1.3 事件间的关系及运算
高中数学第7章概率1随机现象与随机事件1.3随机事件1.4随机事件的运算学案含解析北师大版第一册
1.3 随机事件1.4随机事件的运算学习目标核心素养1。
理解随机事件与样本点的关系．(重点)2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点）1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．1．三种事件的定义事件随机事件一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件,常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个;反之，当这一子集中的一个样本点出现时,这一事件必然发生必然样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本事件点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件不可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件2。
随机事件的运算事件的运算定义图形表示符号表示交事件一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）并事件一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件）A∪B（或A＋B)3。
互斥事件与对立事件事件的运算定义图形表示符号表示互斥事件一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件A∩B＝∅对立事件若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作错误!A∩B＝∅且A∪B＝Ω思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝｛出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？提示：A＝C∩D.2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？（指充分性与必要性）提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(）A．“都是红球”与“至少一个红球"B．“恰有两个红球”与“至少一个白球"C．“至少一个白球”与“至多一个红球”D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”D[A,B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件．]2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(）A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C［设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品；②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．其中_______是随机事件；_______是不可能事件．（填序号）①③②［因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件．］事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2）三角形的内角和为180°;（3)没有空气和水，人类可以生存下去;（4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5）从分别标有1,2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．［解］（1)购买一注彩票，可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件．（2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．（3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水,人类无法生存，所以是不可能事件．（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5）任意抽取，可能得到1，2，3,4号标签中的任一张,所以是随机事件．(6）由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．［跟进训练］1．下列事件不是随机事件的是(）A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B［B是必然事件,其余都是随机事件．］事件关系的判断【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）“恰有1名男生"与“恰有2名男生”；（2)“至少有1名男生”与“全是男生”；（3)“至少有1名男生"与“全是女生”;(4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生"．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女．(1)“恰有一名男生"指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3）“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生"与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析．［跟进训练］2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；（2)“至少有1件次品"和“全是次品”；(3)“至少有1件正品"和“至少有1件次品"．［解］依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：（1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．事件的运算［探究问题]1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？［提示］由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件,对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B。
概率统计1.1-1.3(48学时)(浙大盛骤)
第七章
第八章
参数估计
假设检验
第一章 概率论的基本概念
概率论序言 第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型(古典概型) 第五节 条件概率 第六节 独立性
序言
1.确定性现象 2.统计规律性 3.随机现象
在自然界和人的实践活动中经常遇到各种 各样的现象，这些现象大体可分为两类：一 类是确定的，例如“在一个标准大气压下， 纯水加热到100摄氏度时必然沸腾。”“向上 抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥， 异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下 有确定结果的现象称为必然现象（确定性现 象）；
2. 和事件 : 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的
事件叫做事件 A 与事件 B 的和 .记作 A B .
A
B
类似地 , 称事件 A1、A2、 、An 中至少有一个发
、An 的和事件 . 生的事件为事件 A1、A2、 n 记之为 A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 中至少有一个发生的事 件为 称事件 A1、A2、
例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT} 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1={t|t1000} 表示 “灯泡是次品” 事件 B2={t|t 1000}
表示 “灯泡是合格品”
事件 B3={t|t1500}
表示“灯泡是一级品”
• 例:对于试验E2:将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H、反面T出现的情况. （1）事件A1:“第一次出现的是正面H”,则 A1={HHH,HHT,HTH,HTT} （2）事件A2:“三次出现同一面”,则 A2={HHH,TTT} （3）事件A3:“出现二次正面”,则 A2={HHT,HTH，THH}
概率论与数理统计第一章 刘建亚 吴臻主编
1. 随机试验与样本空间
试验E中的每一个可能结果称为基本事件， 或称为样本点，常记为 所有基本事件组成的集合称为试验E的样 本空间，记为 Ω = {}
例1.1.1 在抛掷一枚硬币试验中，有两个可能 的结果：出现正面，出现反面.。若分别用 “正”、“反”来表示，即有两个基本事件， 这个试验的样本空间为 Ω = {正，反}
A
B
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
(6) 对立事件 在一次试验中，若事件 A 与事
件 B 二者必有一个且仅有一个发生，则称 A 与 B 为对立事件(互逆事件)，A 的对立事件记为 A
A B
A
B
(3) 事件的交 由事件 A 与事件 B 同时发生
而构成的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件 （积事件），记为 A B或AB
A1 , A2 ,, An 的积事件
B
Ａ∩Ｂ
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A
A1 , A2 ,, An , 的积事件
Ai A
f n ( A1 A2 An ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( An )
频率的稳定性
大量经验表明，当试验的次数相当大时， 频率总是稳定于某一常数附近，即它以 某一常数为中心作微小的摆动，而发生 较大偏离的可能性不大。这一性质称为 频率的稳定性
A B A B 且 B A
A
《概率论与数理统计》课程教案
最基本的数学模型：首个非常重要的概念，是研究概率的重要的基础性工具。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，在观察、分析、研究各种现象时，通常我们将它们分为两类：
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，称这一类现象为确定性现象或必然现象。
具备以上三个特点（简而言之：过程的可重复性、可能结果的确定性、实际结果的不确定性）的试验，称为随机试验
随机试验的作用：通过随机试验来研究随机现象
第三部分：样本空间，随机事件，随机事件的关系与事件运算（40分钟）
（一）样本空间
由随机试验的3个特点可知，每次试验的所有可能结果是已知的。
样本空间：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S (space)。
随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}
基本事件的总数：等于集合S的基数
注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系
2)必然事件(Certain Event)：样本空间S作为一个子集，S S，它作为事件时总会发生
3)不可能事件(Impossible Event)：用空集Φ表示，不包含任何样本点，也有Φ S，每次试验都不发生
样本点：样本空间中的元素，即E的每个结果。
例：设前述试验E1～E7的样本空间S1～S7如下：(保留)
S1:{H，T}
S2:{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
S3:{0，1，2，3}
S4:{1，2，3，4，5，6}
S5:{0，1，2，3，…}
S6:{t|t≥0}
S7:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}
概率论与数理统计-事件间的关系及运算
或 A1A2 An.
i1
互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A 与 B的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1, A2,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , An 的并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与B 中有且仅有一事件发生,即
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
n
记作： A1 A2 An (简记为： Ai )
A 事件A的对立事件
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
A BC
② A, B, C 都发生；
概率第一章
第1章 随机事件1．1 随机事件1.1.1 随机现象与随机试验概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学分科．什么是随机现象呢？下面让我们先做两个简单的试验：试验一：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球；试验二：一个盒子中有10个相同的球，其中5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球．分析上述两个试验结果给出下述两个基本概念：确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象．试验一所代表的类型即是确定性现象．试验二所代表的类型，有多于一种可能的试验结果，而且在一次试验之前不能确定会出现哪一个结果，这一类试验称为随机试验．在客观世界中随机现象也是极为普遍的，例如：某地区的年降雨量；检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是不合格；打靶射击时，弹着点离靶心的距离，等等．在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象．在相同条件下多次重复某一试验或观察时，虽然结果具有不确定性，但会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性．那么如何来研究随机现象的统计规律呢?对随机现象进行的实验与观察统称为试验．具有下列特征的试验称为随机试验：1．可在相同的条件下重复进行；2．试验结果不止一个，但在试验之前能明确试验所有可能的结果；3．试验前不能确定到底会出现哪一个结果．随机试验一般用大写英文字母E 表示．如：1E ：抛一枚硬币，观察出现正面还是反面（分别用“H ” 和“T ” 表示出现正面和反面）；2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数；4E ：记录某网站一分钟内被点击的次数；5E ：对一目标进行射击，直到命中为止，观察其结果；6E ：在一批灯泡中任取一只，测其寿命．1.1.2 样本空间与随机事件对于随机试验，虽然在我们试验之前不能预知试验的结果，但可以确定试验的所有可能的结果．定义1.1.1 样本空间：随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，通常用字母Ω表示．定义1.1.2 样本点：随机试验每一个可能的结果称为样本点，通常用字母ω表示样本点，即为Ω中的元素．例1.1.1 一盒子中有黑球、白球，从中任取一球，观察其颜色，记1ω={取得白球}，2ω={取得黑球}，则12{,}ωωΩ=．例 1.1.2 一个盒子中有十个完全相同球，分别标以号码1210，，，，从中任取一球，令 i ={取得球的号码为i }，则{1,210}Ω=．例1.1.3 写出16~E E 的样本空间．解 16~E E 的样本空间分别为：(1) 1{,}H T Ω=；(2) 2{,,,}HH HT TH TT Ω=；(3) 3{1,2,3,4,5,6}Ω=；(4) 4{0,1,2}Ω=；(5) 5{(,)|0,0}x y x y Ω=>>；(6) 6{|0}t t Ω=≥．在实际中，我们通常并不关心所有的样本点，而是只关注一些满足一定条件的样本点，如在随机试验6E 中，若规定这种灯泡的寿命超过1000小时为一级品，那么我们只关心{|1000}t t >中的样本点，所以我们有如下定义：定义1.1.3 随机事件：样本空间Ω的子集，称为随机事件，用大写字母,,,,A B C D 表示，即随机事件为满足一定条件的样本点组成的集合．特别的，仅由一个样本点的事件称为基本事件，它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件；全体样本点组成的事件称为必然事件，记为Ω，每次试验必然事件必定发生；不包含任何样本点的事件称为不可能事件，记为∅，每次试验不可能事件必定不发生．在每次试验中，当且仅当事件A 中的一个样本点出现时，称事件A 发生．例如在3E 中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件．由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1,3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5A =；“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=．而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集∅表示．一个样本空间Ω中，可以有很多的随机事件．概率论的任务之一，是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律．下面我们来介绍事件之间的关系和事件之间的运算规律．1.1.3 事件的关系及运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的．下面给出这些关系和运算在概率中的提法，并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义．设随机试验E 的样本空间为Ω，,,(1,2,)k A B A k =是Ω的子集．1． 事件的关系(1) 事件的包含与相等：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于事件 B ，记为A B ⊃或者B A ⊂．:{}A B A,B ⊂∈∈ωω则．见文氏（Venn ）图1．1．若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等．(2) 事件的和：事件A 与事件B 至少有一个发生的事件称为事件A 与事件B 的和事件， 记为A B ．事件A B 发生意味着：或事件A 发生，或事件B 发生，或事件A 与事件B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω或．见文氏（Venn ）图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 至少有一个发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 至少有一个发生．(3) 事件的积：事件A 与事件B 都发生的事件称为事件A 与事件B 的积事件，记为A B ，也简记为AB ．事件A B （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω且．见文氏图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 同时发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 同时发生．(4) 事件的差：事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -，}A B {A,B -=ω∈ω∉且．见文氏图1．1．注：A B A AB -=-．(5) 互不相容事件(互斥)： 若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB =∅，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称它们是互不相容的．见文氏图1．1．若事件12,,,n A A A 中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的． (6) 对立事件：“A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件，记为A ．A 和A 满足：A A =Ω，AA =∅．见文氏图1．1：注：① __A A =Ω-；②在一次随机试验中A 和A 有一个发生而且只有一个发生．图1．1事件的关系图 由上述可见概率论中事件间的关系与集合论中集合之间的关系是一致的，于是事件之间的运算规律与集合之间的运算规律也是一致的．２．事件的运算规律设C B A ,,为事件，则事件之间的运算满足：(1) 交换律：A B B A =，BA AB =．(2) 结合律：()()A B C A B C =，)()(BC A C AB =．(3) 分配律：()()()A B C AC BC =，()()()AB C A C B C =． (4) 对偶律：A B AB =；___AB A B =．例1.1.4 甲，乙，丙三人各射一次靶，记事件A ＝｛甲中靶｝，事件B ＝｛乙中靶｝，事件C ＝｛丙中靶｝，用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”；(2)“甲中靶而乙未中靶”；(3)“三人中只有丙未中靶”；(4)“三人中恰好有一人中靶”；(5)“ 三人中至少有一人中靶”；(6)“三人中至少有一人未中靶”；(7)“三人中恰有两人中靶”；(8)“三人中至少两人中靶”；(9)“三人均未中靶”；(10)“三人中至多一人中靶”；(11)“三人中至多两人中靶”．解（1）“甲未中靶”=A；=；(2)“甲中靶而乙未中靶”AB=；(3)“三人中只有丙未中靶”ABC=；(4)“三人中恰好有一人中靶”ABC ABC ABC=；(5)“三人中至少有一人中靶”A B C==ABC；(6)“三人中至少有一人未中靶”A B C=；(7)“三人中恰有两人中靶”ABC ABC ABC=；(8)“三人中至少两人中靶”AB AC BC=；(9)“三人均未中靶”ABC=；(10)“三人中至多一人中靶”ABC ABC ABC ABC==A B C．(11)“三人中至多两人中靶”ABC注：用其它事件的运算来表示一个事件，方法往往不唯一，如上例1.1.4中的(6)和(11)所表示的事件实际上是同一事件．1．2 随机事件的概率在一次随机试验中，除必然事件一定发生，不可能事件不发生外，一般的随机事件可能发生，也可能不发生，于是需要知道它发生的可能性到底有多大．概率是用来描述随机事件发生的可能性的大小的一种数量指标，它是逐步形成和完善起来的．下面我们就先引入频率的概念，然后研究频率的性质，进而引出概率的定义．1.2.1事件的频率定义 1.2.1 对于一个随机事件A 来说，在n 次重复试验中，记A n 为随机事件A 出现的次数，又A n 称为事件A 的频数，称()n f A = A n n为事件的频率． 由上述定义，对于事件的频率，我们很容易得到如下性质：（1）0()1n f A ≤≤；（2）()1n f Ω=；（3）对于k 个两两互斥的事件12,,,k A A A ，有11()k kn i n i i i f A f A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑．根据上述定义可知频率反应了一个随机事件发生的频繁程度，人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可能出现也可能不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一枚均匀的硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，在大量试验中出现正面和反面的频率，都应接近于50％，为了验证这点，历史上曾有不少数学家做过这个试验，其结果如下：又如，在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母．而且各个字母被使用的频率相当稳定．例如，下面就是英文字母使用频率的一份统计表．对一随机事件来说，如果它发生的频率越大，自然这个事件在一次试验中发生的可能性就越大，所以频率在一定程度上反映了事件发生可能性的大小．如上述两个试验，尽管每做n 次试验，所得到的频率()n f A 各不相同，但随着试验次数n 的增加，事件A 的频率()n f A 与会逐渐稳定在一个常数附近，而实际上这一常数即为事件A 的概率．下面给出概率的一个严密的定义．20世纪30年代中期，柯尔莫哥洛夫给出了概率的严密的公理化定义．定义1.2.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个随机事件A ，定义一个实数()P A 与之对应．若实值集合函数()P ⋅满足下列条件：（1）非负性：对于每个随机事件A ，都有()0;P A ≥（2）规范性：()1P Ω=；（3）可列可加性：若事件12,,,A A 两两互斥，则有 11()i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑， (1.2.1)则称()P ⋅为概率，()P A 为事件A 的概率．由概率的定义，可得到概率的以下性质：性质1 ()0P ∅=．性质2 (有限可加性) 设12,,,n A A A 是两两互斥的事件，则 121()()nn k k P A A A P A ==∑ (1.2.2)性质3 对任意事件A ，有()1()P A P A =-．性质4 对任意事件,A B ，若,A B ⊂则()()()P B A P B P A -=-． (1.2.3)性质5 若,B A ⊂则有()()P B P A ≥．性质6 对于任一事件A ，有0()1P A ≤≤．性质7(减法公式) 对任意事件,A B ，有()()()P B A P B P AB -=-． (1.2.4) 证 因为B A B AB -=-，且AB B ⊂，由(1．2．3)，()()()()P B A P B AB P B P AB -=-=-．性质8 (加法公式) 对任意事件,A B ，有()()()() P P AB A P B P AB =+-．(1．2．5) 证 由于 ()A B A B AB =-，且(),A B AB -=∅于是有()()()()()()P A B P A P B AB P A P B P AB =+-=+-．推广 ,,A B C 是任意三个事件，则有()()()()()()()().P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+一般，对于任意n 个事件12,,,n A A A 有1121111()()()()...(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-+++-∑∑∑．1．3 古典概率模型古典概型是人们最初讨论的一种随机试验，本节即要讨论古典概型中随机事件的概率．下面先看第１节的三个例子：1E ： 抛一枚硬币，观察出现正面还是反面．（分别用“H ” 和“T ” 表示出正面和反面）； 2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数．上述三个例子即为古典概型随机试验，它们有共同的特点：(1)样本空间只包含有限个样本点；(2)每个样本点在每次随机试验中等可能出现．凡是具有上述两个特点的随机试验就称为是古典概型，那么在古典概型中随机事件的概率应该如何计算？定义1.3.1 随机试验E 是古典概型，样本空间Ω共含有n 个样本点，随机事件A 含有r 个样本点，则定义事件A 的概率为： () A r P A n==Ω中本中本样点个数 样点个数． (1.3.1) 古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，按照上述概率的计算公式，计算的要点是给定样本点，并计算它的总数，而后再计算所求事件中含的样本点的数目．下面我们看一些典型的古典概率计算的例子．例1.3.1 将一枚硬币抛掷两次，设事件1A ={恰有一次出现正面}；事件2A ={至少有一次出现正面}，求1()P A 和2()P A ．解 正面记为“H ”，反面记为“T ”，则随机试验的样本空间为{,,,}HH HT TH TT Ω=， 而 {}1,A HT TH =，{},,2A HH HT TH =，于是121()42P A ==，23()4P A =． 例1.3.2 有10个电阻，其电阻值分别为1210ΩΩ⋯Ω，，，，从中取出三个，求取出的三个电阻，一个小于5Ω，一个等于5Ω，另一个大于5Ω的概率．解 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体，这是古典概型，样本空间的样本点数为103⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求事件含样本点数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114．故所求概率为 41511111063P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭． 例1.3.3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率．解 设事件A={每组有一名运动员}，B={3名运动员集中在一组}，30名学生平均分成3组共有30201030!10101010!10!10!⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭种分法． （1）保证每组有一名运动员则有27!3!9!9!9!分法，所以50()30!20310!10!10!P A =27!3!9!9!9!=； （2）让3名运动员集中在一个组，则有272010371010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分法，所以27201037101018()30!20310!10!10!P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==． 例1.3.4（摸球模型）(1) （无放回地摸球）设袋中有M 个白球和N 个黑球，现从袋中无放回地依次摸出m n +个球，求所取球恰好含m 个白球，n 个黑球的概率．解 样本空间所含样本点总数为,M N m n +⎛⎫⎪+⎝⎭所求事件含的样本点数为,M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以所求概率为 M N m n P M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (2) 有放回地摸球设袋中有4只红球和6只黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率．解 样本空间点总数为310101010⨯⨯=，所求事件所含样本点数为664⨯⨯，故 366410P ⨯⨯= 0.144=． 例1.3.5（盒子模型）设有n 个球，每个都能以相同的概率被放到N 个盒子()N n ≥的每一个盒子中，试求：(1)某指定的n 个盒子中各有一个球的概率；(2)恰好有n 个盒子中各有一个球的概率．解 设事件A={某指定的n 个盒子中各有一个球}，B={任意n 个盒子中各有一个球}． 由于每个球可落入N 个盒子中的任一个，所以n 个球在N 个盒子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列，故共有nN 种可能分布．对于事件A ，相当于n 个球在那指定的n 个盒子中全排列，总数为!n ，所以 !()n n P A N=． 对于事件B ，n 个盒子可以任意，即可以从N 个盒子中任意选出n 个来，这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种，对于每种选定的n 个盒子，再全排列，所以事件B 放法共有!N n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以!()n N n n P B N⎛⎫ ⎪⎝⎭=． 上述例子是古典概型中一个比较典型的问题，不少问题都可以归结为它．例如概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n个人看作上面问题中的n 个球，而把一年的365天作为盒子，则365N =，这时按照上述事件B 概率的求法就给出所求的概率．例如当40n =时，0109P =．，即40人中至少有两个人生日相同的概率为0891．，这个概率已经相当大了．例1.3.6 袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，把球均匀混合，然后随机取出来，一次取一个，求第k 次取出的球是黑球的概率()1k a b ≤≤+． 解 设事件A ={第k 次取出的球是黑球}．法1 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号)，若把取出的球依次放在排列成一行的a b +个位置上，则可能的排列法相当于把a b +个元素进行全排列，总数为()!a b +，把它们作为样本点全体．A 事件所含样本点数为(1)!a a b ⨯+-，这是因为第k 次取得黑球有a 种取法，而另外1a b +-次取球相当于1a b +-只球进行全排列，有(1)!a b +-种取法，故所求概率为(1)!()()!a a b a P A a b a b⨯+-==++， 结果与k 无关．实际上本例就是一抽签模型，例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等，与抽签的先后次序无关．法2 把a 只黑球看作是没有区别的，把b 只白球也看作是没有区别的．仍把取出的球依次放在排列成一行的a b +位置上，因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b b a 种放法，以这种放法作为样本点．对于事件A ，由于第k 次取得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在1a b +-个位置上任取1a -个位置，因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11． 两种不同的解法答案相同，两种解法的区别在于，选取的样本空间不同．在[法一]中把球看作是“有区别的”，而在[法二]中则对同色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列，第二种解法则不注意顺序而用组合，但最后还是得出了相同的答案．由本例，我们必须注意，在计算样本点总数及所求事件含的样本点数时，必须对同一个确定的样本空间考虑，因此其中一个考虑顺序，另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确．1．4 条件概率在许多实际问题中，除了考虑()P B 外，有时还需要考虑在一定条件下事件B 发生的概率，比如，已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，我们称这种概率为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记为(|)P B A ．1.4.1 条件概率的定义引例 盒中有4个外形相同的球，分别标有1,2,3,4，现在从盒中有放回的取两次球，每次取一球．则该试验的所有可能的结果为(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)其中(,)i j 表示第一次取i 号球，第二次取j 号球，设A ={ 第一次取出球的标号为2}，B ={ 取出的两球标号之和为4}， 则事件{(13),(2,2),(3,1)}B =，，因此事件B 的概率为 ()316P B =． 下面我们考虑在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率(|)P B A ．由于已知事件A 已经发生，{(21),(2,2),(2,3),(2,4)}A =，，这时，事件B 在事件A 已经发生的条件下发生，那么只可能出现样本点(2,2)，因此A 发生的条件下B 发生的概率为14，即 1(|)4P B A =． 由引例可以看出，事件B 在“条件A 已发生”这附加条件下的概率与不附加这个条件的概率是不同的．那么如何计算条件概率(|)P B A 呢？定义1.4.1 设A 、B 是两个随机事件，()0P A >，称()(|)()P AB P B A P A = (1.4.1) 为在事件A 已发生的条件下事件B 发生的条件概率． 在上述引例中，41(),()1616P A P AB ==，显然有()(|)()P AB P B A P A ==14． 例1.4.1 10个产品中有7个正品，3个次品，按照不放回抽样，每次一个，抽取两次，求(1) 两次都抽到次品的概率；(2 ) 第二次才取到次品的概率；(3）已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率．解 设A ，B 分别表示第一次和第二次抽到的是次品．(1) ()P AB ＝32110915⨯⨯＝； (2) 737()10930P AB ⨯==⨯；(3) 12()215(|)39()1510P AB P B A P A ====．例 1.4.２ 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4， 如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?解 设事件A ={能活20岁以上}，事件B ={能活25岁以上}，即要求条件概率P(B A)，由题()0.8P A =，()0.4P B =，()()P AB P B =，于是()(|)()P AB P B A P A =0.410.82==． 1.4.2 条件概率)|(A P ⋅的性质容易验证条件概率|P A ⋅（）也有非负性、规范性和可列可加性三条性质： (1) 非负性：对任意的B ，(|)P B A ≥0； (2) 规范性： (|)1P A Ω=；(3) 可列可加性：对任意的一列两两互斥的事件,(1,2,)i B i ⋯＝，有 11(|)(|)i i i i P B A P B A ∞∞===∑．因此，条件概率仍然是概率，所以条件概率也具有有限可加性、减法公式、加法公式等无条件概率所具有的一些性质．如对任意的12,B B ，有：(1) 121212(|)(|)(|)(|)P B B A P B A P B A P B B A =+-；（2）12112(|)(|)(|)P B B A P B A P B B A -=-； （3）若()(|)1()P B A B P B A P A ⊂==，则． 例1.4.３ 一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解 设事件A ={任意按最后一位数字，不超过2次就按对}，事件i A ={第i 次按对密码}(1,2i =)，则__112()A A A A =，(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得__1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯；(2）事件B =｛最后一位按偶数｝，则____112112(|)(()|)(|)(|)P A B P A A A B P A B P A A B ==+14125545⨯=+=⨯． 1.4.3 乘法公式由条件概率定义的（1.4.1）可得，当()0P A >时，有()(|)P AB P A P B A =（）， （1.4.2） 及()0P B >时，()(|)P AB P B P A B =（）． （1.4.3） 推广 12,,,n A A A 为n 个事件，且12n-1()0P A A A >，则有 12n 121321n 121()()(|)(|)(|)n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=． （1.4.4）特别的，当3n ＝时，有()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =（）．乘法公式一般用于计算多个事件同时发生的概率．例1.4.4设袋中装有r 只红球，t 只白球．每次取一只观察其颜色并放回，并同时再放入a 只同色球，连续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率．解 以i A 表示事件“第i 次取到红球”1,2,3,4i =，则43,A A 分别表示第三次、第四次取到白球，即要求事件1234A A A A 的概率，由乘法公式(1.4.4)得12341213124123()()(|)(|)(|)P A A A A P A P A A P A A A P A A A A =r r a t t ar t r t a r t a a r t a a a ++=⋅⋅⋅++++++++++ ()()()()(2)(3)rt r a t a r t r t a r t a r t a ++=+++++++．1.4.4全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个比较重要的公式，它们将一个比较复杂事件的概率转化为不同条件下发生的比较简单的条件概率来计算．下面首先介绍一下样本空间划分的概念．定义 1.4.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，12,,,n B B B 是E 的一列随机事件，若 (1),,,1,2,,i j B B i j i j n =∅≠=；(2)12n B B B =Ω，则称12,,,n B B B 为样本空间Ω的一个有限划分．定理 1.4.1 （全概率公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个有限划分，且()0,1,2,i P B i n >=，则对任一事件A ，有()1()(|)iii P A P B P A B ∞==∑． （1.4.5）证1()()[()]ni i P A P A P A B ==Ω=1(())ni i P AB ==，对任意i j i j,B B ≠=∅，得()i AB ()()=Φi j AB AB ，由概率的有限可加性得11(())()nn i i i i P AB P AB ===∑=1()(|)ni i i P B P A B =∑．例1.4.5 有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，取到次品的概率是多少?解 设事件A 为“任取一件为次品”，事件123,,B B B 分别为产品由甲、乙、丙厂生产，显然123,B B B =Ω且,,1,2,3i j B B i j =∅=，即123B ,B ,B 构成样本空间的划分．所以由（1.4.5）112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++，123()0.02()0.01()0.01P A B P A B P A B ===，，，故112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0020300105001020013.......=⨯+⨯+⨯=．定理 1.4.2 （贝叶斯公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个划分，()i P B 0>，1,2,3,,i n =，对任意事件A ，有1()(|)(|),1,2,...()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑． (1.4.6)证 i i P(B A )P(B A )P(A )=1i i njj j P(A B )P(B ),P(A B)P(B )==∑ 1,2,,i n =．例1.4.6 （续例1．4．5） 有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，发现是次品，那么它分别由甲、乙、丙厂生产的概率是多少?解 123(),(),()P B A P B A P B A 即为所要求的条件概率，由贝叶斯公式(1.4.6)，11131()(|)0.020.3(|)0.460.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；22231()(|)0.010.5(|)0.380.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；33331()(|)0.010.2(|)0.150.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑．例1.4.7袋中有4个红球，6个白球，作不放回的摸球两次，求（1）第二次摸到红球的概率；（2）已知第二次摸到红球，求第一次摸到的也是红球的概率．解 设A ={第一次摸到红球}，A ={第一次摸到白球}，B ={第二次摸到红球}．显然11114634(),(),(|),(|)101099P A P A P B A P B A ====； （1）由全概率公式(1．4．５)111143642()()(|)()(|)1091095P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=； （2）由贝叶斯公式(1.4.5)1111111()(|)1(|)()(|)()(|)3P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．例1．4．8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解 设A ={抽查的人患有癌症}，B ={试验结果是阳性}，则__A ={抽查的人没有患癌症}．()0.005, ()0.995 ,(|)0.95, (|)0.04P A P A P B A P B A ====．由贝叶斯公式(1．4．5)，得()(|)(|)0.1066 ()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．这表明某人的试验结果为阳性，但此人确患癌症的概率却非常小，只有0.1066，即平均来说，1000个检查结果呈阳性的人中大约只有107人确患癌症．那是否说明该试验对于诊断一个人是否患有癌症没有意义？我们来分析一下．如果不做试验，随机抽取一人，那么他是癌症患者的概率为()0.005P A =，若进行试验，试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为P (|)0.1066A B =．概率从0.005增加到0.1066，约增加了21倍，说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义．至于试验结果呈阳性患癌症的概率还如此低，是由癌症的患病率非常低0.005导致的．1．5 事件的独立性条件概率(|)P B A 通常来说与()P B 不相等，这反映了事件A 的发生与否对事件B 有影响；若(|)P B A 与()P B 相等，则反映了事件A 的发生与否对事件B 无影响．如：抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}．1()(|)2P B P B A ==． 所以两个事件A 、B 其中一个发生与否，不影响另一件事件发生的可能性大小，此时 (|)()P B A P B =，即：()(|)()()P AB P B A P B P A ==， 于是得到()()()P AB P A P B =，我们称A 与B 相互独立．定义 1.5.1 对事件A 和B ，如果()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．定理1．5．1 设A ，B 是两个事件， 且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则)()|(A P B A P =． 定理1.5.2 设事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 各对事件也相互独立． 证 因为____()A A A BB ABA B =Ω==，显然__,AB A B 互斥，故______()()()()()()()P A P ABAB P AB P AB P A P B P AB ==+=+，于是____()()()()()(1())()()P A B P A P A P B P A P B P A P B =-=-=，所以A 与B 相互独立．由A ，B 相互独立可以推出A 与B 相互独立，于是，A 与B 相互独立可推出A 与B 相互独立，再由B =B ，又可推出A 与B 相互独立．定理1.5.3 若事件A ，B 相互独立，且0()1P A <<，则__(|)(|)()P B A P B A P B ==．证()()()(|)()()()P AB P A P B P B A P B P A P A ===，__________()()()(|)()()()P A B P A P B P B A P B P A P A ===． 定义1.5.2 （三个事件相互独立） 设C B A ,,为三个事件，若等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====同时满足，则称事件C B A ,,相互独立．类似的可以定义n 个事件相互独立．定义1.5.3 设12,,,n A A A 是n 个事件，若对其中任意k 个事件12,,,k i i i A A A(2)k n ≤≤有1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =，则称这n 个事件是相互独立的．定义 1.5.4 设有n 个事件12,,,n A A A （3≥n ），若对其中任意两个事件i A 与)1(n j i A j ≤<≤有)()()(j i j i A P A P A A P =则称这n 个事件是两两相互独立的．显然，若n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则n 个事件一定是两两相互独立，但反之不一定成立．在实际应用中，独立性的判断一般不会采用定义判断，而是根据问题的实际意义去判断，如抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}，第一次出现哪一面并不影响第二次出现正面的概率，所以事件,A B 相互独立．例1.5.1甲、乙两射手独立地向同一目标射击一次，其中命中率分别为0.9和0.8， (1) 求目标被击中的概率；(2) 现已知目标被击中，求它是由甲击中的概率． 解 设A ={甲命中}，B ＝{乙命中}，C ={目标被击中}，(1) () () ()()()()0.90.80.90.80.98P C P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=； (2) ()()(|)()[()()()()]P AC P A P A C P C P A P B P A P B ==+-0.90.920.98==． 例1.5.２ 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上？解 设需要n 门高射炮，A ＝｛飞机被击中｝，A i ＝｛第i 门高射炮击中飞机｝，12)i n =⋯（，，，，则12()()n P A P A A A =⋯=_____________________121()n P A A A -______121()n P A A A =-，由相互独立的性质____________1212()()()()n n P A A A P A P A P A =，于是______12()1()()()1(10.2)n n P A P A P A P A =-=--，令1(10.2)0.95n--≥，得08005n≤．．，即得14n ≥．即至少需要14门高射炮才能有95%以上的把握击中飞机．例 1.5.３ 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性．设一个系统由四个元件按图示方式（图１．２）组成，各个元件相互独立，且每个元件的可靠性都等于)10(<<p p ，求这个系统的可靠性．。
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
高一理科全部知识点
高一理科全部知识点1. 数学知识点1.1 代数与函数- 多项式及其运算- 四则运算- 代数表达式的化简- 方程与不等式的解法- 函数及其性质1.2 几何与图形- 点、线、面、体的基本概念- 直线与曲线的性质- 变换与对称- 三角形与四边形的性质- 圆与圆的性质1.3 概率与统计- 随机事件及其概率- 统计图表的分析与解读 - 事件间的关系与运算2. 物理知识点2.1 运动与力学- 位移、速度与加速度- 牛顿运动定律- 力的合成与分解- 平抛运动与自由落体- 动能与功的计算2.2 热学- 温度与热量的测量- 热传导、热辐射、热对流 - 热膨胀与热收缩- 气体的状态方程- 热机与热效率2.3 光学- 光的反射、折射与干涉- 光的色散与光的波动性质 - 凸透镜与凹透镜的成像规律 - 光的衍射与偏振- 光的相干与干涉3. 化学知识点3.1 物质的组成与性质- 原子结构及元素周期表- 元素与化合物- 化学键的类型与性质- 酸碱与盐的性质与反应- 物质的变化与守恒定律3.2 化学反应- 化学平衡与化学反应速率- 化学方程与化学计量- 化学反应的能量变化- 氧化还原反应与电解反应- 四种反应的应用3.3 物质与能量的转化- 燃烧与能量利用- 化石燃料与可再生能源- 化学反应及其工业应用- 酸碱中和反应与溶液的浓度 - 锂离子电池的构造与工作原理4. 生物知识点4.1 生物基本概念- 细胞结构与功能- 生物遗传与变异- 生物分类与进化- 生物圈与生态系统- 人体生理与健康4.2 生物分子与能量转化- 蛋白质、核酸、糖类与脂类的特征与功能 - 光合作用与呼吸作用- 酶的特性与酶促反应- 生物分子与疾病的关系- 营养与消化过程4.3 生物种群与群落- 种群生态学的基本概念与研究方法- 群落的组成与相互关系- 生态系统的稳定性与破坏- 物质循环与能量流动- 生物多样性与保护措施以上是高一理科全部知识点的概述，包括数学、物理、化学和生物四个学科的核心内容。
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2.事件的运算律
（1） 交换律：A B B A （2） 结合律： （3） 分配律：
AB B A
( A B ) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A ( B C ) A B AC A ( B C ) ( A B)( A C )
（4） 德摩根(De morgan)定律：
A B AB ,
推广：
n n
AB A B
i 1
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
n
n
小 结
1. 事件的关系：包含,相等,互不相容,互逆. 2. 事件的运算: 并,交,差. 3. 事件的运算与集合运算的对应.
n
则称这 n 个事件构成互不相容完备事件组.
事件的差（运算）
“事件 A 发生但事件 B 不发生”称为 A 与 B 的差.
记作：A B.
B
A
A B
[常用公式] A B A B A A B.
事件运算与集合运算的对应
A B
事件A 包含于事件B 事件A 等于事件 B 事件A 与事件 B的并 集合A 是集合 B的子集 集合A 与集合 B相等
A B C
② A, B, C 都发生；
AB C
③ A, B, C 都不发生；
ABC
④ 仅 A 发生；
A BC
⑤ A, B, C 仅有一个发生；
ABC ABC ABC
⑥ A, B, C 至多有一个发生；
AB C A BC AB C AB C
⑦ A, B, C 不都发生.
ABC 或 A B C
完备事件组
如果 n 个事件 A1 , A2 ,, An 中至少有一个事件一定发 生,即 Ai ,则称这 n 个事件构成完备事件组.
i 1 n
设 n 个事件 A1 , A2 ,, An 满足下面的关系式：
Ai A j (1 i j n) ,
i 1
Ai ,
Ai ) 记作： A1 A2 An . (简记为：
i 1
n
事件的交（积）（运算）
“二事件 A 与 B 都发生”这一事件叫做事件 A 与 B 的交.
记作：A B 或 AB .
B A
A B
“ n 个事件 A1 , A2 ,, An 中都发生 ” 这一事件叫做事 件 A1 , A2 ,, An 的交.
Ai ) 记作： A1 A2 An (简记为：
或 A 1 A2 An .
i 1
n
互不相容（关系）
如果事件 A 与 B 不可能同时发生,即 AB , 则称二 事件 A 与 B 是互不相容的(或互斥的). 两个互不相容事件 A 与 B 的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1 , A2 ,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
AB
事件A与事件B的积 集合A与集合B的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB 事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
第一章 随机事件及其概率
§1.3 事件的关系及运算
1.事件的关系与运算
包含（关系）
如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生,则称事 件 B 包含事件 A 或称事件 A 包含于事件 B .
记作：B A 或 A B.
B
A
相等（关系）
如果事件 A 包含事件 B 且事件 B 包含事件 A ,即
Ai Aj (1 i j n) ,
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的). A1 , A2 , , An 的并记作 此时，
A1 A2 An 或
Ai .
i 1
n
互逆（关系） 如果事件 A 与 B 互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A 与 B 中有且仅有一事件发生,即 AB 且 A B , 则称事件 A 与 B 是对立的(或互逆的),称事件 A 是事 件 B 的对立事件(或逆事件);同样,事件 B 也是事件 A 的对立事件(或逆事件). 记作：B A 或 A B.
概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
样本空间，必然事件
不可能事件 基本事件
空间
空集 元素 子集
A
随机事件
A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
A B 事件A与事件B的和 集合A与集合B的并集
A B 且 B A;
也就是说,二事件 A 与 B 中任一事件的发生必然导致另 一事件的发生,则称事件 A 与 B 相等.
记作：A B.
事件的并（和）（运算） “事件 A 与 B 中至少有一事件发生 ”这一事件叫做事
件 A 与 B 的并.
记作：A B.
A
A B
B
“ n 个事件 A1 , A2 ,, An 中至少有一事件发生 ” 这一 事件叫做事件 A1 , A2 ,, An 的并.
AB
A B
集合A 与集合 B的并集
集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
A B
事件 A与事件 B的交
AB 事件 A与 B互1]
设有A, B, C 三个事件， 用 A, B, C 的运算表
示以下事件： ① A, B, C 至少有一个发生；