九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质第5课时二次函数y=ax2bxc的图象与性质习题课件(新版)
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
九年级数学下册 26.1 二次函数 二次函数y=ax2的图像与
二次函数y＝ax²的图像与性质【导学】1.（1）画y＝x²的图像；（2）在同一坐标系中画y＝2x²、y＝0.5x²、y＝－x平方的图像2.抛物线y＝ax²的性质3.抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于y轴对称.【例题】例1.已知二次函数y＝ax²（a≠0）的图像经过点A（1，－4）（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向；（3）判断点B（－0.5，－2）是否在此抛物线上；（4）求出抛物线上纵坐标为﹣8的点的坐标.例2.已知y＝（k＋2）是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小。
求k的值.【练习】1.函数y＝3x²的图像是，对称轴是；开口向；顶点是；顶点是图像的最点.2.抛物线y＝（a－2）x²经过点（1,3），则a＝ .3.二次函数y＝ax²，当x＝1时，y＝4，则y＝8时，x＝ .4.函数y＝m时二次函数，当m＝时，其图像开口向上；当m＝时。
其图像开口向下.5.若点A（2，n）在抛物线y＝－x²，则点A关于y轴对称点的坐标是6.对于函数y＝x²，当－1≤x≤2时，y的取值范围是 .7.抛物线y＝－2x²不具有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是原点8.下列关于抛物线y＝x²和y＝－x²的关系的说法错误的是（）A.它们有共同的顶点和对称轴B.它们都关于y轴对称C.它们的形状相同，开口方向相反D.点A（－2,4）在抛物线y＝x²上也在y＝－x平方上9.下列抛物线中，开口向下且开口最大的是（）A.y＝－x²B.y＝－x²C. y＝x²D.y＝x²10.已知函数y＝ax²的图像过点（1,2）和点（4，m）（1）求a和m的值；（2）点（－1,2）在函数y＝ax²的图像上吗？为什么？。
北师版九年级数学下册教学课件 第二章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的 值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋ 2bx＋c的对称轴 x 2b ，b 即b≤1，故选择D .
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口__________向__上_________ 开口__________向__下_________
对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧
经过原点
与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
2
2
移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象？ 2
解: 先利用图形的对称性列表
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 2
…
7.5
5 3.5 y 3 3.5 5 7.5 …
然后描点画图，
10
得到图象如右图.
5
O
5
10
x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其增减性. 2
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
试一试
O
5
10
x
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
九年级数学下册 12 二次函数yax2bxc的图象与性质(第5课时)教案 (新版)湘教版 教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质某某际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k 的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？学生回答，教师点评： 抛物线y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++,对称轴为x=-2b a ,顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -),当a ＞0时，若x ＞-2b a ，y 随x 增大而增大，若x ＜-2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，若x ＞-2b a ，y 随x 的增大而减小，若x<-2b a ，y 随x 的增大而增大.探究3 二次函数y=ax 2+bx+c 在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？ 学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.①y=14x 2-3x+21 ②y=-3x 2-18x-22 解：①y=14x 2-3x+21 =14(x 2-12x)+21 =14(x 2-12x+36-36)+21 =14(x-6)2+12. ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.②y=-3x 2-18x-22=-3(x 2+6x)-22=-3(x 2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3.【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化?③怎样求S的最大值呢?解:S=l (30-l)=- l2+30l (0＜l＜30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图象，如图.∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值X围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.四、运用新知，深化理解1.（中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（）A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)2.（某某某某中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴.(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；④.(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;④.【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴；（2）由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值X围及函数最值.15第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。