1.2 事件间的关系与运算
1、观察天气状况，A表示 “明天晴天”，B表示 “明天 无雨” 2、将一枚硬币抛两次，A表示“第一次是正面”， B表示“至少有一次正面”。 3、公共汽车站某日某时间段内等车人数， A表示“至少有10人候车”，B表示“至少有5人候 车”
A B
事件间的运算
1.事件的和(并)
事件A与事件B中至少有一个发生的事件, 称为事件A与B的和，记作A∪B或A+B
B
S A∩B由A且B中的样本点组成 A∩B表示“A发生且B发生”。
A∩B表示“A,B同时发生”。
eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A∩B表示意义？
事件间的运算
3. 事件的差
事件A发生但事件B不发生， 称该事件为 A 与 B 的差. 记作A- B. B A B A
A B A
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可 能性大小，也就是事件的概率。
问题: 如何求解随机事件的概率呢?是否有 什么规律呢？下面几节就来回答这个问题.
1.2节内容回顾
一、事件间的关系与运算
事件间的关系： 包含、相等、互不相容 事件间的运算： 和、积、差、逆
(8) ABC U ABC U ABC U ABC;
7ABC
(9)(A U B) C;
(10) ABC U ABC U ABC.
练习1：以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报 和体育报。试用A,B,C的运算表示以下事件： (1)只订阅日报； (2)只订日报和晚报； (3)只订一种报； (4)正好订两种报； (5)至少订阅一种报； (6)不订阅任何报； (7)至多订阅一种报； (8)三种报纸都订阅； (9)三种报纸不全订阅。
( 4) A B C ;
( 5) A B C ; (6) ABC ABC ABC ABC;
(7) ABC ABC ABC ABC ABC 或 ABC; ABC ABC ,
(8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰有两个出现.
1. 2事件间的关系与运算
Relation and operation of events 一、事件间的关系与运算※
二、事件间的运算规律
知识点与基本要求：
理解事件间的包含、互不相容、对立关系，事件 之和、事件之积、事件之差运算； 理解事件间的运算规律，特别是对偶律的意义； 掌握事件间关系及运算，会将一些较复杂的事件 用简单事件的运算来表示。
eg 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
“骰子出现1点” 互不
相容
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events) 若A∪B=S，A∩B= 则称事件 A与B互为对立事件，
称事件B为A的对立事件或逆事件,记作 B A A
A.
A 由所有不属于A的样本点组成
教学重点：事件间的关系与运算； 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示。
一、事件间的关系与运算
设试验E的样本空间为S，A,B,..,Ak,为E中的事件
问题1：幼稚园根据小朋友个人爱好开设了钢琴、美术、 演讲、武术课程，事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B 表 示“虫虫喜欢画画”, A∪B,A∩B由哪些样本点组成， 表 问题 2：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一个零 示意义？ 件是正品，A2表示第二个零件是正品，是否可以用A1, A2表示下列事件呢？ (1)均为正品；(2)恰有1个零件是次品； (3)只有第二个零件是次品；(4)至少2个零件是次品。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。
{(i1 , i2 )
E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。
{(i j ) 1 i j 6}
B
B
S
A B A
S
A-B由属于A的样本点但不属于B的样本点组成。
A-B表示“A发生但B不发生”。 eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A-B，B-A表示意义？
事件间的关系
互不相容(互斥)事件(Incompatible events) 若 AB . 则称事件A与B互不相容(互斥) 。 即若事件A与B互不相容(互斥) 。 A B A与B没有相同的样本点 S A,B互不相容表示A,B不能同时发生
二、事件间的运算规律
交换律、结合律、分配律 对偶律※ A U B AB 表示A,B都不发生
AB A U B
表示A,B不都发生或A,B不同时 发生或A,B至少一个不发生
作业：P9：1，4。 练习：P10：2，3。 讨论题：
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人说 “否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是”。 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容事件有何区别？
例2：将一枚硬币抛掷二次，观察正面H,反面T 出现的情况，A=“第一次出现正面”,B=“两次出 现同一面“，求：(1)AB, A U B, AB, AB U AB, AB 包含哪些样本点；(2)上述事件表示的意义。
A
二、事件间的运算规律
设A,B,C为随机事件，则有 (1)交换律 AUB=BUA,A∩B=B∩A (2)结合律 (AUB)UC=AU(BUC) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3)分配律 (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (4)对偶律※ A B A B 表示A，B都不发生。
A B A B 表示A，B不都发生
或A,B不同时发生
例3：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一 个零件是正品，A2表示第二个零件是正品，试 用A1，A2表示下列事件： (1)均为正品；(2)恰有一个零件是次品；(3)只有 第2个零件是次品；(4)至少一个零件是次品。
练习：向指定目标射三枪，观察射中目标的情 况，事件Ai表示某射手第i次击中目标(i=1,2,3) 试用Ai表示以下各事件：(1)只击中第一枪;(2) 只击中一枪;(3)三枪都没击中;(4)至少击中一枪。
1.1节内容回顾
E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。 样本空间：
随机事件： E的某些基本结果组成的集合，记作A,B等，
随机事件是样本空间S的子集。
E的结果中A的某个样本点出现。 事件A发生：
练习题：袋中装有6个球，4白(1,2,3,4)，2红 (5,6)，试写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
(8) ABC ABC ABC ABC; (9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
A U B AB A B AU B A B AU B A
习题2：
以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则A的对立事件表示( ) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B)“甲、乙两种产品均畅销”； (C)“甲种产品滞销”； (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件
(1) A 出现 , B, C 不出现;
(2) A, B都出现, C 不出现;
(1) AB C; ( 2) ABC;
( 3) ABC ;
(3) 三个事件都出现;
(4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现; (6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
事件间的关系
1. 包含关系 若事件A发生, 则B必然发生, 则称事件B包含事件A,记作 A B A B A的样本点都是B的样本点 S
对于任何事件A，都有 2.相等关系
A S
若事件A 包含事件B,且事件B 包含事件A, 则称事件A 与事件B 相等,记作A=B. A与B含有相同的样本点
例1：判别下列事件间的关系
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件 (1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
S A 表示A不发生
对立 “不出现1点” eg.1 掷一枚骰子，“出现1点” 对 “至多于4人” eg.2 在某客运站等车试验中, “至少5人” 立
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events)
逆事件的有关性质 设S为E的样本空间，A为任意事件，则 (1) AA , A∪A S
概率论与集合论之间的对应关系
记号 概率论
必然事件 不可能事件 基本事件 随机事件A 事件A包含于事件B A与B相等 事件A与事件B的和 事件A与事件B的积 事件A与事件B的差 事件A的逆事件
集合论
全集 空集 元素e 集合A A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的补集
本节小结
事件间的关系：包含、相等、互不相容 事件间的运算：和、积、差、逆
教学重点：事件间的关系与运算 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示
作业
练习
P9：1，4。
P10：2，3。
讨论题
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人 说“否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是” 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容点组成 A A∪B表示“A发生或B发生” A∪B表示“A,B至少有一个发生”
A B
事件间的运算
1.事件的和(并)
事件A与事件B中至少有一个发生的事件, 称为事件A与B的和，记作A∪B或A+B
B
S A∩B由A且B中的样本点组成 A∩B表示“A发生且B发生”。
A∩B表示“A,B同时发生”。
eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A∩B表示意义？
事件间的运算
3. 事件的差
事件A发生但事件B不发生， 称该事件为 A 与 B 的差. 记作A- B. B A B A
A B A
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可 能性大小，也就是事件的概率。
问题: 如何求解随机事件的概率呢?是否有 什么规律呢？下面几节就来回答这个问题.
1.2节内容回顾
一、事件间的关系与运算
事件间的关系： 包含、相等、互不相容 事件间的运算： 和、积、差、逆
(8) ABC U ABC U ABC U ABC;
7ABC
(9)(A U B) C;
(10) ABC U ABC U ABC.
练习1：以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报 和体育报。试用A,B,C的运算表示以下事件： (1)只订阅日报； (2)只订日报和晚报； (3)只订一种报； (4)正好订两种报； (5)至少订阅一种报； (6)不订阅任何报； (7)至多订阅一种报； (8)三种报纸都订阅； (9)三种报纸不全订阅。
( 4) A B C ;
( 5) A B C ; (6) ABC ABC ABC ABC;
(7) ABC ABC ABC ABC ABC 或 ABC; ABC ABC ,
(8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰有两个出现.
1. 2事件间的关系与运算
Relation and operation of events 一、事件间的关系与运算※
二、事件间的运算规律
知识点与基本要求：
理解事件间的包含、互不相容、对立关系，事件 之和、事件之积、事件之差运算； 理解事件间的运算规律，特别是对偶律的意义； 掌握事件间关系及运算，会将一些较复杂的事件 用简单事件的运算来表示。
eg 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
“骰子出现1点” 互不
相容
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events) 若A∪B=S，A∩B= 则称事件 A与B互为对立事件，
称事件B为A的对立事件或逆事件,记作 B A A
A.
A 由所有不属于A的样本点组成
教学重点：事件间的关系与运算； 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示。
一、事件间的关系与运算
设试验E的样本空间为S，A,B,..,Ak,为E中的事件
问题1：幼稚园根据小朋友个人爱好开设了钢琴、美术、 演讲、武术课程，事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B 表 示“虫虫喜欢画画”, A∪B,A∩B由哪些样本点组成， 表 问题 2：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一个零 示意义？ 件是正品，A2表示第二个零件是正品，是否可以用A1, A2表示下列事件呢？ (1)均为正品；(2)恰有1个零件是次品； (3)只有第二个零件是次品；(4)至少2个零件是次品。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。
{(i1 , i2 )
E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。
{(i j ) 1 i j 6}
B
B
S
A B A
S
A-B由属于A的样本点但不属于B的样本点组成。
A-B表示“A发生但B不发生”。 eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A-B，B-A表示意义？
事件间的关系
互不相容(互斥)事件(Incompatible events) 若 AB . 则称事件A与B互不相容(互斥) 。 即若事件A与B互不相容(互斥) 。 A B A与B没有相同的样本点 S A,B互不相容表示A,B不能同时发生
二、事件间的运算规律
交换律、结合律、分配律 对偶律※ A U B AB 表示A,B都不发生
AB A U B
表示A,B不都发生或A,B不同时 发生或A,B至少一个不发生
作业：P9：1，4。 练习：P10：2，3。 讨论题：
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人说 “否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是”。 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容事件有何区别？
例2：将一枚硬币抛掷二次，观察正面H,反面T 出现的情况，A=“第一次出现正面”,B=“两次出 现同一面“，求：(1)AB, A U B, AB, AB U AB, AB 包含哪些样本点；(2)上述事件表示的意义。
A
二、事件间的运算规律
设A,B,C为随机事件，则有 (1)交换律 AUB=BUA,A∩B=B∩A (2)结合律 (AUB)UC=AU(BUC) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3)分配律 (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (4)对偶律※ A B A B 表示A，B都不发生。
A B A B 表示A，B不都发生
或A,B不同时发生
例3：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一 个零件是正品，A2表示第二个零件是正品，试 用A1，A2表示下列事件： (1)均为正品；(2)恰有一个零件是次品；(3)只有 第2个零件是次品；(4)至少一个零件是次品。
练习：向指定目标射三枪，观察射中目标的情 况，事件Ai表示某射手第i次击中目标(i=1,2,3) 试用Ai表示以下各事件：(1)只击中第一枪;(2) 只击中一枪;(3)三枪都没击中;(4)至少击中一枪。
1.1节内容回顾
E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。 样本空间：
随机事件： E的某些基本结果组成的集合，记作A,B等，
随机事件是样本空间S的子集。
E的结果中A的某个样本点出现。 事件A发生：
练习题：袋中装有6个球，4白(1,2,3,4)，2红 (5,6)，试写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
(8) ABC ABC ABC ABC; (9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
A U B AB A B AU B A B AU B A
习题2：
以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则A的对立事件表示( ) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B)“甲、乙两种产品均畅销”； (C)“甲种产品滞销”； (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件
(1) A 出现 , B, C 不出现;
(2) A, B都出现, C 不出现;
(1) AB C; ( 2) ABC;
( 3) ABC ;
(3) 三个事件都出现;
(4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现; (6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
事件间的关系
1. 包含关系 若事件A发生, 则B必然发生, 则称事件B包含事件A,记作 A B A B A的样本点都是B的样本点 S
对于任何事件A，都有 2.相等关系
A S
若事件A 包含事件B,且事件B 包含事件A, 则称事件A 与事件B 相等,记作A=B. A与B含有相同的样本点
例1：判别下列事件间的关系
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件 (1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
S A 表示A不发生
对立 “不出现1点” eg.1 掷一枚骰子，“出现1点” 对 “至多于4人” eg.2 在某客运站等车试验中, “至少5人” 立
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events)
逆事件的有关性质 设S为E的样本空间，A为任意事件，则 (1) AA , A∪A S
概率论与集合论之间的对应关系
记号 概率论
必然事件 不可能事件 基本事件 随机事件A 事件A包含于事件B A与B相等 事件A与事件B的和 事件A与事件B的积 事件A与事件B的差 事件A的逆事件
集合论
全集 空集 元素e 集合A A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的补集
本节小结
事件间的关系：包含、相等、互不相容 事件间的运算：和、积、差、逆
教学重点：事件间的关系与运算 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示
作业
练习
P9：1，4。
P10：2，3。
讨论题
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人 说“否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是” 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容点组成 A A∪B表示“A发生或B发生” A∪B表示“A,B至少有一个发生”
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概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
概率论与数理统计ch1-2
绝对偏差 0.1 0.03 0.004 0.0012 0.0022 0.00095 0.00138
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不 够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义： 如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的 概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1； 公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)： 对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不 够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义： 如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的 概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1； 公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)： 对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
高等教育：概率论第1章1-2
三次射击都击中目标
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一 ： 皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解：(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论把观察客观事物的过程称为试验，而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点：随机试验的每一个可能结果称为一样本点。 以 e 表示；
样本空间：随机试验的所有结果组成的集合。
记作：A B
(2)事件的相等：若A B且 B A，即A和B的样本点完全相同。 记作：A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生，这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1：有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2：可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律：A∪ B＝B ∪ A，AB＝BA 2、结合律：(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一 ： 皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解：(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论把观察客观事物的过程称为试验，而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点：随机试验的每一个可能结果称为一样本点。 以 e 表示；
样本空间：随机试验的所有结果组成的集合。
记作：A B
(2)事件的相等：若A B且 B A，即A和B的样本点完全相同。 记作：A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生，这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1：有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2：可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律：A∪ B＝B ∪ A，AB＝BA 2、结合律：(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
§1.2随机事件及其运算
6
D包含了所有样本点，即全部试验结果， 包含了所有样本点，即全部试验结果， 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 常用Ω 件，常用Ω表示； Ｅ不包含任何的样本点，也即不包含任何 不包含任何的样本点， 试验结果 在每次试验中都一定不发生， 试验结果，在每次试验中都一定不发生，称为 不可能事件， 表示． 不可能事件，常用 Æ 表示．
10
2、相等关系
A＝B ⇔ A⊂B且B⊂A. ＝ ⊂ 且 ⊂
它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 ，Ａ，Ｂ 时发生或同时不发生． 时发生或同时不发生． 3、互不相容 若事件A与B在任何一次试验中都不能同时 若事件A 发生，则称A 互不相容，否则称A 相容． 发生，则称A与B互不相容，否则称A与B相容． 在例1.1中，A={掷出奇数点}，B={掷出的 在例1.1中 A={掷出奇数点} B={掷出的 1.1 掷出奇数点 点数不小于3 也不超过5} C={掷出的点数能 5}， 点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能 整除} E={掷出的点数超过8}， 掷出的点数超过8} 被4整除}，E={掷出的点数超过8}，A与C、A与E 都互不相容， 相容． 都互不相容，而A与B相容．
i =1 n
表示事件
至少有一个发生 发生” “A1 , A2 ,L , An 至少有一个发生”．
163、Βιβλιοθήκη 运算和对立运算 设A，B是两个集合，A − B 的准确含义是 是两个集合，
ω ∈ A − B ⇔ ω ∈ A且ω ∉ B ,
如果把这个蕴涵关系式翻译成概率论的语 表示A发生且B不发生． 言，那么事件 A − B 表示A发生且B不发生．称 的差． 事件 A − B 为 A与B的差． 表示“前者发生且后者不发生” “− ”表示“前者发生且后者不发生”．
D包含了所有样本点，即全部试验结果， 包含了所有样本点，即全部试验结果， 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 常用Ω 件，常用Ω表示； Ｅ不包含任何的样本点，也即不包含任何 不包含任何的样本点， 试验结果 在每次试验中都一定不发生， 试验结果，在每次试验中都一定不发生，称为 不可能事件， 表示． 不可能事件，常用 Æ 表示．
10
2、相等关系
A＝B ⇔ A⊂B且B⊂A. ＝ ⊂ 且 ⊂
它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 ，Ａ，Ｂ 时发生或同时不发生． 时发生或同时不发生． 3、互不相容 若事件A与B在任何一次试验中都不能同时 若事件A 发生，则称A 互不相容，否则称A 相容． 发生，则称A与B互不相容，否则称A与B相容． 在例1.1中，A={掷出奇数点}，B={掷出的 在例1.1中 A={掷出奇数点} B={掷出的 1.1 掷出奇数点 点数不小于3 也不超过5} C={掷出的点数能 5}， 点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能 整除} E={掷出的点数超过8}， 掷出的点数超过8} 被4整除}，E={掷出的点数超过8}，A与C、A与E 都互不相容， 相容． 都互不相容，而A与B相容．
i =1 n
表示事件
至少有一个发生 发生” “A1 , A2 ,L , An 至少有一个发生”．
163、Βιβλιοθήκη 运算和对立运算 设A，B是两个集合，A − B 的准确含义是 是两个集合，
ω ∈ A − B ⇔ ω ∈ A且ω ∉ B ,
如果把这个蕴涵关系式翻译成概率论的语 表示A发生且B不发生． 言，那么事件 A − B 表示A发生且B不发生．称 的差． 事件 A − B 为 A与B的差． 表示“前者发生且后者不发生” “− ”表示“前者发生且后者不发生”．
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
《概率论与数理统计》课件
② 力①= ____, AC1 =__________, AA =________. _______ _____ ③ A = ____. ④ 若AuB,则力UB =_____, AHB =______, A ____B. ____ _____ ⑤ A-B = AB = A-AB, A = (AB) , A[}B = B^A万二，U8麟
出
____
XXXX大学
1.2.1事件间的关系与运算
文氏图(Venn diagram )
随机事件的关系和运算 相似集合的关系和运算
XXXX大学
关系
包含
相等 互不相容 （互斥）
符号表示
AuB/BD A
A u B且A D B
AB=0
事件间的关 系
事件发生
/发生则8发生
样本点
X的样本点都 是gj勺样本
点
ABC U ABC U
A3：“恰有两人命中目标 '
A4 :"最多有一人命中目 标
A5 :“三人均命中目标' ：
ABC
ABC U ABC U
ABC
BC U AC U AB
ABC A n B n
A6 :“三人均未命中目标
C
单选题1分
设凡B, C三个事件，则“至少有两个发生”可表示 )O
为
A. ABC^^ U ABC
3/10/2022
10
XXXX大学
1.2.2事件的运算性质
交换律A AB = BA
结合律 (A U B)U C
二」U (B U C)
(AB) C = A
3/10/2022
11
XXXX大学
1.2.2事件的运算律
分配律 An（^uc）=（^n^）u（^nc ） Ausnc）=（，ug）n（，u。
出
____
XXXX大学
1.2.1事件间的关系与运算
文氏图(Venn diagram )
随机事件的关系和运算 相似集合的关系和运算
XXXX大学
关系
包含
相等 互不相容 （互斥）
符号表示
AuB/BD A
A u B且A D B
AB=0
事件间的关 系
事件发生
/发生则8发生
样本点
X的样本点都 是gj勺样本
点
ABC U ABC U
A3：“恰有两人命中目标 '
A4 :"最多有一人命中目 标
A5 :“三人均命中目标' ：
ABC
ABC U ABC U
ABC
BC U AC U AB
ABC A n B n
A6 :“三人均未命中目标
C
单选题1分
设凡B, C三个事件，则“至少有两个发生”可表示 )O
为
A. ABC^^ U ABC
3/10/2022
10
XXXX大学
1.2.2事件的运算性质
交换律A AB = BA
结合律 (A U B)U C
二」U (B U C)
(AB) C = A
3/10/2022
11
XXXX大学
1.2.2事件的运算律
分配律 An（^uc）=（^n^）u（^nc ） Ausnc）=（，ug）n（，u。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
主讲：
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率及性质 1.3 概率的计算 1.4 事件的独立性 1.5 独立事件概型
1.1.1 随机事件
手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。 结果唯一
种瓜得瓜，种豆得豆。
太阳每天从东方升起。
确定性现象
概率统计的 硬币落下时哪一面向上？
4040 验
10000
次 数
12000 不
24000
断 增
30000 大
正面出现的频数 1061 2048 4979 6019 12012 14994
频率 0.5181频 0.5069率稳 0.4979定 0.5016在 0.5005附 0.4998近
0.5
频率的特点
（1）波动性 （2）稳定性
当试验次数n增大时，(A) 逐渐趋向一个稳定 值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的 概率。称为统计概率。
问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数 量确定但未知的情况下计算？
1.2.1 概率的统计定义
定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为 随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做 ( A) ，即
频率的性质：
( A) m
n
（1）对如何事件A，0 (A) 1;
A63
0.4762
A3 {从中有放回地连取三件都是正品}
P( A3)
63 103
0.216
思考 A1, A2 的概率相等是否巧合？
1.2.2 概率的古典定义
例2.3的推广
一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A={取出
主讲：
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率及性质 1.3 概率的计算 1.4 事件的独立性 1.5 独立事件概型
1.1.1 随机事件
手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。 结果唯一
种瓜得瓜，种豆得豆。
太阳每天从东方升起。
确定性现象
概率统计的 硬币落下时哪一面向上？
4040 验
10000
次 数
12000 不
24000
断 增
30000 大
正面出现的频数 1061 2048 4979 6019 12012 14994
频率 0.5181频 0.5069率稳 0.4979定 0.5016在 0.5005附 0.4998近
0.5
频率的特点
（1）波动性 （2）稳定性
当试验次数n增大时，(A) 逐渐趋向一个稳定 值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的 概率。称为统计概率。
问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数 量确定但未知的情况下计算？
1.2.1 概率的统计定义
定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为 随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做 ( A) ，即
频率的性质：
( A) m
n
（1）对如何事件A，0 (A) 1;
A63
0.4762
A3 {从中有放回地连取三件都是正品}
P( A3)
63 103
0.216
思考 A1, A2 的概率相等是否巧合？
1.2.2 概率的古典定义
例2.3的推广
一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A={取出