第五课时两数和的平方
第5课 平方根
Part 2：知识强化
• 1、算术平方根 • 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个 正数x叫做a的算术平方根. • a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫被开方数. • 0的算术平方根是0. • 2、用计算器求一个数的算术平方根 • 有的计算器上有“ ”键，就可以使用这个键直接求出一 个数的算术平方根. • 3、平方根 • 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平 方根（或二次方根），这就是说：如果x2=a，那么x叫做a 的平方根.
重难点知识
• 1、由算术平方根的定义及其补充可以得到：一个 非负数a的算术平方根可记作 ，它是非负数， 就是说，当 有意义时，它一定表示一个非负数， 故 具有双重非负性：①a≥0；② ≥0. • 2、 是算术平方根的专有记号，它有两重意义： ①表示求根号内的非负数的算术平方根，是运算 符号；②求a的算术平方根，其思维方式与乘方是 逆向的，即要这样想，什么非负数的平方等于a.
• • • • • • • • • •
4、开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 5、平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根. 6、平方根的表示 正数a的算术平方根用 表示； 正数a的负的平方根用 表示； 正数a的平方根用符号 表示.
• 7、平方根重要性质： （1）a≥0时， （2）
See
you
• 7、平方根与算术平方根的区别及联系 • 区别： （1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个 数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根 叫做a的算术平方根”. （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正 数的算术平方根只有一个. （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为± ， 正数a的算术平方根表示为 . （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数； 正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.
第5讲 完全平方公式及应用
第五讲 完全平方公式及应用一、新知探索二、例题精讲考点一：公式的几何意义【例1】如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.【巩固】如图，利用边长为b a -的正方形的面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.考点二：完全平方公式的应用【例2】计算（1）2(4)m n + （2）2(32)x y - （3）()22a b -+【巩固】 ⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y -- （3）()()b c b c +--小结：注意与平方差公式的区别，防止出现类似222)(b a b a ±=± 【例3】计算⑴2()a b c ++ ⑵ 2()a b c +-完全平方差公式：222222()2()2a b a ab b a b a ab b ⎧+=++⎪⎨-=-+⎪⎩两数和的平方：两数差的平方： ★ 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央。
abb aba-bb 2a-bb【巩固】填空：（1）2()a b c --=_________________________________. （2）2(23)________________________x y z -+=。
考点三：完全平方公式的恒等变形【例4】已知：4,2a b ab +==-，求：（1）22a b + 的值。
（2）()2a b -的值。
【巩固】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【例5】已知1x x+=3， ①求221x x +的值。
②求441x x +的值。
考点四：利用完全平方公式简化计算【例6】计算（1）2501 （2）28.99考点五：配方思想【例7】填空：⑴222_____()x y x y ++=+； ⑵2229_____(3___)a b a -+=-；①ab b a b a 2)(222-+=+ ②ab b a b a 2)(222+-=+ ③)(2)()(2222b a b a b a +=-++ ④ab b a b a 4)()(22=--+⑶2244____(2___)m mn m ++=+； ⑷2_____10______(5)xy x y ++=+.【巩固】1、已知k x x ++162是完全平方式，则常数k 等于 （ ） A.64 B.48 C.32 D.162、若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是【例8】已知0126222=-+-+x xy y x ，求y x 2-的值。
完全平方和差公式
完全平方和差公式一、内容简介1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导参与探究过程。
首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。
通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受数学思维。
二、学情分析：1、学生已经具备的基本知识和技能：①同类项②合并同类项方法③多项式乘以多项式方法2、在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。
这节课的目的就是让学生从特殊到一般,得出公式，并能正确的应用公式。
三、教学目标及其对应的课程标准：（一）教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、了解(a+b) =a2+2ab+b2的几何背景。
（二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下基础。
（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
四、教学重点；完全平方公式的应用。
五、教学难点；掌握公式，灵活运用公式进行计算。
六、教育理念和教学方式：1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。
乘法公式两数和(或差)的平方
(1)(a b)2 （2）(2x 3y)2 解： (1)(a b)2
a b2
(a)2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
（2）(2x 3y)2
2x 3y2
(2x)2 2 2x (3y) (3y)2
4x2 12 xy 9 y 2
提示：把底数 相减转化成相 加.
的式子是_______；
形如 a2 2ab b2 与 a2 2ab b2 的三项多项
式叫做完全平方式.
（三）达标练习
A组
1、计算：
(1)( x 3)2
（2）(2x y)2
（1）(x 3)2 x2 2 x 3 32 x2 6x 9
（2）(2x y)2 (2x)2 2 2x y y2 4x2 4xy y2
式，则m=____2___； (2)要使 x2 y2 成为一个完全平方式，则应加上
的式子是___2_x_y__；
谈谈你的收获！
布置作业
必做 课本第33页习题13.3第2、3题. 选做 填空：
（1）若4x2 mx 1是一个关于x的完全平方
式，则m=_______；
(2)要使 4x2 1 成为一个完全平方式，则应加上
(1)(2a 3b)2 （2）(2a b )2
真对照公式，找 准谁相当于公式 中的“a”和“b”；
解：
2
(1)(2a 3b)2
(2a)2 2 2a 3b (3b)2 4a2 12ab 9b2
（2）(2a b )2
(2a) 2
2
2
2a
b
b
2
2 2
4a2 2ab b2
4
例2、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：
大家好！欢迎指导！！
完全平方公式优秀教案
完全平方公式【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景。
（二）过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。
（三）情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心。
【教学重难点】完全平方公式及其应用。
【教学过程】（一）前置诊断，开辟道路师：上一节课，我们学习了平方差公式，知道了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运算。
那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生：（积极踊跃，争先恐后）生：平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2；公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。
右边是两数的平方差。
师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
生2：（补充）把两个因式中相同的部分看作a，互为相反的部分看作b。
师：很好。
还记得我们是怎样用图形解释平方差公式的吗？生：利用图形变化前后的面积相等来解释的。
从一个边长为a大正方形中割掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积可以用a2－b2表示，也可以用（a+b）（a－b）表示，就可以得到：（a+b）（a－b）=a2－b2师：（出示多媒体投影，使学生数形结合起来，帮助其理解。
）师：平方差公式实质上是特殊的多项式乘法的一种简便运算，是我们由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律，应用它可以进行一些数或式乘法的简便计算。
数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发现。
（二）设问质疑，探究尝试：请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）。
生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方。
两数和(差)的完全平方公式
两数和（差）的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。
它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。
一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
一、教学目标1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
二、教学重难点重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？二、探究新知，得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。
两数和的平方公式.ppt
？想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2
这两个公式我们就叫两数和的平方公 式与两数差的平方公式
特点： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和，中间项是两 数
(a b c)(a b c) a2 ab ac ba b2 bc ca cb c2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
(a b)2 (a b)2 _4_a_b_,
a2 b2 (a b)2 _2_a_b_ (a b)2 _2_a_b_ 已知 (a b)2 20, ab 3,求 a2 b2 与 (a b)2
2
4
(2) ( x 2 y)2 x2 4xy 4 y2
(3) (x 3y)2 x2 6xy 9 y2
一.判断
（×） （1）(b 4c)2 b2 16c2
（×） （2）(4m n)2 16m2 4mn n2
（×） （3）(2a b)2 4a2 4ab b2
（1） 19992
的值。
解:
(a b)2 20, ab 3,
a2 b2 (a b)2 2ab
20 2 3
14
(a b)2 (a b)2 4ab
20 4 3
8
已知
( 1 )2 x
1 x2
,
设
x
1 x
1,
求
x2
1 x2
,
的值。
解： x 1 1 x
(x 1 )2 1 x
x2
你能用哪些方法计算 (a b c)2
华师版八年级上册数学《两数和(差)的平方》课件
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11、人总是珍惜为得到。21.7.1**Jul-2 11-Jul-2 1
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12、人乱于心，不宽余请。***Thursday, July 01, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21. 7.121.7. 1**Jul y 1, 2021
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月1日 星期四* *21.7.1
两数和（差）的平方
(ab)2 ?
学习六步曲
学习目标 复习回顾 探究新知 例题讲解 巩固练习 课堂小结
学习目标
能根据两数和平方公式的特点，正确运用 两数和的平方公式进行计算；通过两数和 的平方公式的推导，来初步体验数学中相互转 化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背 景。
回顾 & 思考☞
(a+b)(a−b)=a2 − b2;
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16、业余生活要有意义，不要越轨。* *7/1/2 021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。*** 21.7.1
谢谢大家
倍 速 课 时 学 练
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.7.1 21.7.1T hursday , July 01, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **7/1/ 2021 5:54:13 PM
(a+b)2
=
a2 +
2ab
+ b2
a2
ab
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b
ab
b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
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翠屏区凉姜中心学校2011-2012学年度（上）学教案
（第十三章 整式的乘除）
（八）年级（数学）学科 第（十三）章 学生姓名：（ ）班级： 课题：乘法公式（二） 课型：新授课 课时：一课时
编制人：尹忠琴 审核人： 使用时间： 年 月 日（星期 ） 学习目标、重难点及学法指导
学习内容：两数和的平方
学习目标：
1、使学生理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算。
2、经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。
3、培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想。
学习重点：对公式的理解和应用 学习难点： 对公式()222
2b ab a b a ++=+的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释。
学法指导: 发现法、尝试探究结合法
学习过程：
一、知识回顾，知识链接
（1） 口述多项式乘以多项式法则。
（2）多项式乘以多项式要注意什么？ （3）计算 （a+b ）（a+b ）= = （a-b ）（a-b ）= = (-a+b)(-a+b) = = (-a-b)(-a-b)= =
二、自学教材，探索新知：
情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们。
来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……
（1） 第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2） 第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3） 第三天这（a ＋b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多
多少？
由学生自主总结出公式，导入新课：（a ＋b ）2
＝
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。
三、用面积法检验公式：
先观察下图，再用等式表示下图中图形面积的运算
三、小组合作，探究新知
1、第一次尝试：（请仿照书31页例4的格式）
（x+y ）2 （3a ＋2b ）2
()22y x --
2、第二次尝试： （x －y ）
2 （3x －4y ）2 ()2
52b a +-
比较1、2题中对应公式有什么变化，其中公式里得a 和 b 可以是（ ）号，也可以是（ ）号。
注意：1题是同号两数和的平方，等于两数的平方加上两数积的2倍。
2题是异号两数和的平方，等于两数的平方减去两数积的2倍。
使用()2222b ab a b a +±=±时注意判断a 、b 是同好还是异号。
四，学以致用，
试着完成： 已知()(),4,72
2=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值。
五、学有所获、及时小结：
本节课你学到了什么？还有什么不明白？
注意：本课学习了()222
2b ab a b a +±=±两个乘法公式，在应用时（1）要了解公式的结构和特征；（2_掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中条件；（5）应灵活地应用公式来解题。
六、查漏补缺，课堂检测
（一）填空：
1、（-2x+y ）2 =_________.
2、（-2x-y ）2=__________.
3、（m －n ）（m+n ）（m 2－n 2）=___________
4、 (5x-___)2=_____－10xy+y 2 。
5、 若()4
122++=-x x a x ，则a =
6、若（x-2y ）2=（x+2y ）2+A,则代数式A 应是_______ 。
7、 a 2＋b 2 =（a+b ）2 - 。
8、 a 2＋b 2 =（a-b ）2 +
9、若m x x +-62是完全平方式，则m =
10、已知6,5=-=+xy y x ，则22y x +=
（二）选择题
1、下列各式是完全平方式的是（ ）
A.x 2+2xy+4y 2
B.25m 2+10mn+n 2
C.a 2+b 2
D.x 2+4xy －4y 2
2、若多项式x 2+kx+25是一个完全平方式,则值是（ ）
A.10
B.±10
C.5
D.±5
3、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A ．22a ab b ++
B ．222a a ++
C ．222a b b -+
D ．221a a ++ 4、以下式子运算结果是m 2n 4－2mn 2+1的是( )
A.(m 2n+1)2
B. (m 2n-1)2
C. (mn 2-1)2
D. (mn 2+1)2
5、已知a+b=10，ab=24,则a 2+b 2等于（ ）
A.52
B.148
C.58
D.76
（三）应用。
1、计算：(x －y)2－(x+y) (x-y)
()21x + 2
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a
2、先化简，再求值。
()()b a b b a -+-2，其中a =2,b==-1
22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133
a b ==-，．
七、课后记（有错必改）：。