mv R x Bl= ⑨ 线框变减速运动每通过一个条形磁场发生的位移为线框边长的二倍，2x n l= ⑩ 联立⑨⑩得 4n =（取整数）【总结与点评】本题线框在磁场中受重力和安培力的作用作曲线运动，类似于平抛运动但不同于平抛运动，属于要求较高的问题。

试题中第一问考查载流导体在磁场中的受力情况，属于考查基础知识范畴；第二问考查分析运动过程及能量的转化情况；第三问重点考查利用动量定理和微元法处理物理问题的能力，要求考生有较高的利用数学知识处理物理问题的能力和技巧。

三个设问对学生的能力要求逐步递增，有较好的区分度。

本题揭示了“变”与“不变”的内在物理规律，展现了一个新的物理图景。

典例3.如图所示，间距为l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。

场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为1d ,间距为2d 。

两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b 放在导轨上，并与导轨垂直。

(设重力加速度为g)(1)若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域．求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔEk 。

(2)若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个酷场区域，此后a 离开第2个磁场区域时．B 又恰好进入第2个磁场区域且a 、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的 运动时间均相等.求a 穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q(3)对于第(2)问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v.【解析】⑴ a 和b 不受安培力作用，由机械能守恒知θsin 1mgd E k =∆ ①⑵设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为1v ，刚离开无磁场区域的速度为2v ，由能量守恒得： 在磁场区域中θsin 212112221mgd mv Q mv +=+ ② 在无磁场区域中θsin 212122221mgd mv mv -= ③ 解得: ()12sin Q mg d d θ=+ ④⑶在无磁场区域中,根据匀变速直线运动规律θsin 12gt v v =- ①且平均速度 td v v 2212=+ ② 在磁场区域中棒a 受到合力 IBl mg F -=θsin ③感应电动势 Blv E = ④感应电流 RE I 2=⑤ 解得 v Rl B mg F 2sin 22-=θ ⑥ 根据牛顿第二定律，在t 到t t ∆+时间内t mF v ∆∑=∆∑ ⑦ 则有t mR v l B g v ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=∆∑2sin 22θ ⑧ 解得122212sin d mRl B gt v v -=-θ ⑨ 联立①②⑨解得122122218sin 4d mR l B d l B mgRd v -=θ 由题意知122122218sin 4d mR l B d l B mgRd v v -==θ 【总结与点评】本题考察考生对匀强磁场中的安培力、电磁感应定律、能量守恒和匀加速直线运动的分析综合能力及以应用数学处理物理问题的能力。

第(1)问要求考生理解感应电流产生的条件，直接使用能量守恒定律解决问题。

第(2)问要求考生仔细分析棒的物理状态和运动过程，建立物理模型，从而找到系统能量守恒的物理规律。

对考生的分析综合能力要求较高。

第(3)问能将复杂问题分解，综合运用牛顿运动定律、电磁感应定律和能量守恒定律，应用过程微元法解决问题，是整卷中对考生能力要求最高的一问。

针对训练3.如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l 、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B 、方向与导轨平面垂直。

长度为2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m ，置于导轨上。

导体棒中通以大小恒为I 的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。

线框的边长为d （d < l ），电阻为R ，下边与磁场区域上边界重合。

将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。

重力加速度为g 。

求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q ；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t 1 ；（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离χm 。