最新333点到直线的距离公式汇总
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式在几何学中，点到直线的距离公式是指计算一个点到一个给定直线的最短距离的方法。
这个公式在数学和工程领域被广泛应用，十分重要。
本文将介绍点到直线的距离公式的来源、推导和应用。
一、距离公式的来源点到直线的距离公式来源于勾股定理和向量的性质。
在平面直角坐标系中，设点P的坐标为(x1, y1)，直线L的方程为Ax + By + C = 0，那么点P到直线L的距离可以用以下公式计算：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax1 + By1 + C|表示点P到直线L的有向距离，d表示点P到直线L的距离。
二、距离公式的推导我们可以利用点P到直线L的垂直距离来推导距离公式。
1. 由直线L的方程可知，直线L的法向量为n = (A, B)。
2. 从点P到直线L引一条垂线，设垂足为Q。
3. 向量PQ与直线L的法向量n垂直，即PQ·n = 0。
4. 向量PQ的坐标为(x1 - x, y1 - y)。
5. 利用向量的点乘运算，我们有(A, B)·(x1 - x, y1 - y) = 0，即Ax1 + By1 + (−A x−B y) = 0。
6. 整理得，Ax + By + C = 0，得到直线L的方程。
7. 由于点P到直线L的距离等于点P到直线L的垂线的长度，所以点P到直线L的距离为d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)。
三、距离公式的应用点到直线的距离公式具有广泛的应用。
1. 几何问题：可以用于计算点到直线的最短距离，例如在点与直线关系的判定、相交问题、点在直线上的投影等。
2. 计算机图形学：可用于计算点与直线之间的距离，用于图像处理、计算机辅助设计等领域。
3. 机器学习：可以用于特征提取和分类问题，例如支持向量机中的样本分类等。
4. 物理学和工程学：可以在力学、电磁学、信号处理等领域应用，如计算电子设备中线路板上两点之间的距离。
333点到直线的距离公式
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（ ，0）．在直线l上任取一点M（0，－ ），易让向量 ＝（ ， ）与向量n＝（3，－4）垂直．
设向量 与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，
∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝ ，
3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①
点到直线的距离公式解析几何
点到直线的距离公式解析几何在解析几何中，点到直线的距离可以使用以下公式进行计算：假设直线方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)。
1. 首先，计算直线上任意一点P(x1, y1)到点的距离d，公式为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)2. 然后，将直线上任意一点P(x1, y1)替换为点(x0, y0)：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为点到直线的距离。
该公式的推导过程如下：点P到直线的距离可以看作点P到直线的垂足H的距离。
将垂足H的坐标设为(xh, yh)。
由于直线上的任意一点P(x1, y1)满足Ax1 + By1 + C = 0，所以垂足H的坐标应满足Axh + Byh + C = 0。
由于垂足H在直线上，所以垂足H到点P的向量与直线的方向向量垂直，即向量HP与直线的法向量垂直。
向量HP为(Px - xh, Py - yh)，直线的法向量为(A, B)。
根据向量的垂直关系，有：(A, B) · (Px - xh, Py - yh) = 0化简得：A(Px - xh) + B(Py - yh) = 0展开得：APx - Axh + BPy - Byh = 0移项得：APx + BPy = Axh + Byh对比直线方程Ax + By + C = 0，可知：Axh + Byh = -C代入上式，得：APx + BPy = -C由于点P的坐标为(x0, y0)，所以有：APx0 + BPy0 = -C展开得：Ax0 + By0 + C = 0移项得：Ax0 + By0 + C = 0取绝对值，得：|Ax0 + By0 + C| = 0所以，点到直线的距离为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)即为所求公式。
333点到直线、两平行线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
d C1 - C2 A2 B2
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中的一个重要概念，它描述了从一个给定点到直线的最短距离。
这个概念在几何学、物理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
这篇文章将详细介绍点到直线的距离公式，并且讨论如何应用这个公式解决实际问题。
首先，我们来定义一条直线。
在平面几何中，一条直线可以通过两个参数来表示，分别是直线上一个点的坐标和直线的斜率。
假设这个点的坐标为P(x₁, y₁)，斜率为k，那么直线的方程可以写成y = kx + b。
其中b = y₁ - kx₁是由点P确定的直线的截距。
现在，我们来考虑一个点Q(x₀,y₀)，它离直线的距离为d。
根据点到直线的距离的定义，我们可以得到以下关系：1.直线上任意一点的坐标为(x,y)。
它到点Q的距离可以表示为√((x-x₀)²+(y-y₀)²)。
2. 点到直线的最短距离为沿着直线法线方向测得的距离。
设直线的法线方程为y = -1/kx + c，其中c是由点Q确定的常数。
根据两条直线垂直的性质，我们可以得到垂直两直线的斜率乘积为-1，即k*(-1/k) =-1、将直线的方程和法线的方程代入得到c = y₀ + (1/k)x₀。
3. 点Q到直线的距离可以表示为垂直方向上的投影。
所以，点到直线的距离d可以通过以下公式计算：d = ，y₀ - kx₀ + c，/ √(1 + k²)。
这个公式就是点到直线的距离公式。
它是通过求解点到直线的垂直距离得到的，使用了点到直线的斜率和垂直方向上的截距。
接下来，我们来看一个例子来说明如何使用点到直线的距离公式解决实际问题。
假设我们有一个直线L：y=2x+3，和一个点P(-1,4)。
我们想要计算点P到直线L的距离。
首先，我们需要计算直线的斜率和截距。
直线的斜率k=2，截距b=3-2*(-1)=5接下来，我们使用点到直线的距离公式计算距离：d=，4-2*(-1)+5，/√(1+4)=，4+2+5，/√(5)=11/√(5)≈4.92所以，点P到直线L的距离为约4.92个单位。
点到空间直线距离之间的公式
点到空间直线距离之间的公式
点到空间直线距离之间的公式是|AXo+BYo+C|/√（A²+B²），点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，两条直线相交成直角，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段是一个图形，点到直线的距离是一个数量。
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
点到直线的距离公式。
点到直线的距离公式。
点到直线的距离公式是一种常见的几何计算方法，它是指将点P（x，y）投影
到直线AX + By + C = 0上，计算点P到直线距离的实际方法。
点到直线距离公式
如下：
d=|Ax+By+C|√（A＾2+B＾2）
其中A,B,C是直线AX + BY + C = 0上的参数，x,y是点P（x，y）的坐标。
这个公式可以把任何一个平面中的点到直线的距离都可以正确计算出来。
应用点到直线距离公式到实际中，不仅可以用来计算出点到直线的距离，还可以应用到各种计算机图形处理等工程应用上，帮助我们计算出形状中位置、大小、形状等信息。
在可视化设计图形艺术研究中，这一公式也可以帮助我们分析图形的比例、坐标，以及绘制出美观精致的图形。
从上面这个公式我们可以得出的结论就是，只要把点的坐标和直线的参数带入这个点到直线距离公式中，就可以准确的计算出点到直线的距离，节约计算的麻烦，提高精度和可靠性。
人教版高中数学2.3.3点到直线的距离公式
2.3.3点到直线的距离公式
一、学习目标：1掌握点到直线的距离公式,会用公式解决有关问题.
2会用向量工具推导点到直线的距离公式.
学习重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用. 学习难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析.
二、导学指导与检测
导学指导 导学检测及课堂展示
阅读教材7574P P -完成右框内容 一、点到直线距离的坐标法推导.
1、概念：过一点向直线作 ，则该点与 之间的距离，就是该点到直线的距离.
2、公式：点),(00y x P 到直线l :)0,(0不同时为B A C By Ax =++的距离=d . 【即时训练1】求下列点到直线的距离
（1）)3,2(-A l ：0343=++y x
（2）)01
(，B l :033=-+y x
阅读教材7776P P -完成右框内容 二、点到直线距离的向量法推导.
如图，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ 的模，设()y x M ,是直线l 上的任意一点，n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ 是PM 在上n 的投影向量,n PQ PQ ⋅=.
课堂小结
三、巩固诊断
【A 层】
1、原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )
A ．1 B. 3 C ．2 D.5
【B 层】
2、已知点)36()43(，，，B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，求实数a 的值.
【C 层】
3、求过点)21(，，且与原点距离最大的直线方程.
闯关题：在ABC ∆中，)41)(2,4()()1,1(<<m C m m B A ，，，，求m 为何值时，ABC ∆的面积S 最大.。
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333点到直线的距离
公式
与价
值观
教学重
点
教学难
点
教学资
源
教学方
法
知识结
构
板书计
划
教学过程
教学环节
所需时间
教学内容设计意图
教学反馈教师活动学生活动
一、问题情境
1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，
若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴
的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个
村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x
－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？
这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距
离，如何求村庄到线路的距离呢？
2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求
法如下：
（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，
易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由
解得即m与l的交点
由两点间的距离公式，得
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（，0）．在直线l上任取一点M（0，－），易让向量＝（，）与向量n＝（3，－4）垂直．
设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
设垂足为P o（x o，y o），则4（x o－15）＋3（y o－20）＝0，①又因为点P o在l上，所以3x o－4y o－10＝0，即3x o－4y o＝10，
而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3x o＋4y o＝－3（x o－15）＋4（y o－20），
即3（x o－15）－4（y o－20）＝45．②
把等式①和等式②两边相加，得
25［（x o－15）2＋（y o－20）2］＝452，
∴（x o－15）2＋（y o－20）2＝，
3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方
程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By ＋C＝0（A，B不全为0）．
我们来寻求点到直线l距离的算法．
作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为
B（x－x1）－A（y－y1）＝0．
由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①
由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
三、解释应用
［例题］
1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，
（C1≠C2）之间的距离．
分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离
3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x
轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建
立直角坐标系（如图24-2）．
不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝
b，则直线AC：
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC：，即bx＋ay－ab＝0，
∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
四、拓展延伸
1. 点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
2. 点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．
（1）如图，已知点P0（x0，y0），直
线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线
l的距离．不妨设A≠0，B≠0，这时l
和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l
的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，
过P0作x轴的平行线交l于R（x1，
y0），作y轴的平行线交l于S（x0，
y2）．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝
0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．
如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，
即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，
∴向量n＝（A，B），与向量＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂直．
②求点P0到直线l的距离d．
由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为θ，那么
易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．
课堂小结1. 求下列点到直线的距离．
（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0），l2：x＋y－＝0．
（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．
2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．
3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．
（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．
（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．。