高数20092010第二学期期末考试A2]

高数20092010第二学期期末考试A2]————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2第 3 页《高等数学（工）2》期（终）试卷A课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 120 分钟 课程序号: 1260、1262——1286共26个教学班班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、单项选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续是(,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在的（ D ）。

（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件 （C ）必要而非充分条件（D ）既非充分又非必要条件连续与可导、可微的关系：()z f x,y =可微00z f (x,y )y y z f (x,y )x x ⎧⎪⎧=⎧⎪⎨⎪⎪=⇒⎨⎪⎩⇒⎨⎪=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩⎩⎩z=f(x,y)连续连续可导曲线连续 2、设2(2)arcsinxz x y y =+-，则(1,2)z x ∂=∂（ ）。

（A ）2 （B ）1（C ）2π（D ）4π 用公式死做3、设(,)F x y 具有一阶连续偏导数，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）。

（A ）F F x y ∂∂=∂∂ （B ）F F x y x y ∂∂-=∂∂ （C ）F F x y x y ∂∂=∂∂ （D ）F Fy x x y∂∂=∂∂ 题 号 一 二 三 四 总 分 应得分 14 12 60 14 100 实得分第 4 页（Q PP(x,y )dx Q(x,y )dy Dz x y∂∂+=⇔=∂∂） 4、设22:1D x y +≤，f 是D 上的连续函数，则()22Dfx y dxdy +=⎰⎰（ ）。

（A ）102()f d πρρρ⎰（B ）14()f d πρρρ⎰（C ）122()f d πρρ⎰（D ）12()f d πρρ⎰计算 先画D ，确定X-型或Y-型，或极坐标R 型，然后计算（当一型不能计算时换另一型）1、D 为X-型 ⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(x y x b x a ψϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(),()),((),(x x b ax x b aDdy y x f dx dx dy y x f dxdy y x f ψϕψϕ2、D 为Y-型 ⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(y x y dy c ψϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(),()),((),(y y d cy y dcDdx y x f y d dy dx y x f dxdy y x f ψϕψϕ3、极坐标 常见的区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤ar 020πθ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-θπθπcos 2022a r ⎩⎨⎧≤≤≤≤θπθsin 200a r5、已知积分区域Ω是由平面0y =，0z =，y x =，1x z +=所围成，把三重积分(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰化为直角坐标系下的三次积分为（ ）。

（A ）11100(,,)x xdx dy f x y z dz -⎰⎰⎰（B ）11000(,,)x x dx dy f x y z dz -⎰⎰⎰（C ）1110(,,)yxdx dy f x y z dz -⎰⎰⎰（D ）110(,,)x x y dx dy f x y z dz --⎰⎰⎰第 5 页三重积分若⎩⎨⎧∈≤≤ΩD y x Z Z ),(Z :上下 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=上下Z ),,(),,(Z Ddx z y x f dxdy dv z y x f （先一后二）柱面坐标：三重积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=上下Z ),,(),,(Z Ddx z y x f dxdy dv z y x f 先二后一化成二重积分可用极坐标时，即为柱面坐标。

6、设L 是由(0,0)，(2,0)，(1,1)三点连成的三角形边界曲线，则Lyds =⎰Ñ（ ）。

（A ）22（B ）22+（C ）2（D ）222+对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周7、设∑为部分抛物面：22x y z += 14z ≤≤（），则曲面积分14dSz∑+⎰⎰等于（ ）。

B A参数第 6 页（A ）2π （B ）3π（C ）4π（D ）6π对面积的曲面积分当曲面为 ⎰⎰⎰⎰++==∑xyD y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 特别的：ds ∑=∑⎰⎰面积。

例：22222222x y z eds e ds eds e r π++∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑为上半球面2222(0)x y z z ++=≥二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分），请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、已知向量(2,1,1)a =v，(0,1,1)b =v ，则与a b ⨯v v 方向相同的单位向量为。

向量积：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯确定。

到，指向按右手法则从、方向：同时垂直于大小：b a b a b a b a b a b a ϖωϖϖϖϖϖϖϖϖ),sin(zy x z y x b b b a a a k j i b a ϖϖϖϖϖ=⨯运算规律：a b b a ϖϖϖϖ⨯-=⨯， c a b a c b a ϖϖϖϖϖϖϖ⨯+⨯=+⨯)(几何意义：以b a ϖϖ,为邻边的平行四边形面积b a S ϖϖ⨯=2、设23z x y =，当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分dz =。

微分 )(022y x dz z ∆+∆+=∆ dy f dx f dz y x +=可微一定可导，一定连续，反之不一定成立。

第 7 页3、曲线2213()21z x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩在点(1,1,2)处的切线与y 轴正向所成的倾角为。

偏导几何意义),(00y x xz ∂∂是曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在),(00y x 的切线关于x 轴的斜率。

),(00y x f y 是曲线⎩⎨⎧==0),(x x y x f z 在),(00y x 的切线关于y 轴的斜率。

4、设ln(1)xz e y =+，则2zx y∂=∂∂。

死做5、曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程为。

几何应用1、 空间曲线)(),(),(t z z t y y t x x ===在0),,(000t t z y x =处的切线为)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面为 2、 空间曲面0),,(=z y x F 在0),,(000t t z y x =处的切平面为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ()z y x F F F n ,,=ρ法线为6、设D 是由1x y +=，1x y -=，0x =所围成的三角形闭区域，则3sin Dyd σ=⎰⎰。

计算 先画D ，确定X-型或Y-型，或极坐标R 型，然后计算（当一型不能计算时换另一型）第 8 页1、D 为X-型 ⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(x y x bx a ψϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(),()),((),(x x b ax x baDdy y x f dx dx dy y x f dxdy y x f ψϕψϕ2、D 为Y-型 ⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(y x y dy c ψϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(),()),((),(y y d cy y dcDdx y x f y d dy dx y x f dxdy y x f ψϕψϕ3、极坐标 常见的区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤ar 020πθ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-θπθπcos 2022a r ⎩⎨⎧≤≤≤≤θπθsin 200a r三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1、求原点)0,0,0(O 在直线L ：471352-=-=+z y x 上的投影。

平面方程（1）点法式：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A其中{}C B A n ,,=ϖ为平面法向量，),,(000z y x 为平面上一点。

（2）一般式：0=+++D Cz By Ax ，其中{}C B A n ,,=ϖ为平面法向量。

空间直线方程（1）对称式（标准式、点向式）：pz z n y y m x x 000-=-=-第 9 页其中直线的方向向量为{}p n m s ,,=ϖ，),,(000z y x 为直线上一点。

（2）两点式：121121121z z z z y y y y x x x x --=--=--（3）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000（4）一般式：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，其方向向量{}{}222111,,,,C B A C B A s ⨯=ϖ注意做法2、设(,)z z x y =是由方程xz xyz =所确定的隐函数，求dz 。

dy f dx f dz y x +=复合函数求导 yv v f y u u f y z x v v f x u u f x z y x v v y x u u v u f z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂===),(),(),(隐函数求导 若)(x f y =由0),(=y x F 决定，则yx F F dx dy-= （或两边同时对x 求导）若),(y x f z =由0),,(=z y x F 决定，则FzF y z Fz F x zy x -=∂∂-=∂∂ （或两边同时对x 求偏导）3、设(,)(,)z f x y g u v =+，22u x y =-，v xy =，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂。