太原理工大学概率论习题册答案解析

2 使 cY服从 分布。
解：因为 ( X1 X 2 X 3 ) ~ N (0,3)
( X 4 X 5 X 6 ) ~ N (0,3) 所以
X1 X 2 X 3 2 X 4 X 5 X 6 2 ( ) ( ) ~ 2 (2) 3 3 1 故 c 。 3 五． X ~ N ( , 2 )，抽取样本容量 n 16 的简单随
P(S 2S 0)
2 1 2 2
解： (n1 1)

2
S1 ~ (n1 1)
2
2
(n2 1) 2 2 S ~ (n2 1) 2 2
所以
S12 ~ F (9,14) 2 S2
( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自正态总体 七、设 N (0, 2 ) 的样 本, 试求下列统计量的分布： X 1 X 3 X 2 n 1 （1） X 12 X 32 X 22n1 （2Y ） . 2
1 xe 2
1 x2 2
dx
2

所以
1 1 E (max( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2 1 1 E (min( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2
X , Y 相互独立，皆服从 N (, ) ,试 八、设 求 Z1 X Y 与 Z 2 X Y 的相关系数（其 中 , 是不为零的常数）.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解得
1 1 A ,B 2
概率密度
1 f ( x). F ( x) a 2 x 2 0
a x a 其它
第四、五章
习题课
一、填空题
1 p 。 答案：1、30;2、0.0228;3、0;4、2.5;5、 2 p

六、掷一枚硬币1000次，已知出现正面的次 数在400到k之间的概率为0.5，问k为何值？ 解： 设 X 表示正面出现的次数， 则 X ~ B(1000 ,0.5) 。由中心极限定理有
P (400 X k ) k 1000 0.5 400 1000 0.5 ( ) ( ) 1000 0.5 0.5 1000 0.5 0.5 k 500 100 ( ) ( ) 0.5 5 10 5 10 k 500 ( ) 0.5 1 (6.325) 0.5 5 10 k 500 0, k 500
2
2 ( X ) i i 1
n

2
32)
0.99 0.05 0.94
六．X ~ N (1, 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) 且相互独立，
从X 、 Y 两总体中分别抽取 n1 10 ，和 n2 15 简单随机样本，样本方差分别为 S12 与 S 22 计算
解 ： P( X

3
)

3
1 x 1 cos dx 2 2 2
1 k 1 P Y k C ( ) 1 2 2 k 0,1,2,3,4
k 4
4 k
1 k C4 , 16
Y
0
1
2
3
4
1 1 3 1 1 Pk 16 4 8 4 16 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 E Y 0 1 2 3 4 16 4 8 4 16 5
十、将
n
只球（ 1 ~ n 号）随机地放进 n 只盒子（
1 ~ n 号）中去，
一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对.记 X
为总的配对数，求 E( X )
十一、解设储备 y 件，可获利Q,该商品每周 的需求量为X,X~U[a, b] ;则Q为 y 的函数
第六章
习题课
一、选择题 答案：1、D；2、B；3、C；4、C；5、A。
二、选择题 答案：1、A；2、B；3、C；4、D；5、A。 三、判断题 1、×；2、 √ ；3、×；4、×；5、√
四、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率 是 0.4 ，在以后的两次飞行中，每一次飞行后 其被检修的概率各增加 0.1 ，求三次飞行后修 理次数的数学期望。
X i 表示第 i 次飞行后须进行检修次数， 解：
2
E (Z1 ) E ( X ) E (Y ) ( ) E (Z 2 ) E ( X ) E (Y ) ( )
D( Z1 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 cov(Z1 , Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
机样本， ( X1, X 2 ,, X n )
2
n
计算:
1 n P( ( X i ) 2 2 2 ) 2 n i 1
解：因为 i 1
2 ( X ) i
2
~ 2 (n) ，所以，
当 n 16 时，有
1 n P( ( X i ) 2 2 2 ) P(8 2 n i 1
( Z1 , Z 2 )
cov(Z1 , Z 2 ) D( Z 1 ) D( Z 1 )
2 2 2 2
九、设二维随机变量( X , Y ) 的概率密度为
1 , x2 y2 1 f ( x) 其它 0,
，验证X与Y是不相关的，但不是相互独立的.
X 1 X 3 X 2 n1 n
. ~ N (0,1)
Y2
X 1 X 3 X 2 n1 X X X
2 2 2 4 2 2n
X 1 X 3 X 2 n1 . X X X
2 2 2 4 2 2n
n 2n
. ~ t (n)
2 2 2 X2 X4 X 2 2 n ~ ( n) 2
2 X 12 X 32 X 2 n ~ F ( n, n ) n 1 Y1 2 2 2 2 2 2 X2 X4 X 2 X X X n 2 4 2n n
2 X 12 X 32 X 2 n 1
E ( 2 X 2 2Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 E ( X 2 ) 2 E (Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 ( D( X ) E 2 ( X )) 2 ( D(Y ) E 2 (Y )) ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2
X 5 ~ N (0,1) 所以 解：（1）因为 2 X P( X 0.1) P( 5 0.25) 2 2(2.5) 1 2 0.5987 1 0.1974
（2）为使 P( X 0.1) 0.95
X P( X 0.1) P( n 0.05 n ) 0.95 (1.65) 2
二、填空题
1 1 答案 1.F (1, n) ；2. (1) ；3. 0.1 ；4. ( 4 , 8) 2 5. (2n 2)
2
三．设总体 , X1, X 2 ,, X n ) 是简 X ~ N ( , 4) ( 单随机样本 X, 为 样 本 均 值 ,(1) 若n 25 , 计 算P( X 0.1) ;(2) 若要求P( X 0.1) 0.95, 至少 n 取多大？
i 1,2,3 则
1 须检修 ，其分布列为： Xi 0 不须检修
X1 0 1 p 0.6 0.4
X2 p
0 1 0.5 0.5
X3 p
0 1 0.4 0.6
所以 E ( X1 X 2 X 3 ) 0.4 0.5 0.6 1.5
五、设随机变量 X 的概率密度为 x , 1 0 x cos f x 2 2 , 其它 0 对X独立地重复观察4次， Y表示观察值大于 2 的次数，求 E (Y ) 。 3
1 1 1 当 1 x 1 时， F ( x) dx arcsin x , 2 1 1 x 2
x
1 2 0
F ( x) 1 。 当 x 1 时，
0, x 1 1 1 所以 F ( x) arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1
第二章
习题课
单选：1、C；2、C；3、D；4、A；5、B 填空：1、
2
4 0 . 2 ； 2、 5
； 3、 1 3e 2 ；
16
4、 1 ； 1 ； 1 ；5、 1

2
判断：1、×；2、×；3、 √ ；4、×；5、√
四、设随机变量 X 的概率密度函数为：
A f ( x) 1 x 2 0 x 1
( X 1 , X 2 ,, X 10 为样本， ) 八、设总体 X ~ N (, 2 ) ， （1）写出的( X 1 , X 2 ,, X 10 )联合概率密度； （2）写出的 X 概率密度。 解： 10 10
f ( x1 , x 2 , , x10 ) f ( xi ) [ f ( x1 )]
五、设连续型随机变量X的分布函数为 0, ， x a
x F ( x) A B arcsin , a x a (a 0) a x a. 1,
求：(1)A和B； (2)概率密度 f ( x ). 解：由连续型随机变量的分布函数 F ( x)的连续性得 a lim F ( x) ( A B arcsin ) A B lim F ( x) 0 x a a 2 x a a lim F ( x) A B arcsin A B 1 xa a 2
七、设随机变量 X 与 Y 独立，且均服从正态 1 分布 N (0, ) ，求 E( X Y ) 、 E (min( X , Y )) 及
2 E (max( X , Y ))
解：因为 X Y ~ N (0,1) ，所以
E( X Y )

又
1 max X , Y ( X Y X Y ) 2 1 min X , Y ( X Y X Y ) 2
Y1 X X X
2 2 2 4 2 2n
2 S 2 P(S12 2S 2 0) P( 12 2) 1 0.990 0.01 S2
;
2 2 2 X2 X4 X2 n
2 X 12 X 32 X 2 2 n 1 ~ ( n) 2
x 1 1 （2）求P( X ) 2
试求：（1）系数 A ；
（3）X的分布函数 F ( x)
解：（1）
1
1
A dx 2 A 1所以 2 2 1 x
1 A
1 1 1 2 P ( X ) 2 dx 2 2 3 1 x F ( x) 0 ， （3）当 x 1 时，
2(0.05 n ) 1 0.95
0.05 n 1.96
(0.05 n ) 0.975 (1.96)
n 1536.64 所以 n至少取 1537。
( X1 , X 2 ,, X 6 )是简单随机样本, 四．设 X ~ N (0,1) ，
Y ( X1 X 2 X 3 )2 ( X 4 X 5 X 6 )2 试决定常数 c ,