八年级数学下册16.1 二次根式导学案

16．1 二次根式第一课时教学目标1．了解二次根式的概念和应用．2．理解a(a≥0)是一个非负数．教学重难点重点：二次根式的概念及其基本性质．难点：二次根式a中字母a的意义的认识．教学过程（教学案）一、情境引入【问题1】某造船厂中一个机器零件的设计图纸如右图所示，其中OA＝AB＝BC＝CD＝1，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，请同学们填空：图中，OB＝__________，OC＝__________，OD＝__________，其中的无理数是__________．学生活动：学生独自练习后，交流讨论．教师给出答案：OB＝2，OC＝3，OD＝2.其中的无理数是2， 3.【问题2】请同学们阅读教材P2“思考”栏目并填空，小组交流讨论后，回答下面两个问题：(1)所填的结果有什么特点？(2)平方根的性质是什么？什么是算术平方根？这就是我们这节课所要学习的内容．二、互动新授上面的问题的结果分别是3，S，65，h5，它们表示一些正数的算术平方根．我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【例1】当x是怎样的实数时，x－2在实数范围内有意义？【解】由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，x－2在实数范围内有意义．【问题3】抢答下列各题：(1)0的算术平方根是多少？(0)(2)当a＜0时，a有意义吗？(没有意义)(3)x－4有意义，则x的取值范围是__________．(x≥4)(4)x2有意义，则x的取值范围是__________．(x是一切实数)(5)x3有意义，则x的取值范围是__________．(x≥0)三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了：1.二次根式的概念．2．二次根式a有意义的条件：a≥0.四、板书设计五、教学反思本节课以学生已有的知识为切入点，从有趣的实际问题出发，创设教学情境，引导学生从不同的式子中探寻规律，有利于学生主动地进行观察、猜测、交流，在独立思考和相互探讨的基础上，归纳得出二次根式的概念，并学会用简洁的数学符号来表示二次根式．通过教师例题讲解及学生练习，进一步强调二次根式a有意义的条件，突破本节课知识的重难点．本节课教学设计重视，让学生主动参与学习，成为学习的主人．教师在引导、帮助学生解决困难的过程中，通过师生互动，可及时查漏补缺，突显学生易错点，以便今后调整教学方法．导学方案一、学法点津本节课是学习数的开方后的第一节课．学生学习数的开方后将有理数拓展到实数，通过本节课的学习又将有理式拓展到代数式．通过对一组代数式的观察，联想数的开方的有关知识，引出二次根式的概念．学好本节知识的关键是，明确判断二次根式的标准是根指数是否为2，被开方数是否为非负数．应用二次根式的定义时，要注意二次根式有意义的条件．二、学点归纳总结1.知识要点总结（1）概念：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2.规律方法总结（1）二次根式概念有两个要点：(1)从形式上看，二次根式必须含二次根号“”；(2)被开方数可以是数，也可以是代数式．若a是数，则这个数一定是非负数；若a是代数式，则这个代数式是非负的，否则a没有意义．（2）在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，由二次根式的定义可以知道，被开方数一定是大于或等于零的数，若被开方数是负数，则该式不能称为二次根式．特别是当被开方数中含有字母时，一定要考虑字母的取值范围．一般情况下，可以根据二次根式的定义将其转化为解不等式的问题．第一课时作业设计一、选择题1．在函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是( )．A ．x ≥－3B ．x ≤－3C ．x ≥3D ．x ≤3 2．若x －2在实数范围内有意义，则二次根式所表示的最小实数是( )． A ．0 B ．2 C. 2 D ．不存在 3．当a ＝3时，在实数范围内无意义的式子是( )．A.aB.a －1C.5－2aD.a 2二、填空题4．如果nm －n 是二次根式，那么m ，n 应满足的条件是__________．5．已知实数x ，y 满足y ＝2－x ＋x －2＋5，则yx 的值为__________．6．已知a ＋2＋|b －1|＝0，则(a ＋b)2014的值为__________．三、解答题7．下列各式：(1)2x ；(2)8；(3)a 2＋1；(4)3x 2－1；(5)－x 2－1；(6)a －b(a≥b)；(7)1x2(x ≠0)．其中属于二次根式的有哪些？8．若二次根式3－a 与x 2－1的值互为相反数，求2x ＋3a －1的值．【参考答案】一、1.C 2.A 3.C二、4.m ≥2，n ＝2 5.526.1三、7.(2)(3)(6)(7)8．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＝0，x 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，x ＝±1.所以2x ＋3a －1＝10或6. 第二课时教学目标1．理解并掌握二次根式的性质，正确区分(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝a (a ≥0)，并利用它进行计算和化简．2．由具体的正数和零入手，研究二次根式的性质，让学生从具体到抽象自主探究得到二次根式的性质，进一步增强学生自主参与的意识． 教学重难点重点：掌握(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)及其应用．难点：引导学生自主探究推导出(a )2≥0(a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)．教学过程（教学案）一、情境引入【探究1】 根据算术平方根的意义填空：(4)2＝__________；(2)2＝__________；(13)2＝__________；(0)2＝__________． 提出问题：从以上等式中，你能得到什么结论？ 【探究2】 填空：22＝__________；0.12＝__________；（23）2＝__________；02＝__________．提出问题：从以上等式中，你能得到什么结论？二、互动新授学生通过计算填空的实践，观察各个具体的等式，自主探究，可小组相互交流、讨论，从具体到抽象，回答教师提出的问题．师生共同完成探究1：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数．因此有(4)2＝4.同理，2，13，0分别是2，13，0的算术平方根，因此有(2)2＝2，(13)2＝13，(0)2＝0.一般地，(a)2＝a(a ≥0)． 【例2】 计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2.【解】 (1)( 1.5)2＝1.5；(2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20.说明：例2(2)用到(ab)2＝a 2b 2这个结论．师生共同完成探究2：通过前面的学习，我们较容易得到：22＝2，0.12＝0.1，（23）2＝23，02＝0. 一般地，根据算术平方根的意义，a 2＝a(a ≥0)． 【例3】 化简：(1)16； (2)（－5）2.【解】 (1)16＝42＝4；(2)（－5）2＝52＝5.教师可引导学生思考两个结论的不同之处：a 2＝a(a ≥0)是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算；a 2＝a(a ≥0)则相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算，非负数开平方运算和平方运算是一对逆运算．a 2与(a)2既有区别又有联系．在a 2与(a)2两个式子中，前者表示a 2的算术平方根，因为任何数的平方都是非负数，所以无论a 为任何数，a 2总有意义且a 2＝|a|，而(a)2表示a 的算术平方根的平方，只有当a ≥0时，(a)2才有意义，且此时a 2＝(a)2.教师指出：回顾我们学过的式子，如5，a ，a ＋b ，－ab ，s t，－x 3，3，a(a ≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了：1.依据算术平方根的意义得到以下结论：(a)2＝a(a ≥0)；a 2＝a(a ≥0)；在不知a 为非负数的情况下，必须分类讨论：a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）.2．代数式的概念． 四、板书设计五、教学反思本节课教学设计主要是让学生经过实践获得感性知识，从具体的等式中，经过探究、猜想，完成从具体到抽象，从特殊到一般的探究过程，观察归纳出两个二次根式的重要性质：(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)，并用以化简、计算．为了拓展学生的视野，引入分类讨论：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.培养学生主动参与学习，掌握从特殊到一般的数学思想和方法，进一步提高学生的学习能力，全面发展学生独力学习的品质．在教学中，学生易将a 2与(a )2混为一种情况．这些难点、易混点教师要通过强化训练，加以巩固．导学方案一、学法点津学生可以对比数的开方，理解二次根式的非负性，当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，所以a 是非负数，即对于式子a 来说，不仅a ≥0且a ≥0，可以说a 具有双重非负性．当a 为一切实数时，a 2都有意义；当a ≥0时，a 2才有意义．根据(a )2＝a (a ≥0)，可以对二次根式进行化简与计算，但需要注意此公式成立的限制条件是a ≥0.二、学点归纳总结1.知识要点总结（1）(a )2＝a (a ≥0)．（2）a 2＝a .(a ≥0)，a 2＝－a (a <0)． 2.规律方法总结)（1）比较二次根式的性质，可知(a )2中a 的取值有限制条件a ≥0，a 2中a 的取值没有限制条件，即取任意实数a 2都有意义．（2）利用二次根式的性质a 2＝|a |化简时，关键要先判断a 的正负情况，再根据a 的正负性去掉绝对值符号．（3）若已知的被开方数为含有字母的二次根式，则隐含着被开方数大于或等于零的条件，由此可将问题转化为解方程或解不等式，从而确定其字母的取值范围．第二课时作业设计一、选择题1．当a ＝5时，式子a －1－2a ＋a 2的值是( )．A ．－1B ．1C ．9D ．112．若x ＜0，y ＜0，则(－x)2－(－y)2的值是( )．A ．x －yB ．－x －yC ．x ＋yD ．－x ＋y3.（3a －2）2＝2－3a 成立，则a 的取值范围是( )．A ．a ≥23B ．a ＞23C ．a ＜23D ．a ≤23二、填空题4．若x 2＝5，则x ＝__________．5．若－1＜x ＜8，则x 2＋2x ＋1＋x 2－16x ＋64＝__________． 6．若16－a 是整数，则非负整数a 的值为__________． 三、解答题 7．计算：(1)(233)2； (2)(23)2（－2）2.8．要用一个圆形铁片盖住一个面积为3m 2的正方形洞口，则圆形铁片的面积至少是多少？【参考答案】一、1.B 2.D 3.D二、4.±5 5.9 6.0，7，12，15，16三、7.(1)43(2)248．解：由题意可知，该圆形铁片为正方形洞口的外接圆，设正方形的边长为a ，圆的半径为r.∵S 正方形＝3m 2，∴a ＝3m ，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝62(m)，∴S 圆＝32πm 2.。