3.5厄米算符本征函数的正交性
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3.5厄米算符本征函数的正交性
组成正交归一系：
n x n x dx nn
2
3 2
e
i pr
1 2 d 0
，（3.5.1）
ˆ 是厄米算符，1 ,1 ,n 是它的本征函数， 设算符 F
相应的本征值为 1 , 2 ,n ，则当 l k 时，有
k l d 0
ˆ F k k k
（3.5.2） （3.5.3） （3.5.4）
A ji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
nj Ajini , j 1,2,3,, f
i 1 f
（3.5.12）
使得这些新函数 nj 是相互正交的。因为 nj 的正交归一化条件：
（3.5.13） f f 1 个方程，其中 j j 的f个， j j 共有 2 2 f f 1 的有 而系数 A ji 共有 f 个，当f>1时，
，
证明：
ˆ F l l l
且当 l k 时， k l
（3.5.5）
ˆ 因为 F 是厄米算符，本征值是实数，即 k k ˆ ( F ) 所以（3.5.3）的复共轭式为 k k k 上式右乘 l ，并积分，得
ˆ ( F k ) l d k k l d
可以归一化为
函数。
即
ˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征 如果 F
函数有f个： n1 , n 2 ,,nf .11）
ˆ , i 1,2,, f , F ni n ni
这些 则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说， 函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
3.5厄米算符本征函数的正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值λn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψnj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行
的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
满足本征方程： 满足本征方程：
如果 F 的本征值λn是f度简并的，则对应λn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
ˆ Fφni = λnφni
11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符
将 cn (t ) 代入 (r , t )中，得
* * (r , t ) n (r) (r, t ) n (r )d n (r) n (r )
因为
n (r , t ) (r r ) (r , t )d
线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系简记因为所以33坐标算符和动量算符一坐标算符二动量算符33坐标算符和动量算符在量子力学中坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符它们的本征值皆可连续取值且本征波函数不能归一化只能规格化为函数
§3-2 厄米算符的本征问题
一、厄米算符的本征值必为实数 二、厄米算符本征函数的正交性 三、厄米算符本征函数的完备性
如此做下去，直到将全部本征函数变换完毕，就得到一组正交 归一化的简并波函数。 例1．已知两个既不正交也不归一的波函数
1 1 1 u1 u 2 2 2 2 2u 2u 1 2 2
利用施密特方法将其正交归一化，其中， u1 ,u 2 为任意正交归一化 基底。
* n (r ) n (r ) (r r ) n
所以
此即本征函数的封闭关系。
§3-3 坐标算符和动量算符
一、坐标算符 二、动量算符
§3-3 坐标算符和动量算符
在量子力学中，坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符， 它们的本征值皆可连续取值，且本征波函数不能归一化，只能规格 化为 函数。
n 2 c21n1 c22 n2 其次，构造 利用 n 2 与 n1 正交的要求
* * * n1n 2 d c21 n1 n1d c22 n1 n 2 d 0
* c21 c22 n1 n 2 d 0
厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数是一种量子力学中非常重要的概念，它们可用于解释原子、分子和其他微观物体上的各种物理性质。
它们也是量子力学方程中最重要的部分，因为它们可以用来描述物体在不同情况下的行为。
厄米算符本征值(eigenvalue)是一个复数值，它代表了对应算符作用在相应状态上得到的实际结果。
这个数值由施加到物体上的力或能量决定，而不同的力和能量会产生不同的本征值。
厄米算符本征函数(eigenfunction)是一个复数函数，它代表了对应的状态的形式，它包含了物体的物理性质，比如其位置、运动和能量等信息。
它们可以用来描述物体在不同情况下的行为，并且可以用来解释物理系统的演化和发展。
比如，厄米算符本征函数可以用来描述原子核的结构，以及电子在量子力学中的行为等。
厄米算符本征值和本征函数之间具有密切的关系，它们是相互依赖的。
它们可以用来解释一个物理系统的行为，以及相关物理性质的变化。
比如，厄米算符本征值可以用来表示量子力学系统中电子所处的能量状态，而本征函数则可以用来描述这些状态的形式，从而可以解释该系统的物理性质和行为。
厄米算符本征值和本征函数的计算通常需要解决复杂的方程，这些方程的形式取决于描述原子、分子等物体的力学模型。
比如，如果要求解原子核的本征值和本征函数，就需要解决相应的核力学方程。
厄米算符本征值和本征函数在量子力学中有着重要的作用，它们可以用来解释原子、分子和其他微观物体的物理性质和行为。
它们可以用来识别物体的能量状态，从而可以解释物理系统的演化和发展。
此外，厄米算符本征值和本征函数的计算也是量子力学的重要组成部分，它们可以用来描述物理系统的行为。
3.5厄密算符本征函数的正交性
k k k k k k k
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F
k
l
l
k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im
0
2
0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
4/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
3/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章 量子力学中的力学量
8/9
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F
k
l
l
k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im
0
2
0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
4/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
3/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章 量子力学中的力学量
8/9
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
量子力学算符本征函数正交归一性的探索
教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。
厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。
在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。
一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。
二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。
1.验证的正交性所以是相互正交的。
2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。
参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。
当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。
一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。
因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。
例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。
35厄米算符本征函数的正交性
§3.5厄米算符本征函数的正交性
•
p
r
p'
r d
p
p ;
p
r
1
ei
p•r
3
2 2
一．两函数正交定义：如果两函数 1, 2 满足关系式
• 1
2d
0
，（3.5.1）
则称 1 和 2 相互正交。
二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相 互正交。
设算符 Fˆ 是厄米算符，1,1,n 是它的本征函数，
（3.5.11）
如果 Fˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征
函数有f个： n1 ,n2 ,,nf ,
Fˆni nni ,i 1,2,, f ,
则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，这些
函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
的有
2
f f 1 ，
而系数 Aji 共有 f 2 个，当f>1时，
2
f
2
ff
1 ，
即待定系数 A ji
的数目大于方程的个数，
2
所以有许多种方法选择 Aji ，使得函数 nj 满足正
交归一化条件，显然 nj 仍是 Fˆ 的本征值 n 的本
征函数：
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
上式右乘 l ，并积分，得
(Fˆk )•l d k k•l d
（3.5.6）
再以
• k
左乘（3.5.4）式，在积分，得
k • (Fˆl )d l k•l d
（3.5.7）
由厄米算符定义有， k • (Fˆl )d (FˆK )•l d
•
p
r
p'
r d
p
p ;
p
r
1
ei
p•r
3
2 2
一．两函数正交定义：如果两函数 1, 2 满足关系式
• 1
2d
0
，（3.5.1）
则称 1 和 2 相互正交。
二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相 互正交。
设算符 Fˆ 是厄米算符，1,1,n 是它的本征函数，
（3.5.11）
如果 Fˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征
函数有f个： n1 ,n2 ,,nf ,
Fˆni nni ,i 1,2,, f ,
则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，这些
函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
的有
2
f f 1 ，
而系数 Aji 共有 f 2 个，当f>1时，
2
f
2
ff
1 ，
即待定系数 A ji
的数目大于方程的个数，
2
所以有许多种方法选择 Aji ，使得函数 nj 满足正
交归一化条件，显然 nj 仍是 Fˆ 的本征值 n 的本
征函数：
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
上式右乘 l ，并积分，得
(Fˆk )•l d k k•l d
（3.5.6）
再以
• k
左乘（3.5.4）式，在积分，得
k • (Fˆl )d l k•l d
（3.5.7）
由厄米算符定义有， k • (Fˆl )d (FˆK )•l d
厄米算符本征函数的正交性
c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2 c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
c[ d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2] c *[ d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1]
令c = 1，得：
d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2 d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1
f
Fˆ nj Fˆ
Ajini
i 1
f
Aji Fˆni
i 1
f
Fn
Ajini
i 1
Fn nj
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
f
nj
Ajini
i 1
j 1,2,, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
设 1,2 ,n , 是厄米算符 Fˆ 的本征函数，它们所属的本征值
1, 2 ,n , 都不相等，证明当 k l 时有 k l d 0 证明：已知 Fˆk kk Fˆl ll
当
k l 时 k l
因为 Fˆ 是厄米算符，它的本征值都是实数，即 k k
共厄复式为 (Fˆk ) kk
以 l 右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得
则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用
f 2 个常数 Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj
f
nj Ajini , j 1,2,, f i 1
使得这些新函数 nj 相互正交，显然，nj 仍是 Fˆ 属于本征值 n
的本征函数：
f
Fˆnj Aji Fˆni n Ajini n nj , i 1
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§3.5 厄米算符本征函数的正交性 已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二 个重要的性质： a.厄米算符本征值是实数； b.厄米算符本征函数是正交的。 本节来介绍厄米算符第二个性质。 1．什么叫二个函数Ψ1、Ψ2的正交？ 若
Ψ1*Ψ2 dτ = 0 ∫
(3.5.1） ）
（积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、 Ψ2相互正交。
* k
ˆΦ )* Φ dτ = λ Φ* Φ dτ = k∫ k l ∫ (F k l
所以，
(λk − λl ) ∫ Φ* Φ l dτ = 0 k
，（∵λk≠λl）
得，
Φ * Φ l dτ = 0 ∫ k
这就是我们所要证明的.
(3.5.8） ）
分立谱、 （2）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正交归一条件分别为： 分立谱正交归一条件分别为：
ψ nlm (r ,θ ,ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ ,ϕ )
∫ ∫ ∫
0 0
∞
π
2π
0
ψ
* nlm
(r , θ , ϕ )ψ n′l ′m′ (r ,θ , ϕ )r sin θ dθ dϕ
2
= δ nn′δ ll ′δ mm′
j
是本征值F 的本征函数。 1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
ˆ ˆ Fψ nj = F ∑ Ajiφni
ˆ = ∑ Aji Fφni
i =1 f
f
i =1
= Fn ∑ Ajiφni
i=1 =
f
= F nψ
nj
满足正交归一条件的f个新函数ψ 可以组成。 2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ˆ FΦ k = λk Φ k
ˆ FΦ l = λl Φ l
(3.5-3） ） (3.5-4） ） (3.5-5） ）
并且
λk ≠ λl
由厄米算符的定义
ˆ ˆ Φ* F Φ l dτ =l ∫ ( F Φ k )* Φ l dτ ∫ k
左边 右边
ˆΦ dτ = λ Φ * Φ dτ l∫ k l ∫Φ F l
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值Fn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
2．厄米算符本征函数是正交的 分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互 正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄 成相互正交。 a.属不同本征值的本征函数相互正交。
设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值 为λ1、λ2、…，则有
证明： 已知
∫ Φ Φ dτ = 0
* k l
(3.5-2） ）
φn *φndτ = 1 ∫ ∫φm *φndτ
∫φ
m
* φn dτ = δ mn
(3.5-10） ）
2. 连续谱正 交归一条 件表示为
φλ *φλ′dτ = δ (λ − λ′) ∫
(3.5-11） ）
满足上式的函数系φ 称为正交归一（函数） 满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1 f
j = 1,2,L, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f f(f件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。 个数即可。
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
ˆ 如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程： 满足本征方程：
ˆ Fφni = Fnφni
i =1,2,L, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
2π
0
Φm*Φm′dϕ = δmm′
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl (cos θ )e imϕ
m
m = 0, ±1, ±2, L , ± l
∫ ∫
0
2π
π
0
* Ylm (θ ,ϕ )Yl′m′ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ = δll′δ mm′
（4）氢原子波函数组成正交归一系
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行 的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确 定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本 征值的正交归一化的本征函数。
ψ n ( x) = N n e
N n N n′ ∫ e
−∞ ∞ −α 2 x 2
−α 2 x 2 / 2
H n (α x)
H n (α x) H n′ (α x)dx = δ nn′
（3）角动量本征函数组成正交归一系 1. Lz 本征函数
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
∫
2. L2本征函数
Ψ1*Ψ2 dτ = 0 ∫
(3.5.1） ）
（积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、 Ψ2相互正交。
* k
ˆΦ )* Φ dτ = λ Φ* Φ dτ = k∫ k l ∫ (F k l
所以，
(λk − λl ) ∫ Φ* Φ l dτ = 0 k
，（∵λk≠λl）
得，
Φ * Φ l dτ = 0 ∫ k
这就是我们所要证明的.
(3.5.8） ）
分立谱、 （2）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正交归一条件分别为： 分立谱正交归一条件分别为：
ψ nlm (r ,θ ,ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ ,ϕ )
∫ ∫ ∫
0 0
∞
π
2π
0
ψ
* nlm
(r , θ , ϕ )ψ n′l ′m′ (r ,θ , ϕ )r sin θ dθ dϕ
2
= δ nn′δ ll ′δ mm′
j
是本征值F 的本征函数。 1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
ˆ ˆ Fψ nj = F ∑ Ajiφni
ˆ = ∑ Aji Fφni
i =1 f
f
i =1
= Fn ∑ Ajiφni
i=1 =
f
= F nψ
nj
满足正交归一条件的f个新函数ψ 可以组成。 2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ˆ FΦ k = λk Φ k
ˆ FΦ l = λl Φ l
(3.5-3） ） (3.5-4） ） (3.5-5） ）
并且
λk ≠ λl
由厄米算符的定义
ˆ ˆ Φ* F Φ l dτ =l ∫ ( F Φ k )* Φ l dτ ∫ k
左边 右边
ˆΦ dτ = λ Φ * Φ dτ l∫ k l ∫Φ F l
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值Fn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
2．厄米算符本征函数是正交的 分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互 正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄 成相互正交。 a.属不同本征值的本征函数相互正交。
设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值 为λ1、λ2、…，则有
证明： 已知
∫ Φ Φ dτ = 0
* k l
(3.5-2） ）
φn *φndτ = 1 ∫ ∫φm *φndτ
∫φ
m
* φn dτ = δ mn
(3.5-10） ）
2. 连续谱正 交归一条 件表示为
φλ *φλ′dτ = δ (λ − λ′) ∫
(3.5-11） ）
满足上式的函数系φ 称为正交归一（函数） 满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1 f
j = 1,2,L, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f f(f件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。 个数即可。
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
ˆ 如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程： 满足本征方程：
ˆ Fφni = Fnφni
i =1,2,L, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
2π
0
Φm*Φm′dϕ = δmm′
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl (cos θ )e imϕ
m
m = 0, ±1, ±2, L , ± l
∫ ∫
0
2π
π
0
* Ylm (θ ,ϕ )Yl′m′ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ = δll′δ mm′
（4）氢原子波函数组成正交归一系
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行 的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
∫ψ
nj
*ψ nj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确 定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本 征值的正交归一化的本征函数。
ψ n ( x) = N n e
N n N n′ ∫ e
−∞ ∞ −α 2 x 2
−α 2 x 2 / 2
H n (α x)
H n (α x) H n′ (α x)dx = δ nn′
（3）角动量本征函数组成正交归一系 1. Lz 本征函数
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
∫
2. L2本征函数