333点到直线、两平行线间的距离OK
3.3.3 ~3.3.4点到直线的距离两平行线间的距离
训练1求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．
【探究点二】两条平行直线间的距离
导引设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．
3．已知两平行直线间的距离，即可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.
例2已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．
小结(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．
(2)应用两平行线间的距离公式d＝时，两直线方程必须是一般形式，而且x，y的系数对应相等．
训练2(1)求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．
[问题情境]
构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离．
【探究点一】点到直线的距离
问题1两点间的距离公式是什么？
答已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
333点到直线、两平行线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
d C1 - C2 A2 B2
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2
3.3.3点到直线的距离和3.3.4两平行线间的距离学案
y
A
h C
O
B
探究二。两平行线间的距离公式的应用。 探究二。两平行线间的距离公式的应用。 公式的应用 例 3、已知直线 l1 : 3 x − 4 y − 8 = 0, l2 : 3 x − 4 y + 2 = 0 ，求 l1 与 l2 间的距离。
x
例 4、已知直线 l1 : 2 x − 7 y − 8 = 0, l2 : 6 x − 21 y − 1 = 0 ， l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离。
当 A=0 时，公式 。
合作探究
探究一。点到直线的距离公式的应用。 探究一。点到直线的距离公式的应用。 距离公式的应用 例 1、求点 P0 ( −1, 2) 到直线 l : 3 x = 2 的距离。
例 2、已知点 A(1,3), B (3,1), C ( −1, 0) ，求 ∆ABC 的面积。 （如下图）
探究三。距离公式的综合应用。 探究三。距离公式的综合应用。 例 5.求经过点 P（1，2）的直线，且使 A（2，3） ，B（0，-5）到它的距离相等的直线方程。
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月 16 日 课堂达标 课堂达标 [一层练习 ： 一层练习]： 一层练习 1.已知点 A（ a ，6）到直线 3 x －４ y ＝2 的距离 d=4，则 a 的值为 2.求点 p(3, −2) 到下列直线的距离： （1） y =
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月两平行线间的距离学案 3.3.3 点到直线的距离和 3.3.4 两平行线间的距离学案
学习目标： 学习目标：
新课标人教A版数学必修2全部课件：3.3.3点到直线、两平行线间的距离
y
P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)
y
(x1,y0)
Q
P(x0,y0) x x=x1
o
x
o
PQ = y 0 - y 1
Page 3
PQ = xΒιβλιοθήκη 0 - x 1练习15
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
4
(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3
§3.3. 3
点到直线的距离
Page 1
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
Page 2
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的 形式.
的距离公式是
d =
Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d = C1 - C A
Page 12
2 2
2
+ B
练习4
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. 2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 的直线方程 .
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
2 13
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
两点间的距离点到直线的距离两平行线间的距离
§3.3.2两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离基础知识过关检测姓名 评价1. 两点间的距离两点()111,P x y ,()222,P x y 间的距离12PP =. （1）当直线12PP 平行于轴时,12PP =； （2）当直线12PP 平行于轴时,12PP =；（3）当12,P P 中有一个是原点时,不妨设在原点,则12PP =； （4）当12,P P 在直线y kx b =+上时,12PP =.（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.例如求()00,P x y 到直线y kx b =+的距离，应先把直线方程化为，得d =.（2）点在直线上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点与直线的位置关系.（3）直线方程0Ax By C ++=中0A =或0B =时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离.①()00,P x y 到x a =的距离d =； ②()00,P x y 到y b =的距离d =.4.已知ABC ∆的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC ∆的周长是( )A.2B.3+2C.6+3D.6+105.一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A （2，1），另一个端点B 的横坐标是-1，则点B 的纵坐标是（ ）A.-3B.5C.-1或-3D.-3或56.若轴上的点M 到原点的距离与到点N （5，-3）的距离相等，则M 点的坐标是（ ）A.（-2，0）B.（1，0）C.（23，0）D.（3.4，0） 7.已知ABC ∆的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则BC 边上的中线AM 的长为_____________. 8.点(2,1)到直线:220l x y -+=的距离为( )A.52B.52C.56D.0 9.已知()(),20a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则的值为（ ）A.-1B.+1C.2-1D.2+110.两条平行线1:3470l x y +-=和2:34120l x y +-=的距离为（ ）A.3B.2C.1D.21 11.分别过点A （-2，1）和点B （3，-5）的两条直线均垂直于轴，则这两条直线的距离为__________.能力提升1. 两平行直线，分别过点P （-1，3），Q （2，-1）它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）A ．()0,+∞ B.（0，5） C.(]0,5D.( 2. 点(4cos ,3sin )P θθ到直线60x y +-=的距离的最小值等于.3. 与直线210x y ++=. 4. 过原点且与两定点)2,3(),1,1(--B A 距离相等的直线的方程为. 5. 已知ABC ∆的三个顶点坐标是A （1，-1），B （-1，3），C （3，0）. （1）判定ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.6. 试在直线40x y -+=上求一点，使它到点M （-2，-4）、N （4，6）的距离相等.7. 已知三条直线()1:200l x y a a -+=<2:4210l x y -++=3:10l x y +-= ，若与的距离是（1）求的值；（2）能否找到一点使得同时满足下列三个条件:①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的12；若能，求点坐标；若不能，说明理由.§3.3.2两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离基础知识过关检测姓名 评价1. 两点间的距离两点()111,P x y ,()222,P x y 间的距离12PP =. （1）当直线12PP 平行于轴时,12PP =； （2）当直线12PP 平行于轴时,12PP =；（3）当12,P P 中有一个是原点时,不妨设在原点,则12PP =； （4）当12,P P 在直线y kx b =+上时,12PP =.（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.例如求()00,P x y 到直线y kx b =+的距离，应先把直线方程化为，得d =.（2）点在直线上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点与直线的位置关系.（3）直线方程0Ax By C ++=中0A =或0B =时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离.①()00,P x y 到x a =的距离d =； ②()00,P x y 到y b =的距离d =.4.已知ABC ∆的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC ∆的周长是( C )A.2B.3+2C.6+3D.6+105.一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A （2，1），另一个端点B 的横坐标是-1，则点B 的纵坐标是（ D ）A.-3B.5C.-1或-3D.-3或56.若轴上的点M 到原点的距离与到点N （5，-3）的距离相等，则M 点的坐标是（ D ）A.（-2，0）B.（1，0）C.（23，0）D.（3.4，0） 7.已知ABC ∆的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则BC 边上的中线AM 的长为_____________. 8.点(2,1)到直线:220l x y -+=的距离为( B )A.52B.52C.56D.0 9.已知()(),20a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则的值为（ A ）A.-1B.+1C.2-1D.2+110.两条平行线1:3470l x y +-=和2:34120l x y +-=的距离为（ C ）A.3B.2C.1D.21 11.分别过点A （-2，1）和点B （3，-5）的两条直线均垂直于轴，则这两条直线的距离为__________.能力提升1. 两平行直线，分别过点P （-1，3），Q （2，-1）它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）A ．()0,+∞ B.（0，5） C.(]0,5 D.( 解析:最大值为P ，Q 的距离，即5，选C2. 点(4cos ,3sin )P θθ到直线60x y +-=的距离的最小值等于.解析:222|6)sin(5|2|6sin 3cos 4|≥-+=-+=φθθθd3. 与直线210x y ++=的距离为5.解析:02=+y x 或022=-+y x4. 过原点且与两定点)2,3(),1,1(--B A 距离相等的直线的方程为.解析: 直线过线段AB 的中点或平行于直线AB ，故方程为02=+y x 或043=+y x 5. 已知ABC ∆的三个顶点坐标是A （1，-1），B （-1，3），C （3，0）. （1）判定ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.解：（1）如图，△ABC法一：∵|AB |=[]22)1(3)11(--+--=20=2，|AC |=[]22)1(0)13(--+-=，|BC |=[]22)30()1(3-+--=25=5，∴|AB |2+|AC |2=|BC |2，即△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. 法二：∵k AB =11)1(3----=-2，k AC =13)1(0--- = 21，∴k AB ·k AC =-1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. （2）∵∠A =90°， ∴S △ABC =21|AB |·|AC |=5. 规律方法：判定三角形形状的依据是三角形的分类标准，由边的分类或角的分类进行解决. 6. 试在直线40x y -+=上求一点，使它到点M （-2，-4）、N （4，6）的距离相等. 解：法一：由直线x -y +4=0，得y =x +4，点P 在该直线上. ∴可设P 点的坐标为（a ，a +4）. 由已知|PM |=|PN |， ∴[][]22)4(4)2(--++--a a=22)64()4(-++-a a ,22)8()2(+++a a =22)2()4(-+-a a .∴（a +2）2+（a +8）2=（a -4）2+（a -2）2.解得a =-23，从而a +4=-23+4=25. ∴P （-23，25）.法二：由于|PM |=|PN |，∴点P 在线段MN 的垂直平分线上. 由于k MN =)2(4)4(6----=610=35， ∴线段MN 的垂直平分线的斜率为k =-53. 又MN 的中点为（1，1），∴线段MN 的垂直平分线的方程为y -1=-53（x -1）， 即y =-53x +58. 又∵点P 在直线x -y +4=0上，∴点P 为直线x -y +4=0与y =-53x +58的交点. 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-,5853,04x y y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.25,23y x∴点P 的坐标为（-23，25）. 7. 已知三条直线()1:200l x y a a -+=<2:4210l x y -++=3:10l x y +-= ，若与的距离是（1）求的值；（2）能否找到一点使得同时满足下列三个条件:①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的12；若能，求点坐标；若不能，说明理由.【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题[解析]（1）21:20,32l x y d a --===⇒=(2)设00(,)P x y 同时满足三个条件 由②得：设00(,)P x y 在':20l x y C -+=131126C C =⇒==或则有00001311202026x y x y -+=-+=或------------（1）=000240320x y x ⇒-+=+=或--------------（2）由①得 000,0x y >> ----------------（3） 解由（1）（2）（3）联立的混合组得 00137,.918x y == 所以137(,)918P 【名师指引】（1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立。
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离~两条平行直线间的距离
时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).
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例1 求点 P0 1，2到直线 l : 3x 2的距离．
解： d 3 1 2 5
32 02
3
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习1
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
x=x1 PQ = x0 - x1
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
2 13
A2 + B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
d=
C1 - C2 A2 + B2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1，P2 x2, y2 ，则
P1P2 x2 x1 2 y2 y12 .
y
P2
N2
M2
O
Q
M1 x N1 P1
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
PR : y y0
PS : x x0
R
By0 A
C
,
y0
S
Ax0 B
C
,
x0
R
P(x0,y0)
PR Leabharlann By0 ACx0
Ax0 By0 C A
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_1_3__.
练习3
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d = Ax 0 + By 0 + C
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 的A面BC积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则
SABC
1 2
|
AB | h
y
A
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离
h
AB边所在直线的方程为
C
y-3 x 1
即x y 4 0
O
1-3 31
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
B
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
Q
PS
Ax0 B
C
y0
Ax0 By0 C B
O
S
x RS
L:Ax+By+C=0
设 PQ d,由三角形面积公式得
PR2 PS 2 A2 B2 A B Ax0 By0 C
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：