点到直线距离公式的证法探究
点到直线距离公式的深入探究
法、哪些解法本质是一样的•让学生在比较中深化认识、优化思维、固化优解，学会今后处理此类问题时灵活选择方法，真正快速地一题一解！而不至于走入一题多解的迷雾.（五）培养思想、提升素养是多解型作业讲评的归宿点数学思想方法影响思维的方式.要提升学生善于变通问题的思考能力，须关注解法是否反映出数学问题的本质，能否体现出不同数学思想方法的运用•本案例5种方法紧紧围绕方程与函数思想，数形结合思想展开，在多解探究中让学生洞察其背后的深刻与必然，感受使用思想方法解题的魅力，只有从问题中寻找解题的更高背景，从思想层面去引领，才能将学生的思维触角延伸到更深的层次、更广的方向.这对提升学生的数学素养，学科思维的发展大有好处，真正让学生终身受益.多解型作业讲评要以学生的能力为基点，学生的发展为指向，学生的活动为依托，彰显解题的优化功能，才能联系更多知识，变通思维方式，迁移解题方法，让学生成为解题的智者.点到直线距离公式的深入探究天津市天津外国语学校天津市第七中学(300230)高成龙(300162)刘春红课程标准的教学要求是探索并掌握点到直线的距离公式,在推导点到直线距离公式的教学中，教师应该从多角度引导学生思考，加强知识间的相互联系，培养学生的探索能力和创新意识•本文先给出教材（人教A版数学必修2）中的直线距离推导方法，再逐一给出其它证明方法，从多个角度来进行推导证明.一、教材中的推导教材中提供了两种思路来证明点到直线距离公式，即定义法和构造直角三角形法.思路1:（定义法）所谓定义法是指过点P作直线2的垂线，垂足为Q,则线段PQ的长度就叫做点P 到直线I的距离.关于定义法,教材中只提供了思路并没有给出详细证明，下面给出具体证明过程：如图1,过点（l,y<>）作>'*已知直线l-.Ax+By+C=0（A-B#0）的垂线，垂足为Q,将直线PQ与直线2的解析式联立求得点Q的坐标，然后利用两点间距离公式求得PQ的长度，即为点P（%,y。
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载)很有用哦已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B ----++2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A BA Ax By CB Ax ByC Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴=二、 函数法证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：222200222222220000220000220000()[()()]()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是d =三、不等式法证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式要推导点到直线的距离公式，我们可以使用几何、向量和三角学的一些基本原理和定理。
下面是一种常见的推导方法：1.假设我们有一个点P(x1,y1)和一条直线L，直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A，B和C是常数。
2.从点P到直线L的距离可以通过连接点P和直线L上的一点Q(x,y)来计算。
3.通过类似几何的方式，我们可以将向量OP表示为点O(0,0)到点P(x1,y1)的向量，即OP=<x1,y1>。
4.同样地，我们可以将向量OQ表示为点O(0,0)到点Q(x,y)的向量，即OQ=<x,y>。
5.因为点Q在直线L上，所以我们可以用直线L的一般方程来表示点Q，即Ax+By+C=0。
由于Q(x,y)属于直线L，所以代入方程后等式成立。
6.因此，我们可以得出以下等式：Ax+By+C=0。
7.为了求得点Q，我们可以解这个等式组，即解联立方程组：Ax +By + C = 0和y = mx + n，其中m是直线的斜率，n是直线在y轴上的截距。
8.将y = mx + n代入Ax + By + C = 0，可以得到Ax + B(mx + n) + C = 0。
9.将等式进一步化简得到(A+Bm)x+(Bn+C)=0。
10.由于点Q在直线L上，所以该等式要成立。
根据向量的性质，即两个向量相等当且仅当它们的相应分量相等，我们可以得出以下等式组：(A+Bm)x=-(Bn+C)11.由于x≠0，我们可以除以x，得到(A+Bm)/x=-(Bn+C)/x。
12.记d为点P到直线L的距离，根据点到直线的定义，点P到直线L的距离是点P到其在直线L上的垂直距离。
13.根据三角形的性质，我们可以得到sinθ = d/，OP，其中θ是向量OP与向量OQ之间的夹角。
14.因为OP = <x1, y1>和OQ = <x, y>，所以可以得出，OP， =sqrt(x1^2 + y1^2)，OQ， = sqrt(x^2 + y^2)。
点到直线距离公式的八种推导方法
点到直线距离公式的八种推导方法点到直线的距离公式是解析几何中的经典问题之一，有多种推导方法。
下面将介绍八种主要的推导方法，详细说明每种方法的思路和步骤。
1.向量法在平面直角坐标系中，设直线L的方程为ax+by+c=0，点P的坐标为(x0, y0)。
将P到L的距离记为d，则存在点P' = (x', y')在直线上，使得向量PP'与直线垂直。
那么向量PP'与直线L的法向量N = (a, b)垂直，即(N·PP'=0)，即(a, b)·(x0 - x', y0 - y') = 0，展开化简可得(x0 - x')a + (y0 - y')b = 0。
此方程即为直线L的法向量与向量P'P的点积，即(a, b)·(x0 - x1, y0 - y1) = 0。
根据向量的定义和运算，P'P = (x0 - x1, y0 - y1)，所以点P到直线L的距离d = ，a(x0 - x1) + b(y0 - y1)，/ √(a^2 + b^2)。
2.参数方程法对直线L的参数方程进行适当的变换，求直线上一点的坐标。
设直线L的参数方程为x=x1+m(t1-x1)，y=y1+m(t2-y1)，其中m为参数。
点P的坐标为(x0,y0)，代入直线方程得到直线上的一点的坐标(x',y')，求点P与(x',y')的距离即可。
3.法向量法设直线L的方程为ax+by+c=0，点P的坐标为(x0, y0)。
向量N = (a, b)为直线L的法向量，根据向量的性质，点P到直线L的距离等于点P到直线L的法向量的投影长度，即d = N · (P - P') / √(a^2 + b^2)，其中P'为点P到直线L的垂足的坐标。
4.单位矩阵法设直线L的方程为ax+by+c=0，点P的坐标为(x0, y0)。
十二种方法推导点到直线的距离公式
{十二种点到直线距离公式证明方法}
用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法．已知点P(Xo，Yo)直线l：Ax+By+C=0 (A、B均不为0)，求点P到直线I 的距离。
(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线) 《1．用定义法推导》
点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A
《2，用设而不求法推导》
《3，用目标函数法推导》
《4，用柯西不等式推导》
“求证：(a2 +b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc，即a/c=b/d 时等号成立。
”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。
《5．用解直角三角形法推导》
设直线l的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然X l=x。
，所以
《6，用三角形面积公式推导》
《7．用向量法推导》
《8．用向量射影公式推导》
《9．利用两条平行直线间的距离处处相等推导》
《10．从最简单最特殊的引理出发推导》
{11．通过平移坐标系推导】
【12，由直线与圆的位置关系推导】
感谢以下挚友，俺其实只是负责编辑整理了一下，证明下，感受下数学滴博大精深。
十二种方法推导点到直线的距离公式
{十二种点到直线距离公式证明方法}
用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法．已知点P(Xo，Yo)直线l：Ax+By+C=0 (A、B均不为0)，求点P到直线I 的距离。
(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线) 《1．用定义法推导》
点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A
《2，用设而不求法推导》
《3，用目标函数法推导》
《4，用柯西不等式推导》
“求证：(a2 +b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc，即a/c=b/d 时等号成立。
”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。
《5．用解直角三角形法推导》
设直线l的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然X l=x。
，所以
《6，用三角形面积公式推导》
《7．用向量法推导》
《8．用向量射影公式推导》
《9．利用两条平行直线间的距离处处相等推导》
《10．从最简单最特殊的引理出发推导》
{11．通过平移坐标系推导】
【12，由直线与圆的位置关系推导】。
点到直线距离公式的十种推导方法
点到直线距离公式的十种推导方法一、点到直线距离公式的介绍与基础证法点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。
而在这一公式的证明层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。
点到直线距离公式表述：设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距离为：在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。
这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。
我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。
法一：垂线段法①首先解出直线 AB 的方程;②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。
法二：向量法①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；③利用模长公式即可求解。
二、其余方法展示接下来采用的额外七种方法，分别从面积、设而不求、函数、几何等视角加以展开，每一种方法都可以提炼出不同的核心思路。
等面积的方法和法一十足相似，主要是计算量都偏大，但都比较容易想到；当我们看到高的时候，最能直接想到的或许就是面积了。
法三：等面积法①由点 P 向两坐标轴分别作平行线交直线 L 于点 R、S；②分别利用两点间距离公式得到 PR、PS 的距离；③利用等面积方法求出三角形 PRS 的高，即点到直线的距离下面的方法应该说是解析几何味道十分浓重的，考虑到圆锥曲线中常用的设而不求想法，我们巧妙地构造对称点来解决这个问题。
一个点到直线的距离公式
一个点到直线的距离公式点到直线的距离是一种几何问题，非常有用且广泛应用的公式。
在解决这类问题时，我们常常使用以下点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离为d。
这个距离公式的由来可以通过几何推导得到。
首先我们从点(x0,y0)引一条垂直于直线的线段，设交点为P。
因为P在直线上，所以P的坐标一定满足直线的方程，即有：A*x+B*y+C=0由于P点在直线上，所以直线上任意一点(x1,y1)也应该满足这个方程。
我们可以根据两个点的坐标(x0,y0)和(x1,y1)代入直线的方程，得到：A*x0+B*y0+C=0(1)A*x1+B*y1+C=0(2)我们可以将(1)式减去(2)式，得到：A*(x0-x1)+B*(y0-y1)=0这个式子表示直线上的两个点的向量之差与(0,0)向量垂直，因此直线的法向量为(n,m)=(A,B)。
我们可以将法向量与P点到直线上其中一点的向量相乘，即(x0-x1,y0-y1)和(A,B)的点积为0，可以得到：A*(x0-x1)+B*(y0-y1)=0我们可以将这个方程稍微变换一下：A*x0+B*y0-A*x1-B*y1=0这个方程表示直线上的两个点P(x0,y0)和(x1,y1)到直线的距离为0。
我们可以将这个方程稍微改写为：A*x0+B*y0+C=0(3)这个方程依然表示点P(x0,y0)到直线的距离为0，因此点P一定在直线上。
这意味着我们可以将点(x0,y0)代入方程(3)来计算点到直线的距离。
为了得到点到直线的距离，我们使用了线代中的点积的性质，即两个向量之间的点积为零，表示这两个向量垂直。
在这个推导中，我们使用了点的坐标和直线的法向量，将点的坐标表示为(x0,y0)，直线的法向量表示为(n,m)=(A,B)。
将这两个向量点乘结果为零，可以得到点到直线的距离。
所以，我们可以通过公式d=，A*x0+B*y0+C，/√(A²+B²)来计算点到直线的距离。
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第２ ７卷第 ７ 期
２０ ０ ８年 ７ 月
数学教学研 究 证 法 ６ 如 图 ６ 过 点 Ｐ 作 ，
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数学教学研究
第 ２ 卷第 ７ ７ 期
２０ ０ ８年 ７ 月
点到直线距 离公式的证法探究
董福 学
甘肃省庄浪县第三 中学 ７ ４ ０ ４６ ０
定理
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即点 Ｐ到直线 点 Ｐ到直线 ｚ ＡＢ ）点 动 ｙ ）那 的距离是
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