等差数列复习教案
高三数学数列教案5篇
高三数学数列教案5篇高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题;培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的'应用意识.教学重点： 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课 10，8，6，4，2，; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点) 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： (n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d 即：an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N-时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，则： an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b 成等差数列，那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A-a=b-A，即：a=. 反之，若A=，则2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差数列. 总之，A= a，A，b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b 的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8，5，2的第20项. 分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项答案：这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13的项?如果是，是第几项? 分析：要想判断-401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3，7，11，的'第4项与第10项.(2)求等差数列10，8，6，的第20项. (3)100是不是等差数列2，9，16，的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由. 2.在等差数列{an}中，(1)已知a4=10，a7=19，求a1与d;(2)已知a3=9，a9=3，求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an-an-1=d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
等差数列复习课教案
等差数列复习课(一)三维目标1、知识与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质.2、过程与方法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深学生的理解.3、情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.(二)教学重、难点重点：等差数列相关性质的理解。
难点：等差数列相关性质的应用。
(三)教学方法师生共同探讨复习本课时的主要知识点，再通过例题、习题加深学生的应用意识，本节课采用多媒体辅助教学。
(四)课时安排1课时(五)教具准备多媒体课件(六)教学过程Ⅰ知识回顾1、等差数列定义:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。
注意：等差数列的通项公式整理后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。
3、等差中项如果a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。
即：2b a A +=，或 b a A +=2。
4、等差数列的前n 项和公式等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。
注意：1)、该公式整理后为n d a n d s n )2(212-+=，是关于n 的二次函数，且常数项为0。
2)、等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。
5、等差数列的判断方法1)定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。
2)等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
6、等差数列的性质1)等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=。
《等差数列》教案优秀3篇
《等差数列》教案优秀3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列教案(多篇)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解等差数列的概念及其特点；（2）掌握等差数列的通项公式、求和公式；（3）能够运用等差数列解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等差数列的性质；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（2）引导学生运用数学知识解决实际问题，感受数学的应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式。
2. 教学难点：（1）等差数列的通项公式的推导；（2）等差数列求和公式的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）回顾等差数列的定义；（2）引导学生思考等差数列的特点。
2. 知识讲解：（1）讲解等差数列的通项公式；（2）讲解等差数列的求和公式。
3. 例题解析：（1）分析等差数列的例题，引导学生运用通项公式和求和公式；（2）讲解解题思路和方法。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
四、课后作业1. 巩固等差数列的概念和性质；2. 练习运用通项公式和求和公式解决实际问题。
五、教学反思1. 总结本节课的收获：（1）学生掌握了等差数列的概念和性质；（2）学生能够运用通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 反思教学过程：（1）是否充分讲解等差数列的性质和公式；（2）是否注重学生的参与和思考；（3）是否及时给予学生反馈和指导。
3. 改进措施：（1）针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习；（2）鼓励学生积极参与，提高课堂氛围；（3）关注学生的学习进度，及时调整教学节奏。
六、教学评价1. 评价内容：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式；（3）运用等差数列解决实际问题的能力。
2. 评价方式：（1）课堂问答；（2）练习题；（3）课后作业；（4）小组讨论。
七、教学资源1. 教学课件：（1）展示等差数列的定义、性质；（2）呈现通项公式、求和公式的推导过程；（3）提供丰富的例题和练习题。
《等差数列》教案
《等差数列》教案一、教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的定义及其性质。
2. 能够运用等差数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 等差数列的定义：介绍等差数列的定义，通过实例让学生理解等差数列的特点。
2. 等差数列的性质：探讨等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，任意一项都可以用首项和公差表示等。
3. 等差数列的通项公式：引导学生推导等差数列的通项公式，并解释其意义。
4. 等差数列的前n项和公式：引导学生推导等差数列的前n项和公式，并解释其意义。
5. 等差数列的应用：通过实例让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算等差数列的前n项和，求等差数列的某一项等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式的理解与运用。
2. 教学难点：等差数列通项公式和前n项和公式的推导过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，通过提问引导学生思考和探索等差数列的知识。
2. 使用多媒体辅助教学，展示等差数列的图形和实例，增强学生的直观理解。
3. 利用小组讨论法，让学生分组讨论等差数列的性质和公式，促进学生的合作学习。
五、教学准备：1. 准备PPT课件，包括等差数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式的讲解。
2. 准备一些等差数列的实际问题，用于课堂练习和巩固知识。
3. 准备答案和解析，用于课堂讲解和解答学生的疑问。
六、教学过程：1. 导入：通过一个简单的等差数列实例，如自然数的序列，引导学生思考等差数列的特点。
2. 新课讲解：讲解等差数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式，结合PPT 课件和实例进行解释。
3. 课堂练习：给出一些等差数列的实际问题，让学生运用所学知识进行计算和解答，教师进行指导和解析。
4. 小组讨论：让学生分组讨论等差数列的性质和公式，分享彼此的想法和理解，教师进行指导和点评。
5. 总结与复习：对本节课的主要内容和知识点进行总结回顾，强调重点和难点，解答学生的疑问。
等差数列的基本定义及性质(教案二)
等差数列的基本定义及性质（教案二）。
一、基本定义等差数列是指一个数列中相邻的两个数字之间的差值相等的数列。
这个差值称为公差，记为d，而数列中的第一项记为a1，第n项记为an。
简单来说，等差数列可以表示为：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, an-1+d, an其中，d为公差，a1为首项，an为末项，n为项数。
二、性质1.通项公式对于一个等差数列，我们可以得到以下的通项公式：an = a1 + (n-1)d这个公式表明了，对于等差数列中的任意一项，我们可以通过首项、公差和项数来求出。
2.求和公式对于一个等差数列，我们可以使用以下的公式来求和：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示前n项和。
3.公差的性质公差有以下的性质：① 两个相邻的项之间的差值等于公差d。
② 对于任意两个项，它们之间的差值可以表示为d × (m - n)，其中m和n分别表示这两个项的下标。
③ 如等差数列的首项和公差均为正数，那么数列中的每一项都是正数。
④ 如果等差数列的首项和公差均为负数，那么数列中的每一项都是负数。
4.项数的性质项数有以下的性质：① 对于任意一个等差数列，我们都可以通过首项、末项和公差来求出项数。
② 当n大于2时，等差数列的第n项与第n-1项之间的差值是公差。
③ 任意三个项构成的子等差数列，其公差等于原等差数列的公差。
三、应用等差数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数列求和、数学证明、概率统计等方面。
在数列求和中，我们可以通过等差数列的求和公式来求出前n项的和。
在数学证明中，等差数列可以用来证明某些数学定理，例如等差数列的一些性质。
在概率统计中，等差数列可以被用来模拟某些随机变量的分布。
等差数列是数学中一个重要的概念，其基本定义和性质对于我们的数学学习有很大的帮助，因此，掌握等差数列的相关知识是非常必要的。
等差数列的概念教案
等差数列的概念教案教学目标：1.了解等差数列的定义和性质；2.学会计算等差数列的通项公式；3.能够应用等差数列解决实际问题。
教学内容：一、引入（10分钟）1.引出等差数列的概念：教师出示一个数字序列：1,3,5,7,9，询问学生是否有发现，让学生讨论并总结规律。
2.介绍等差数列的定义：教师解释等差数列的定义：如果一个数列中任意两个相邻的项之差始终保持不变，那么这个数列就是等差数列。
二、定义与性质（20分钟）1.形式化的定义：教师整理上述讨论结果，给出等差数列的形式化定义，即对于数列{a1, a2, a3,..., an}，如果有公差d，那么对于任意的n≥2, ai+1 - ai = d。
2.等差数列的特点：-公差d的大小决定了数列每一项之间的差距；-第一项a1的大小、公差d的正负以及项数n的大小决定了整个数列的排列。
三、计算等差数列的通项公式（30分钟）1.推导递推公式：教师给出等差数列的第一项a1和公差d，让学生推导出递推公式。
-a2=a1+d-a3=a1+2d-...- an = a1 + (n-1)d2.总结通项公式：教师引导学生从递推公式中总结出等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d。
3.练习计算：学生通过练习计算等差数列的通项公式，巩固学习成果。
四、应用示例（30分钟）1.求等差数列的和：教师给出一个等差数列，让学生思考如何通过通项公式求出数列的和，并进行讲解。
2.实际问题的应用：-示例1：小明从1月1日起，每天存入100元，到12月31日共存了多少钱？-示例2：在一座大楼的楼梯间，第一步有10级台阶，之后每一步比前一步多2级，小明从第二步开始每一步以这个规律上楼，到第10步停下，请计算小明一共走了多少级台阶。
学生通过这些实际问题，巩固应用等差数列解决实际问题的能力。
五、练习与总结（10分钟）1.练习题：让学生独立完成一些练习题，检查学生对等差数列的概念和通项公式的理解和应用。
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@_@ 等差数列重点导读一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.二、知识要点1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数)－ =d (n 2, n∈N※且d为常数)此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)（2）前n项和公式： =或 =n+认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n= +bn(n)3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q+= + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , ,分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则 , ,…依次成等差数列.典例精析【例1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260【解法一】将S m ＝30，S 2m ＝100代入等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30，2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100. 解得d ＝40m 2，a 1＝10m ＋20m 2.所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝3m ·10(m ＋2)m 2＋3m (3m －1)2·40m 2＝210. 联想1：等差数列的前n 项和公式S n 是关于n 的二次函数，能否运用函数的思想求解？【解法二】由等差数列的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n ＝An 2＋Bn (A 、B 是常数).将S m ＝30，S 2m ＝100代入得⎩⎨⎧Am 2＋Bm ＝30，A (2m )2＋B ·2m ＝100. 解得A ＝20m 2，B ＝10m.所以S 3m ＝A ·(3m )2＋B ·3m ＝210. 联想2：由等差数列的性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成等差数列，利用此性质，此题还可以怎样解呢？【解法三】根据等差数列性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，所以S 3m ＝3(S 2m－S m )＝210.联想3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方法——特殊值法，你将会怎样解？【解法四】令m ＝1得S 1＝30，S 2＝100，从而a 1＝30，a 1＋a 2＝100，得到a 1＝30，a 2＝70，所以a 3＝70＋(70－30)＝110，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210. 评析此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维.此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：①方程思想；②函数与方程思想；③整体思想；④特殊值思想.【例2】(1)数列{1n (n ＋1)}的前n 项和 S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋1n ×(n ＋1)，研究一下，能否找到求S n 的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？并解决下面的问题 (2)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n满足2S n ＝a n ＋1.①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n . 【解】(1)a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1评析这是数列求和的裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)，并使它们相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n 项和.常见的裂项公式： ①1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k ) ②1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n ) (2)①∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1①恒成立， 当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.② ①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ②∵a n ＋1＝2n ＋1， ∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12－14n ＋2. 评析 有的数列本身不是等差数列，求其前n 项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已知数列或等差数列的和的问题. 上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种.对于变换通项法，再如：a n ＝n (n ＋1)，求S n 由a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ∴S n ＝(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n ) 转化为两个常见数列的前n 项和 【例3】(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d . (2)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n . (3){a n }是等差数列，a 15＋a 12＋a 9＋a 6＝20，求S 20 【解】(1)(方法一)(方程思想) 设此数列首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×12×11d ＝354，6(a 1＋d )＋12×6×5×2d 6a 1＋12×6×5×2d ＝3227， 解得d ＝5. (方法二)(整体思想) ⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227⇒⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162. ∵S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5. (2)由等差数列性质a n ＝a 1＋a 2n －12，b n＝b1＋b2n－12，∴a nb n＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝(2n－1)(a1＋a2n－1)2(2n－1)(b1＋b2n－1)2＝A2n－1B2n－1＝7(2n－1)＋14(2n－1)＋27＝14n－68n＋23.(3)a15＋a6＝a12＋a9＝a1＋a20∴a1＋a20＝12×20＝10∴S20＝20(a1＋a20)2＝100评析设计这三个题的目的，是为了进一步训练解决数列问题的两种主要思想方法：方程思想与整体思想.通过第(2)(3)题的解答，体会一下S n的两个公式的运用特点，哪一个更易利用整体思想.【例4】一个水池有若干水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？【分析】每隔相等的时间关闭一个水龙头，则每个水龙头放水的时间组成等差数列，用等差数列前n项和知识解决.【解析】设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，x n.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝x n－x n－1，∴数列{x n}成等差数列，∴(x1＋x2＋…＋x n)＝24n，即S n＝24n，∴n(x1＋x2)2＝24n，∴x1＋x n＝48.又∵x n＝5x1，∴6x1＝48，∴x n＝40(min)，故最后关闭的水龙头放水40 min.评析解答应用题，关键是审清题意，分析清楚各量及其关系，转化为相应的数学问题(即建立数学模型).【例5】已知数列{a n}的首项a1＝3，通项a n与前n项和S n 之间满足2a n＝S n·S n－1(n≥2).(1)求证：数列{1S n}是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n}的通项公式.(1)【证明】因为n≥2时，2a n＝S n·S n－1，又a n＝S n－S n－1，所以2(S n－S n－1)＝S n·S n－1.所以1S n－1S n－1＝－12且1S1＝1a1＝13.所以数列{1S n}是以13为首项，以－12为公差的等差数列.(2) 【解】由(1)得1S n＝13－12(n－1)＝5－3n6，所以S n＝65－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝18(3n－5)(3n－8)；当n＝1时，a1＝3不适合上式.所以a n＝⎩⎨⎧3(n＝1)，18(3n－5)(3n－8)(n≥2).评析由a n与S n形成的综合题是常见的，因为它是数列中两个主要元素，为此对a n与S n的关系一定要搞清楚.前面对此已做过训练，对所给式子是通过变换转化为关于a n的式子，还是转化为关于S n 的式子，要根据题目要求而定，此题第(1)问是证明{1S n}是等差数列，所以应找到关于S n的式子，进行推证.感悟总结本课是关于等差数列的综合运用题，各题目有一定的综合性.我们解决一个题目，不仅仅是为了得到结果，更重要的是通过对题目的分析、解决来巩固双基，锻炼各方面能力、心理素质，不断汲取数学思想.有的题目自己可能解不出来，但要通过老师的分析、讲解及自己的探索、总结、反思，从中总结出基本知识、方法的运用思想.即抓住其中的双基，不要只看问题的表面，有的题目所体现的思想、方法、技巧，不是让你在一节课内就全部理解、掌握，要有一个持之以恒、循序渐近的学习过程.不要一看不会，就想全部放弃，只要你充满信心，抓住基础，坚持不懈地学下去，一定会掌握其方法、其规律、其思想，最终取得成功，实现自己的理想.本课各题目所体现的基本方法、基本思想，在各题的分析及评析中已总结的非常清晰，在这里就不多谈了.课后练习3一、选择题1.等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项的和等于( )A.160B.180C.200D.2202.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )A.a 1a 8＞a 4a 5B.a 1a 8＜a 4a 5C.a 1＋a 8＞a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 53.设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n是数列{a n }的前n 项和，则( )A.S 4＜S 5B.S 4＝S 5C.S 6＜S 5D.S 6＝S 54.在等差数列中，a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，则a m ＋n 为( )A.m －nB.0C.m 2D.n 25.一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是( )A.1997B.1999C.2001D.20036.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A.1B.－1C.2D.12二、填空题7.等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝ .8.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝ .9.设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .10.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ，b ∈R ，且a ≠b )的四个根组成首项为14的等差数列，则a ＋b ＝ . 三、解答题 11.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. 12.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n }的前n 项和，求T n . 13.已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足： S n ＝18(a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列； (2)若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值. 14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由.课后练习2以一.选择题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ） A. 0 B. 100 C. 1000 D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9. 有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n= .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为nS 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 三.解答题 11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .12. 已知等差数列｛a n ｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。