事件的关系与运算
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高中数学 3.1.3.1 事件的关系与运算精品课件 新人教A版必修3
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,
记作 BA （ 或 AB) 。
如图：
BA
例.事件C1 ={出现 1 点 }发生，则事件 H ={出现的点数为奇数 }也
一定会发生，所以 H C1 . 注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系: BA （ 或 AB)
〔2〕相等关系: A=B (BA且 AB)
〔3〕并事件〔和事件〕: AB （ 或 AB ）
〔4〕交事件〔积事件〕:
A B （ 或 AB ）
〔5〕互斥事件: A B
〔6〕互为对立事件: A B 且 A B是必然事件
第九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔6〕互为对立事件
若AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件
A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。
如图：
A
B
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
第八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
第四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔3〕并事件〔和事件〕
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 AB （ 或 AB ） 。
如图：
BA B A
例事.若件事C件1JC=1C5{J出={现出 C5 ={出现
第五页，编辑于星期五：十点 三十五分。
D2 ={ 出现的点数大于 3 }；
事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
问题6
记事件B为“点数为奇数”，事件F为“点数为偶数”， 事件H为“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事 件B和事件F有什么关系？
提示 事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，
且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
知识梳理
事件A与事件B互斥
一般地，如果事件A与事件B不能 同时发生，也就是说A∩B是一个不 可能事件，即 A∩B＝∅ ，则称事 件A与事件B 互斥 (或互不相容)，
跟踪训练3
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A， 显然不互斥； 对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C， 显然不互斥.
课堂小结
1. 知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系. (2)并事件和交事件. (3)互斥事件和对立事件.
2. 方法归纳：列举法、Venn图法.
利用Venn图
借助集合间运算的思想，分析同一 条件下的试验所有可能出现的结果， 把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，
B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击
中目标}，下列关系不正确的是
A.A⊆D
B.B∩D＝∅
包含关系或相等关系
(1)B___⊆___H；(2)D__⊆___J；(3)E__⊆____I；(4)A__＝___G.
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点， 出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
事件A(或事件A包含于事件B)；如果事件B包含事件A，事 件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等.
概率论与统计1-2事件的关系和运算
独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。
事件的关系和运算
事件的关系和运算事件的关系常用的有包含关系、互斥关系和独立关系。
事件的运算常用的有并运算、交运算、差运算和补运算。
1. 包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降水"，则A⊆B，因为当今天下雨时，当然也说明今天有降水。
2. 互斥关系：如果事件A和事件B不能同时发生，则称事件A和事件B互斥，记作A∩B=Ø。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为偶数"，则A∩B=Ø，因为掷一次骰子的结果不可能既是奇数又是偶数。
3. 独立关系：如果事件A的发生与发生或不发生事件B无关，则称事件A和事件B独立，记作P(A|B) = P(A)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为1"，事件B为"抽一张牌，结果为红心"，则A和B是独立事件，因为掷骰子的结果不会受到抽牌的影响。
事件的运算包括：1. 并运算：事件A∪B表示事件A和事件B中至少一个事件发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A∪B表示今天下雨或者今天有降雨。
2. 交运算：事件A∩B表示事件A和事件B同时发生的情况。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为3"，则A∩B表示掷一次骰子的结果既是奇数又是3。
3. 差运算：事件A－B表示事件A发生但事件B不发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A－B表示今天下雨但今天没有降雨。
4. 补运算：事件A的补事件表示事件A不发生的情况，记作A'或Ac。
事件的关系与运算PPT
A
B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
事件的关系和运算：
（6）互为对立事件 若 A B 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。 如图： A B
3.1.3 事件的关系与运算
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={ 出现 1 点 }； C2 ={出现 2 点}； C3 ={ 出现 3 点 }； C4 ={ 出现 4 点 }； C5 ={出现 5 点}； C6 ={ 出现 6 点 }； D1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D2 ={ 出现的点数大于 3 }； D3 ={ 出现的点数小于 5 }； E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 }; …… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？
如图：
B A B A
例.若事件 M={出现 1 点且 5 点}发生，则 事件 C1 ={出现 1 点} 与事件 C5 ={出现 5 点} 同时发生，则 M C1 C5 .
事件的关系和运算：
（5）互斥事件 若 A B 为不可能事件（ A B ），那么称事件A与 事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不 会同时发生。 如图：
如图：
BA B
A
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生，则 事件C1 ={出现 1 点 }与事件 C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生，则 J C1 C5 .
事件的关系和运算：
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
事件的运算与关系解读
同时 A B A AB
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
高中数学人教B版必修第二册5.3.2事件之间的关系与运算课件
例 1.设 A，B 为两个事件，试用 A，B 表示下列各事件： （1）A，B 两个事件中至少有一个发生； （2）A 事件发生且 B 事件不发生； （3）A,B 两个事件都不发生
解：（1）按照定义有 A B
（2）因为 B 不发生可以表示为 B ，因此可以写成 AB
（3）按照定义有 AB
【变式练习】 在试验“连续抛掷一枚均匀的色子 2 次，观察每次出现的点数”中，事件 A 表示随机事件“第一次掷出 1 点”；事件 Aj 表示 随机事件“第一次掷出 1 点，第二次掷出 j 点”；事件 B 表示随机事件“2 次掷出的点数之和为 6”；事件 C 表示随机事件“第 二次掷出的点数比第一次的大 3”. (1)试用样本点表示事件 A∩B 与 A∪B； (2)试判断事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否为互斥事件； (3)试用事件 Aj 表示随机事件 A.
答案 C
问题4.事件的互斥与对峙
知识点 5：给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥，记作
AB （或 A B ）
这一关系可用下图表示.
注：（1）任何两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥； （2）当 A 与 B 互斥，即 AB ，有 P(A B) P(A) P(B)
注：（1） A B 也可用充分必要条件表示为：
A 发生是 B 发生的充分条件，B 发生时 A 发生的必要条件.
（2）如果 A B ，根据定义可知，事件 A 发生的可能性不比事件 B 发生的可能性大， 直观上我们可以得到 P(A) P(B)
知识点 2：如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，
“派出医生至少 2 人”的概率为 P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 解法二 “派出医生至少 2 人”的概率为 1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
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知识点——
事件的关系与运算
事件的关系与运算
【事件的包含关系】
定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事
件B包含了A，或称A包含于B，记作 A B 或 B A.
事件的关系与运算
【事件的相等】
设 A, B U ,若A B同时有 B A 称A与
B相等，记为A=B，易知相等的两个事件 A,B总是同时发生或同时不发生，在同一 样本空间中两个事件想等意味着它们含有 相同的样本点.
事件的关系与运算
【对立事件】
若两个事件A与B不能同时发生，但二者 必有一个发生，即A+B=U,且A∩B=Φ，称 A与B互为对立事件或称B为A的逆事件，
记作 A .
事件的关系与运算
【事件的运算法则】
交换律 A∪B=B∪A,AB=BA 结合律 (A∪B) ∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC) 分配律 (A∪B) ∩C=( A∩C) ∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶原则 n
n
U Ai I Ai
i 1
i 1
n
n
I
U Ai
Ai
i 1
i 1
事件的关系与运算
【典型例题】
设A,B,C为U中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件
1） A 与B发生而C不发生
AB C 或 ABC
2） A发生，B与C不发生
A B C或 ABC
3） 恰有一个事件发生
事件的关系与运算
【变式训练】 解：1）设ei ={摸到球的号码为i},(i=1,2,3) 则E的样本空间为u={e1 ,e2 ,e3 }； 2）A={ e1 , e2 },B={ e1 , e3 },C={ e3 } A与B，B与C是相容的，A与C互不相容;
3）A ={e3 } (那么，B,C的对立事件呢？)
ABC U ABC U ABC
4) 恰有两个事件发生
ABC U ABC U ABC
5) 三个事件都发生
ABC
6) 至少有一个事件发生
AU B UC或 3） 4） 5）之并
7) A,B,C都不发生
ABC
8) A,B,C不都发生
ABC
9) A,B,C不多于一个发生 ABC U ABC U ABC U ABC或AB U BC UCA
4）A∪B=U,AB={e1 } , AU B .
10) A,B,C不多于两个发生
ABC
事件的关系与运算
【变式训练】
试验E：袋中有三个球编号为1,2,3，从中任意摸 出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于3}， B＝{球的号码为奇数}，C＝{球的号码为3} 试问： 1）E的样本空间为什么？ 2）A与B，A与C，B与C是否互不相容？ 3）A对立事件是什么？ 4）A与B的和事件，积事件各是什么？
事件的关系与运算
【并(和)事件与积(交)事件】
设A，B U,称事件“A与B中至少有一个
发生”为A和B的和事件或并事件或称为事 件A与事件B的和.
设A，B U,称事件“A与B同时发生”为
A和B的交事件或积事件或称为Fra bibliotek件A与事 件B的交.
事件的关系与运算
【互不相容事件（互斥事件）】
若两个事件A与B不能同时发生， 即A∩B=Φ，称A与B为互不相容 事件（或互斥事件）.
事件的关系与运算
事件的关系与运算
【事件的包含关系】
定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事
件B包含了A，或称A包含于B，记作 A B 或 B A.
事件的关系与运算
【事件的相等】
设 A, B U ,若A B同时有 B A 称A与
B相等，记为A=B，易知相等的两个事件 A,B总是同时发生或同时不发生，在同一 样本空间中两个事件想等意味着它们含有 相同的样本点.
事件的关系与运算
【对立事件】
若两个事件A与B不能同时发生，但二者 必有一个发生，即A+B=U,且A∩B=Φ，称 A与B互为对立事件或称B为A的逆事件，
记作 A .
事件的关系与运算
【事件的运算法则】
交换律 A∪B=B∪A,AB=BA 结合律 (A∪B) ∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC) 分配律 (A∪B) ∩C=( A∩C) ∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶原则 n
n
U Ai I Ai
i 1
i 1
n
n
I
U Ai
Ai
i 1
i 1
事件的关系与运算
【典型例题】
设A,B,C为U中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件
1） A 与B发生而C不发生
AB C 或 ABC
2） A发生，B与C不发生
A B C或 ABC
3） 恰有一个事件发生
事件的关系与运算
【变式训练】 解：1）设ei ={摸到球的号码为i},(i=1,2,3) 则E的样本空间为u={e1 ,e2 ,e3 }； 2）A={ e1 , e2 },B={ e1 , e3 },C={ e3 } A与B，B与C是相容的，A与C互不相容;
3）A ={e3 } (那么，B,C的对立事件呢？)
ABC U ABC U ABC
4) 恰有两个事件发生
ABC U ABC U ABC
5) 三个事件都发生
ABC
6) 至少有一个事件发生
AU B UC或 3） 4） 5）之并
7) A,B,C都不发生
ABC
8) A,B,C不都发生
ABC
9) A,B,C不多于一个发生 ABC U ABC U ABC U ABC或AB U BC UCA
4）A∪B=U,AB={e1 } , AU B .
10) A,B,C不多于两个发生
ABC
事件的关系与运算
【变式训练】
试验E：袋中有三个球编号为1,2,3，从中任意摸 出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于3}， B＝{球的号码为奇数}，C＝{球的号码为3} 试问： 1）E的样本空间为什么？ 2）A与B，A与C，B与C是否互不相容？ 3）A对立事件是什么？ 4）A与B的和事件，积事件各是什么？
事件的关系与运算
【并(和)事件与积(交)事件】
设A，B U,称事件“A与B中至少有一个
发生”为A和B的和事件或并事件或称为事 件A与事件B的和.
设A，B U,称事件“A与B同时发生”为
A和B的交事件或积事件或称为Fra bibliotek件A与事 件B的交.
事件的关系与运算
【互不相容事件（互斥事件）】
若两个事件A与B不能同时发生， 即A∩B=Φ，称A与B为互不相容 事件（或互斥事件）.