三角形的重心 PPT
三角形的重心课件
三角形的重心课件关键信息项：1、课件的使用目的：＿___________________________2、课件的版权归属：＿___________________________3、课件的更新与维护责任：＿___________________________4、课件的适用范围：＿___________________________5、课件的使用期限：＿___________________________6、对课件内容的保密要求：＿___________________________7、违反协议的责任与处罚：＿___________________________11 协议的背景和目的本协议旨在规范关于三角形的重心课件的使用、传播、更新和维护等相关事宜，以确保该课件能够有效地服务于其预期的教育目的，并保障相关各方的合法权益。
111 三角形的重心课件的定义本协议中所提及的三角形的重心课件，是指一套专门用于讲解三角形重心相关知识的多媒体教学材料，包括但不限于演示文稿、动画、视频、练习题等。
12 协议的适用范围本协议适用于所有获得、使用或传播三角形的重心课件的个人和机构。
21 课件的使用目的该课件仅用于教育和学习目的，不得用于任何商业盈利活动。
使用者可以将其用于课堂教学、自主学习、辅导教学等与教育相关的活动。
211 禁止的使用方式使用者不得对课件进行修改、篡改、反编译或以其他方式破坏其完整性和功能性，不得将其用于非法、有害、淫秽或违背社会公德的目的。
22 课件的版权归属三角形的重心课件的版权归创作者所有，未经版权所有者的明确书面授权，任何人不得擅自复制、分发、传播或对其进行二次创作。
221 授权使用范围版权所有者授予使用者在一定范围内非独家的使用权利，但使用者必须遵守本协议的各项规定。
31 课件的更新与维护责任版权所有者有责任对课件进行必要的更新和维护，以确保其内容的准确性和时效性。
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三角形的重心 ppt课件
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
对应中线长
三角形的重心
尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
C
三角形的重心
尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
C
三角形的重心
求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点 D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重 心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
A
三角形的重心
B DG
EC
三角形的重心
今日作业 求面积
在△ABC中，中线AD、BE相交
于点O，若△BOD的面积等于5，求
△ABC的面积。
A
选作
E O
B D பைடு நூலகம்证：顺次连结矩形四边中点所得的三角四形的边重心形是菱形
C
§23.4.2 三角形的重心
三角形的重心
请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形 第4、5竖排画直角三角形 第6、7、8竖排画钝角三角形
三角形的重心
导入 三条中线相交于几个点？
我们把这个点叫三角形的重心
三角形的重心
学习目 标 1.理解三角形的重心的含义
2.理解掌握三角形重心的性质
3.运用三角形重心的性质解决问题
三角形的重心
试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
B
《三角形的四心》课件
三角形的四心定理
三角形的四心定理是指三角形四心之 间的关系定理，它是几何学中的重要 定理之一。
三角形的重心、垂心和内心之间的关 系定理是GAI定理，即重心到顶点的 距离等于2倍的垂心到对边的距离。
三角形的内心和外心之间的距离等于 三角形半周长乘以tan(A/2)和 tan(B/2)的几何平均值，其中A和B是 三角形的两个内角。
内心到三角形三个角的距离相等，且等于内切圆半径。
内心与三角形高的关系
内心到三角形三条高的距离相等，且等于内切圆半径。
内心定理
内心定理
三角形的内心到三角形三边的距离相 等，且等于内切圆半径。
应用
利用内心定理可以求出三角形的面积 ，也可以求出三角形的周长和内切圆 半径。
Part
05
三角形的外心
外心定义
01
三角形外心是三角形外接圆的圆 心，也是三角形三边的垂直平分 线的交点。
02
外心到三角形三个顶点的距离相 等，即外接圆的半径。
外心性质
STEP 01
STEP 02
STEP 03
外心到三角形三个垂足的 距离相等。
外心到三角形三边的垂直 平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的 距离相等。
外心定理
外心定理
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点。
外心定理的应用
利用外心到三角形三个顶点的距离相等，可以解决与三角形外接圆相关的问题。
THANKS
感谢您的观看
重心定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，该 点为三角形的重心，且重心到顶 点的距离是中线长度的一半。
应用
利用重心定理可以快速找到三角 形的重心，并利用重心性质解决 一些几何问题。
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重心-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
三角形的重心性质
三角形的重心性质目录1. 三角形的重心性质1.1 重心的定义1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心1.2.2 直角三角形的重心1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别1.3.2 几何性质区别2. 重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心性质1.1 重心的定义三角形的重心是指三条中线的交点，即由三条中线交汇形成的点称为三角形的重心。
1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心在等边三角形中，三角形的重心和质心重合，且重心距离任何一个顶点和中心的距离都相等。
1.2.2 直角三角形的重心对于直角三角形，重心位于斜边上离直角边的邻边的1/3处。
1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别重心是在三角形内部的点，是由三条中线交汇形成的点；而质心是三角形的三条边上的距离各角相等的点。
1.3.2 几何性质区别重心是三角形的一个几何中心，质心是三角形的一个几何参数。
重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比三角形的重心到各个顶点的距离比为2:1，即重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积相等的三角形。
2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成六个面积相等的三角形。
2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形，其中比重心到顶点的距离2/3的那一个三角形面积为整个三角形面积的1/4，另外两个的面积之和为3/4。
第八讲--三角形的重心
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1 图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
53231_三角形的重心[4页]
![53231_三角形的重心[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/5d65e327af1ffc4ffe47acaf.png)
實驗：
重心探索
得到三角形的三中線交於一點
用手指撐起此點
觀察三角板是否呈現平衡狀態？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
結論： 由此點支撐起來的三角板 可以呈現平衡。 此點為物體重力平衡的中心 所以將此點稱為三角板的重心
1. 三角形三中線必交於同一點 2. 此點稱為三角形的重心
單元結束 5-3-2-3-1
三角形的重心
5-3-2-3-1
問題： 在一個材質均勻的三角板中 是否可以找到一個點 使得利用此點支撐 起來的三角板可以呈現平衡？
重心探索
探索： 將材質均勻的三角形圖板的頂點輪流懸掛 並將各頂點中線畫出來 由此可觀察到 這三條中線都會是過懸掛點的鉛垂線 若任兩條中線交於一點，則 第三條中線會交於同一點嗎？
高考复习三角形的四心重心内心外心垂心PPT课件
OE
C
OD与OE共线且2|OD || OE |, SCOE 2SCOD ,
SAOC
2SCOE
2
2 3
SCDE
2
2 3
1 4
SABC
1 3
SABC
第22页/共25页
思考: 如图，设点O在 ABC 内部，且有OA 2OB 3OC 0,
则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为_____3______．
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证: 连结EF,则EF为ABC的中位线,EF//BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例
得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A
F E
G
B
D
C
第13页/共25页
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
| AB | cos B | AC | cosC
则P的轨迹一定通过△ABC的 _______
解: ∵ BC ( AB AC ) BC AB BC AC
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC
| BC | | AB | cos( B) | BC | | AC | cosC | BC | | BC | 0
垂心
同理可得O在CB边的高线上.
5. P是△ABC所在平面上一点，若
PA PB PB PC PC PA, 则P是△ABC的（ D ）
A．外心 B．内心 第C8．页/重共2心5页 D．垂心
三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
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请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形 第4、5竖排画直角三角形 第6、7、8竖排画钝角三角形
导入 三条中线相交于几个点？
我们把这个点叫三角形的重心
学习目 标 1.理解三角形的重心的含义
2.理解掌握三角形重心的性质
3.运用三角形重心的性质解决问题
试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
大家有疑问的，可以询问和交流
尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
C
求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点 D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重 心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
B
DG
A
EC
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
BD
C
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的长
重心与一顶点的连线的长
对应中线长
尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
C
大家应该也有点累了，稍作休息