ch4 本征函数系与本征振动
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CH4态和力学量的表示
c ( p,t ) 2 dp 是在Ψ ( x,t ) 所描写的态中测量粒子动量在 p + dp 范围内的几率.
由(4.1-2)式可以看出当已知Ψ ( x,t ) , c ( p,t ) 就完全确定了,并可由(4.1-3)式求出.反之当
c ( p,t ) 已知,Ψ ( x,t ) 就完全确定并可由(4.1-2)求出.所以根据上面的讨论,我们说 c ( p,t ) 和Ψ ( x,t )
Ψ Ψ
(4.1-15)式仍有 的形式.
⎛ ⎜ ⎜
a1 a2
(t (t
) )
⎞ ⎟ ⎟
Ψ
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
an
#
(
#
t
)
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
aq
(
t
)
⎟ ⎠
( ) Ψ † = a1* (t ) ,a*2 ,",a*n (t ) ,",a*q (t )
Ψ †Ψ = 1
(4.1-16)
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写,所取的表象不同,波函数的形式也不同,但它
x,
= i
∂ ∂x
⎞ ⎟⎠
δ
(x
−
x' )
(4.2-11)
在动量表象中 F 的矩阵元是:
∫ Fpp' =
ψ
* p
(x )F ⎜⎛
⎝
x,
= i
∂ ∂x
⎟⎞ψ ⎠
p'
(x)dx
(4.2-12)
如果 Q 既具有分立的本征值又具有连续的本征值,那么在 Q 表象中表示算符的矩阵既具有可数的
行和列(对应于本征值的分立部分)又具有连续变化的下标来表示的行和列(对应于 Q 本征值的连
简并情况下两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
求粒子的能量本征值和本征函数
求粒子的能量本征值和本征函数粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的重要概念。
在量子力学中，粒子的状态可以用波函数描述，而波函数的本征值和本征函数则可以描述粒子的能量状态。
因此，求粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的基础问题。
求解粒子的能量本征值和本征函数需要用到薛定谔方程。
薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
它可以用来求解粒子的波函数以及粒子在不同能量状态下的本征值和本征函数。
在求解粒子的能量本征值和本征函数时，需要先将薛定谔方程转化为本征值问题。
本征值问题是指在某个特定的状态下，粒子的某些物理量的取值只能是一些特定的值，这些特定的值就是本征值。
而对应的本征值所对应的波函数就是本征函数。
在求解本征值问题时，需要找到薛定谔方程的本征函数，然后将本征函数代入薛定谔方程中，得到一个本征值方程。
本征值方程的解就是粒子的能量本征值。
而对应的本征函数就是粒子在该能量状态下的波函数。
不同的粒子在不同的势场中的能量本征值和本征函数是不同的。
例如，对于自由粒子和束缚粒子，它们的能量本征值和本征函数的求解方法是不同的。
对于自由粒子，它的势场为零，因此它的能量本征值可以用动量来描述。
自由粒子的能量本征函数是平面波，其波函数具有简单的形式。
而对于束缚粒子，它的势场不为零，因此其能量本征值需要通过求解薛定谔方程来得到。
束缚粒子的能量本征函数则根据不同的势场而有所不同，例如在一维谐振子势场中，束缚粒子的能量本征函数为厄密多项式。
在求解粒子的能量本征值和本征函数时，需要注意一些常见的误区。
例如，有些人认为粒子的能量本征函数是唯一的，但实际上不同的势场下，粒子的能量本征函数是不同的。
另外，有些人认为粒子的能量本征值是连续的，但实际上粒子的能量本征值是量子化的，只能取一些特定的值。
总之，求解粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的基础问题。
在实际的物理问题中，需要根据具体的情况选择合适的方法来求解粒子的能量本征值和本征函数。
2.2本征值和本征函数的计算
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 1⎟ 0 ⎜ ⎜ 0 = ，1 = ， 2 = ⎜ ⎟ ,...... 。 ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝M⎠ ⎝M⎠ ⎝M⎠
Q
x=i
mhω h b − b+ ) ， p = b + b+ ) ， ( ( 2mω 2
1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ... ... ⎞ ⎟ 1 ... ⎟ ， ⎡ m hω ⎤ 2 ⎟ p=⎢ ... ⎟ ⎣ 2 ⎥ ⎦ ⎟ ... ⎟ ... ⎟ ⎠
1
其中 ξ = α x ， α =
mω 。解 b 0 = 0 ，所以 h
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
−
4
⎞ i ⎛ d + ξ ⎟ψ 0 (ξ ) = 0 ， ⎜ 2 ⎝ dξ ⎠
解得：ψ 0 (ξ ) =
ξ2 mω − 1 e 2 ， πh
再由 b + n = n + 1 n + 1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
相邻本征值相差 hω ， 于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1 时矩阵元才 不为零。
∴
pij = pij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
xij = xij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
将 mω 2 xij = −
H ij = Eiδ ij = =
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
ch4-电磁场和物质的共振相互作用资料
E2 E1 1 1 、 N 2 1 ：原子上、下 h 21 2 2 能级的寿命。
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下能级为基态时，对应的寿命为无穷大。则有： 1 该式完全忽略了下能级的宽度，这是 N 2 2 由于经典辐射模型的局限性造成的。 说明：某个 能级的寿命可有多个原因。 4、碰撞加宽 (1) 定义：气体中，原子或分子之间的无规“碰 撞”。在固体中，是指原于-晶格热弛豫过程。 (2) 种类 a、弹性碰撞 ( 横向弛豫过程 ) 辐射跃迁 激发态原子与基态原子；激发态原子与其它原子， 碰撞后内能转移，自己返回基态。
D
T 7.1610 0 M
7
1 2
原子量
0
2 ln 2 ~ g D ,0 e D
1 2 4 ln 2 0 2 D
2
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19
高斯线型
3、晶格缺陷加宽
(1)定义：晶格缺陷 (如位错、 洛仑兹 空位等晶体不均匀性)将使晶 线型 格缺陷部位的晶格场与无缺 陷部位的理想晶格场不同， 使缺陷部位的激活离子的能 (2)对应的加宽线型 函数很难从理论上求 级发生位移，这就导致处于 得，需要实验测其谱 晶体不同部位的激活离子的 发光中心频率不同。 线宽度。
2 2
二、加宽机制 均匀加宽、非均匀加宽、综合加宽 三、均匀加宽 1、定义：引起加宽的物理因素对每个原子都是等同 的，每个发光原子都以整个线型发射，不能把线型函 数上的某个特定频率与某些特定原子联系起来，或者 说，每个发光原子对谱线内任一频率都有贡献。
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2、种类： 自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽 3、自然加宽 (1) 原因：原子在激发态上的有限寿命。在不受外界 影响时，受激原子并非永远处于激发态，它们会自 发地向低能态跃近。 p (2) 加宽线型函数：
本征值和本征函数
本征值和本征函数
本征值和本征函数是物理学中重要的概念，它们被广泛应用于统计力学中的各类问题的解决。
本征值是指系统每个状态的能量等级，它表示该状态的能量有多高。
而相应的本征函数则表示该状态的性质。
本征值的机理可以用微积分和特殊函数之间的某种联系来解释。
假设给定一个定积分，本征值表示在它的相应本征空间中，每个状态经过不同维度变换后最终能量量化结果。
而本征函数则反映了各不同状态的性质。
本征值和本征函数的概念对统计力学的理解非常重要，如类心脏的空间分布、原子振动与能量的转化、力矩的变换等复杂问题，都可以由它们来帮助理解和解决。
它们也被广泛用于各种社会和科学实践中，为许多系统的结构和运转提供了新的本质秩序。
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
深圳大学电子科学与技术学院
实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
第一讲算符及其本征值与本征函数
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
dydz
*1 (i
) 2 dx
x
dydz(i
) *1 2
2
*1
x
dx
dydz 0 2 (i
)
x
*1
dx
dydz 2 (i
) x
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ i
t
Tˆ
Uˆ
2
2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
2
2,Uˆ (r ) 2m
U (r )
Pˆ i i ( i j k ), Pˆ 2 22 x y z
Pˆx i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
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sin
Y
1
sin
2Y
0;
X
l
0;
n 1/ 22 π2
/l2;
n 0,1,...
4. cos[(n+1/2)πx/l]
X X 0
X x cosn 1/ 2πx / l
X
0
0;
X
l
0;
n 1/ 22 π2
/l2;
n 0,1,...
%ex303(p67) function sfb x=0:0.01:1; t=10^-5*(0:10:2000); A=sf(1,t(1)); B=sf(2,t(1)); C=sf(3,t(1)); D=sf(4,t(1)); figure(1);subplot(2,1,1);
h1=plot(x,A,'r');hold on; h3=plot(x,B,'g');grid on; y1=max(abs(A));axis([0,1,-y1,y1]);
4.2 二维本征值问题
4.2.1 矩形区域的本征模与本征振动
具有固定边界Leabharlann 矩形区域拉普拉斯方程的本征值问题：
2u
2u x2
2u y 2
ux,y;
u0, y ua, y ux,0 ux,b 0;
可通过分离变量求得本征函数：
令ux,y X xY y
二维拉普拉斯方程 X X 0;
Y
Y
0;
一维热传导方程 X X 0 T a2T 0 T ea2t
一维波动方程
X X 0
T
a2T
0
T
cos
at 0
这些方程的分离变量中都会出现方程：X X 0
grid on; legend(‘k=1’,‘k=3’); title('驻波k=1、3') ; ym1=max(abs(w1));axis([0,1,-ym1,ym1]); subplot(2,1,2);h2=plot(x,w2,'r');hold on; h4=plot(x,w4,'g'); grid on; legend('k=2','k=4'); title('驻波k=2、4') ; ym4=max(abs(w4));axis([0,1,-ym4,ym4]) ; for n=2:length(t) w1=wf(1,t(n)); w2=wf(2,t(n)); w3=wf(3,t(n)); w4=wf(4,t(n)); set(h1,'ydata',w1); set(h3,'ydata',w3); drawnow; set(h2,'ydata',w2); set(h4,'ydata',w4); drawnow; end; function p=wf(k,t) x=0:0.001:1; a=1; p=sin(k*pi*x).*cos(k*pi*a*t);
X X
0
k
2 x
X
X
a
0
X x sin nπx / a
X
X
Y Y
k
2 x
k
2 y
Y Y
0
k
2 y
y
Y b
0
Y y sin mπy / b
ux, y sin nπx / asin mπy / b;
um,n , Jm kmn r m 其中kmn xnm / 0; xnm为m阶贝塞尔函数
的第n个零点
%ex106(p32-33) ; %贝塞耳(Bessel)函数\诺伊曼(Neumann)函数 clear; k=(0:3)'; m=20; x=.05:0.1:m; figure(1);subplot(2,1,1);y=besselj(k,x);
%ex302(p65) function zb t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1; w1=wf (1,0); w2=wf(2,0); w3=wf (3,0); w4=wf(4,0); figure(1); subplot(2,1,1);h1=plot(x,w1,'r'); hold on; h3=plot(x,w3,'g');
一维热传导方程 ut a2uxx 0 (0 x l)
一维波动方程 utt a2uxx 0 (0 x l)
设函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为：
u(x, y) X (x)Y ( y) 或 u(x,t) X (x)T (t)
则上述三个方程可以写为：
在波动问题中，还要考虑时间因子：T t sin kmnat 0
相应的动画演示程序为ex305
ex304
%ex305(p71) a0=1; a=2;b=1; x=0:0.05:a; y=0:0.025:b; [X,Y]=meshgrid(x,y); for m=1
for n=1:3 for i=1:50 k=sqrt((m*pi/a)^2+(n*pi/b)^2); t=i*0.02; Z=sin(k*a0*t)*sin(n*pi*X/a).*sin(m*pi*Y/b); T=['本征振动:','m=',int2str(m),',n=',int2str(n)]; mesh(X,Y,Z); axis([0,a,0,b,-1,1]); title('T'); p(:,i)=getframe; end; movie(p);
4.1.2 本征函数系的图像及其运动
上节中的四个本征函数的图像如下页图。显然，端点为第一 类边界条件时，该端点为波节，端点为第二类边界条件时， 该端为波腹。程序如下：
%ex301(p65) clear;x=pi*(0:0.001:1); A=sin([1:4]'*x); B=cos([0:3]'*x); C=sin([1/2:7/2]'*x); D=cos([1/2:7/2]'*x); figure(1); subplot(4,1,1);plot(x,A); subplot(4,1,2);plot(x,B); subplot(4,1,3);plot(x,C); subplot(4,1,4);plot(x,D);
end; end;
4.2.2 园形区域的本征模与本征振动
具有固定边界的圆形区域拉普拉斯方程的本征值问题：
2u
1
u
1
2
2u
2
k 2u;
u0 0;
可通过分离变量求得本征函数：令u, R
第四章 本征函数系与本征振动
4.1 一维本征值问题；正余弦函数系 4.2 二维本征值问题；贝塞尔函数系 4.3 三维本征值问题；球谐函数系(勒让德函数系) 4.4 用偏微分方程工具箱(pdetool)求解本征值问题；
4.0 PDE 分类
Laplacian
算子：
2 x2
2 y 2
拉普拉斯方程 （elliptic）：
subplot(2,1,2); h2=plot(x,B);hold on; h4=plot(x,D,'g');grid on; y2=max(abs(B));axis([0,1,-y2,y2]); for n=2:length(t) A=sf(1,t(n)); set(h1,'ydata',A); C=sf(3,t(n)); set(h3,'ydata',C); drawnow; B=sf(2,t(n)); set(h2,'ydata',B); D=sf(4,t(n)); set(h4,'ydata',D); drawnow; end function wtx=sf(k,t) x=0:0.01:1; wtx=sin(k*pi*x)*exp(-(2*pi*k)^2*t);
实际上对于波动方程和热传导方程，还要考虑时间本征函数：
1. 对于波动方程，时间函数为cos(nπa t/l)或cos[(n+1/2)πa t/l) 2. 对于热传导方程，时间函数为exp(-λa2t) (文中该处p66有误)
考虑时间因子后的动画分别如程序ex302和ex303所示。 显然，对于波动方程，将形成驻波，固定端(第一类边界条件) 为波节，开口端(第二类边界条件)为波腹。 对于热传导方程，若两端温度相同(第一类边界条件)，对于任 何初始温度分布，最终都将趋于平衡态，
plot(x,y);grid on; axis([0,m,-.5,1]); title('0-3阶Bessel函数'); subplot(2,1,2);y=bessely(k,x); plot(x,y);grid on; axis([0,m,-1,.6]); title('0-3阶Neumann函数');
X X 0
X x cosnπx / l
X
0
0;
X l
0;