事件间的关系和概率运算

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事件间的关系与运算

事件间的关系与运算
事件间的关系与运算是概率论中的重要概念。

在概率论中，我们通常研究多个事件之间的关系，并进行相应的运算，以计算概率或者证明某些性质。

在事件间的关系方面，我们可以将事件分为互斥事件和不互斥事件。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况，例如抛一枚硬币时，正面和反面只能同时出现一个，因此正面和反面就是互斥事件。

而不互斥事件则是指两个事件可以同时发生的情况，例如抛一枚骰子时，出现奇数和出现大于3的数就是不互斥事件。

在事件间的运算方面，我们可以进行并、交、差、补等运算。

并运算指的是将两个事件的结果合并在一起，例如抛一枚硬币时，正面和反面的并集就是整个样本空间。

交运算指的是两个事件同时发生的情况，例如抛两枚硬币时，两个硬币都正面朝上的交集就是事件“两个硬币都正面朝上”。

差运算指的是从一个事件集合中减去另一个事件集合，例如抛一枚骰子时，出现奇数的集合减去出现3的集合就是出现奇数但不是3的差集。

补运算则是指取反操作，例如抛一枚硬币时，反面出现的事件的补集就是正面出现的事件。

了解事件间的关系与运算可以帮助我们更好地理解概率论中的
概念，并进行相应的计算和分析。

- 1 -。

事件的关系与概率运算

３．互斥事件与概率的加法公式
（４）对立事件：若事件Ａ与事件Ｂ的交事件ＡｎＢ为不可能事件，并事件ＡＵＢ为必然事件，则称事件Ｂ为事件Ａ的对立事件（也称事件Ａ为事件Ｂ的对立事件），记为Ｂ — Ａ，也是我们常说的事件的 “对立面 ”，对立事件的概率公式为Ｐ（Ａ）一１一Ｐ（Ａ）。
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高一数学２０１８年３月ｇｌｇ躁 …… 一
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■ 李琳
Ｐ（）一０。
件ＡＵＢ为 “出现１点或出现３点 ”，由均匀
（３）随机事件：可能发牛也可能不发生的
１
事件，用字母Ａ表示，随机事件的概率为的骰子可得ＰＡ）一ＰＢ一言’所以根据概
Ｐ（Ａ）∈ Ｅｏ，１］。
率的加法公式可得Ｐ（ＡＵＢ）一Ｐ（Ａ）＋
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１．事件的分类与概率（１）必然事件：一定会发生的事件，用０表示，必然事件发生的概率为Ｐ（ｎ）＝＝：１。（２）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为

概率论与统计1-2事件的关系和运算

独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算，而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质，包括非负性、规范性、可加性等，这些性质在概率论和统计中有着广泛的应用。

概率事件的关系与运算知识点总结

概率事件的关系与运算知识点总结一、事件的关系。

1. 包含关系。

- 定义：如果事件A发生必然导致事件B发生，那么称事件B包含事件A，记作A⊆ B。

例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1”，事件B=“掷出的点数为奇数”，那么A发生时B一定发生，所以A⊆ B。

- 特殊情况：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B，即这两个事件是同一个事件。

2. 互斥关系（互不相容关系）- 定义：如果事件A与事件B不能同时发生，即A∩ B=varnothing （varnothing为空集），那么称A与B是互斥事件。

例如，掷一枚硬币，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，A和B不可能同时发生，所以A与B互斥。

3. 对立关系。

- 定义：如果A∩ B=varnothing且A∪ B=varOmega（varOmega为样本空间），那么称A与B是对立事件，B叫做A的对立事件，记作B=¯A。

例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为偶数”，事件B=“掷出的点数为奇数”，A∩ B=varnothing且A∪ B={1,2,3,4,5,6}（整个样本空间），所以A与B是对立事件。

- 关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

4. 独立关系（如果涉及到选修内容）- 定义：设A,B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

例如，连续掷两次硬币，事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次正面朝上”，P(A)=(1)/(2)，P(B)=(1)/(2)，P(AB)=(1)/(4)，满足P(AB) = P(A)P(B)，所以A与B相互独立。

二、事件的运算。

1. 事件的并（和）运算。

- 定义：事件A与事件B的并（和）事件A∪ B是由所有A发生或B发生的基本事件组成的集合。

例如，掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1或2”，事件B=“掷出的点数为3或4”，那么A∪ B=“掷出的点数为1、2、3或4”。

事件间的关系及运算

事件间的关系及运算事件间的关系可以通过运算来描述和计算。

常见的事件运算包括并、交、差和补等。

1. 并运算（Union）：表示将两个或多个事件合并在一起。

记作A∪B，表示事件A和事件B至少发生一个。

并运算的计算规则如下：- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A∪B 的概率等于A和B的概率之和：P(A∪B) = P(A) + P(B)。

- 若A和B是两个有交集的事件（即A∩B≠∅），则A∪B 的概率等于A和B的概率之和减去A和B的交集的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

2. 交运算（Intersection）：表示两个事件同时发生的情况。

记作A∩B，表示事件A和事件B同时发生。

交运算的计算规则如下：- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A∩B的概率为0：P(A∩B) = 0。

- 若A和B是两个有交集的事件（即A∩B≠∅），则A∩B的概率等于A和B的概率之和减去A和B的并集的概率：P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)。

3. 差运算（Difference）：表示事件A发生而事件B不发生的情况。

记作A-B，表示事件A发生而事件B不发生。

差运算的计算规则如下：- A-B等于事件A和事件B的交集的补集：A-B = A∩B'。

- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A-B的概率等于A的概率减去B的概率：P(A-B) = P(A) - P(B)。

4. 补运算（Complement）：表示事件A不发生的情况。

记作A'或A^C，表示事件A不发生。

补运算的计算规则如下：- 若样本空间为S，则事件A的补集为S-A，即事件A不发生的情况。

- 若事件A是必然发生的事件（即A=S），则A的补集为空集：A' = ∅。

- 若事件A是不可能发生的事件（即A=∅），则A的补集为整个样本空间：A' = S。

概率论与数理统计考点

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率事件之间的关系：事件之间的运算：运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型：概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。

贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。

结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。

概率论复习知识点总结

C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差分布 0-1分布二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0

(a b) 2

(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]

xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk

g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω

1随机事件与事件间的关系与运算介绍

1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。

随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。

事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。

事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。

1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。

A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。

2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。

A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。

3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。

A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。

比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。

4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。

如果A和B互斥，则它们的交集为空集。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。

事件间的运算包括概率加法和概率乘法。

1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。

2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。

需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。

此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。

1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。

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举例 2：面积法求概率
1 假设总区域概率为 1，求出总区域面积方法：○ 2 求出目标区域面积 ○ 3 用目标区域面积比上总面积，即可得到目标区域的概率。 ○
例题 1 已知 0 x 1 ， 0 y 1 求 x y 0.5 的概率
1 设 0 x 1 并且 0 y 1 的概率为 1，已知该区域面积为 S 1*1 1 解:○ 2 设 x y 0.5 区域面积为 S ，设 x y 0.5 ○ 1
相互独立
A
B
Байду номын сангаас
例题 1：设 A 与 B 互不相容，且 P ( A) 0 , P ( B ) 0 ，则有(
)
( A) P ( A) 1 P ( B ) (C ) P ( AB ) P ( A) P ( B )
( B ) P ( AB ) 1 ( D ) P ( AUB ) P ( A) P ( B )
P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ， P ( A B ) P ( A)
B．事件的概率计算举例 1：抽取事件
m 1 计算从所有对象 n 中抽取 m 个的抽法， C 方法：○ n m 2 计算从特定对象 k 中抽取 m 个的抽法， C ○ k
3 在所有对象 n 中抽取特定对象 k m 个的概率 P ○
或
或
对立
A
B
P ( A) 1 P ( B ) 1 P ( A)
P( A B) 1 P ( A B ) P ( AB ) 0 P ( A B ) P ( A) P ( B )
互不相容
A
B
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( AB ) 0 P ( AB ) P ( A) * P ( B )
第一章
事件间的关系和概率运算
A．事件间的关系方法：分析事件的关系，做出图示，并根据关系式进行计算
A 、 B 的关系
相容
图示或
A 、 B 概率的关系
A A B
B
A A
P( A B) P( B) P ( A B ) P ( A) P ( A B ) P ( AB ) A P ( A B ) P ( AB ) B
回，所以每次抽白球的概率都是一样的。所以有 P ( A) P ( B ) P (C )
2 3
3 又因为每次抽白球和下次抽到白球两件事情毫不影响，相互独立的。所以有 ○
2 2 2 P ( ABC ) P ( A) * P ( B ) * P (C ) * * = 8 / 27 3 3 3
误。
3 看 (C ) 选项， P ( AB ) 1 P ( AB ) ，因为 A 与 B 互不相容，所以 P ( AB ) 0 ， ○
P ( AB ) =1， (C ) 选项错误
4 最后看 ( D ) 选项， P ( A B ) P ( AB ) ，由上图可知 A B ，所以， ○
1 先看 ( A) 选项，因为 A 与 B 互不相容，所以可得解：○
A
B
所以 P ( A) 等于
A
A
P ( B ) 等于
B
B
A 与 B 的交集非空，
A B
所以 ( A) 选项错误
A B
2 再看 ( B ) 选项，根据上图 P ( A) 与 P ( B ) ，可以推出, A B ， B A 所以 ( B ) 选项错 ○
x y 0.5
0 y 1
S2 S3
面积为 S 2 ， 0.5 x y 面积为 S3 根据题意作图则有: 所以有
1 *0.5*0.5 0.125 2 S 1 S 2 S3 2 P ( A) 1 ○ 1 0.125 0.125 0.75 1 1 S 2 S3
Ckm m Cn
例题 1：从装有 2 红 4 白 6 个小球的箱子中随机抽取一次，试求抽到白球的概率。
1 1 从 6 个小球中抽 1 个小球的抽法为 C ， ○ 6 1 2 从 4 个白球中抽取一个小球的抽法为 C ， ○ 4
3 假设抽到白球的概率为 ○
1 C4 2 P ( A) ，那么 P ( A) = 1 C6 3
例题 2：从装有 2 红 4 白 6 个小球的箱子中随机抽取 3 次，每次都放回，试求连续三次抽到白球的概率。
1 设第一次从抽到白球的概率为 P ( A) ，借鉴上一步结果 P ( A) = ○
1 C4 2 1 C6 3
2 设第二次抽到白球的概率为 P ( B ) ，第二次抽到白球的概率为 P (C ) ，因为每次都放 ○
解：因为 A 与 B 互不相容，参照表中第三行关系式，可以直接选择 ( D ) 例题 2：设 A 与 B 互不相容，且 P ( A) 0 , P ( B ) 0 ，则有( )
( A) A 与 B 不相容 (C ) P ( AB ) 0
( B ) A 与 B 相容
( D ) P ( A B ) P ( A)
0 x 1