厄米算符的本征值和本征函数转置算符-Oriyao
量子力学 刘劲松 7讲
二、 厄密算符的本征值与本征函数（5）
正交归一化的表示
由 n d r 0, 或（ m , n ) 0
* m 3
以及 n d r 1, 或（ n , n ) 1
* n 3
有 n d r mn
* m 3
* 2 3
An | n | d r An . A是实数 An也是实数。
8
二、 厄密算符的本征值与本征函数（4） 定理2：厄密算符的属于不同本征值的本征 函数，彼此正交。即
证 ˆ A是厄密算符，且 A n A n n , A m A m m， * ˆ * * A * ，左乘 , 积分，得 A A , 有A
1, m n 0, m n
或 m , n ) mn （
11
三、角动量的本征值与本征函数（1）
ˆ rp ˆ 角动量 l r p, 角动量算符 l ˆ i i( e e e ) 在直角坐标下， p x y z x y z ˆ ˆ ˆ ˆ r xex ye y zez , l l x ex l y e y l z ez ˆ i( y z ), lx z y ˆ i( x y ) lz y x ˆ i( z x ) ly x z
2
0
e i ( n m ) d 0
18
三、角动量的本征值与本征函数（6）
例2：平面转子的本征值与本征函数 绕z轴旋转的平面转子，设I 为转动惯量，则 lˆz2 2 2 ˆ H 。能量本征方程为 2 2I 2 I
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
量子力学——算符
换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。 分别是
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)
思考
与
的交换算符，
由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
厄米算符本征值和本征函数
AB BA
（3.3.8）
d.任何算符总可分解为
i
（3.3.9）
令
1
米算符。2
、 1
2i
，则 和 均为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：
① 厄米算符的平均值是实数，因为
*
O
*
m
Om
*
m
由
O m n Om m n
及O的厄米性质，O m n m O n ，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
得证。若本征函数是正交归一化的，则有
* dr
*
dr
* dr
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。
③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。
④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。
成立，而且 1 、 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利
用（1）式得
(1 2 ) O(1 2 ) O(1 2 ) (1 2 )
（2）
因为 O在 1、 2 中的平均值也是实数，所以上式又写为
1 O 2 2 O1 O1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
对 1和 2作变换，令
量子力学中的量子力学算符
量子力学中的量子力学算符量子力学中的量子力学算符是描述量子系统性质的重要工具。
它们代表了物理量的数学运算符，用于计算和预测系统的态矢量的演化和测量结果。
本文将介绍量子力学算符的基本概念、性质和应用。
1. 算符的定义在量子力学中，算符是表示物理量的数学运算符。
它们作用于态矢量，用于计算物理量的测量结果或表示系统的演化。
量子力学算符通常用大写字母表示，例如位置算符X、动量算符P和能量算符H等。
2. 算符的性质量子力学算符具有多个重要性质，包括线性性、厄米性和厄米算符的本征值问题。
2.1 线性性：量子力学算符是线性的，即对于任意常数a和b，有F(aψ + bφ) = aF(ψ) + bF(φ)，其中F表示任意量子力学算符。
2.2 厄米性：厄米性是量子力学算符的重要性质。
一个算符F的厄米共轭算符F†定义为满足内积关系⟨ψ|F†φ⟩ = ⟨Fψ|φ⟩的算符。
对于厄米算符F，其本征值都是实数。
2.3 厄米算符的本征值问题：对于厄米算符F，存在一组完备正交本征态{φn}，其对应的本征值{fn}都是实数。
即Fφn = fnφn。
这个本征值问题是量子力学中重要的数学工具，可以用于计算物理量的测量结果和态矢量的演化。
3. 常见的量子力学算符量子力学中存在着许多常见的算符，这些算符用于描述各种物理量和系统性质。
3.1 位置算符X：位置算符X表示粒子在空间中的位置。
对于一维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数；对于三维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数。
3.2 动量算符P：动量算符P表示粒子的动量。
对于一维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数；对于三维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数。
3.3 能量算符H：能量算符H表示粒子的能量。
它是量子体系的哈密顿算符，其本征态是能量空间的波函数。
4. 算符的应用量子力学算符在物理学中有广泛的应用。
它们可以用于计算各种物理量的期望值、计算系统的演化和描述量子力学中的各种现象。
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
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若算符 满足
即
* *
* * d r dr
（3.3.3） （3.3.4）
则称 为转置算符。 , 为任意函数。
3. 复共轭算符
*
*
p i 的复共轭算符 。例如算符 x 的复共轭算符 x * px i px 。 x
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介 绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些 定义：
1.希尔伯特空间中矢量的内积
希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两 个波 函数 和 的内积为 （3.3.1） * d r 它具有下述性质：
将算符 中的所有复量均换成它的共轭复量，称为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
4. 厄米算符
算符 的厄米共轭算符 ，定义为 （3.3.5）
*
则
* , , * , *
*
,
,
*
（3.3.6）
厄米算符具有下列性质： a.两厄米算符之和仍为厄米算符。 b.当且仅当两厄米算符 A 和 B 对易时，它们之积才为厄米算 符。因为 （3.3.7） AB B A BA
BA AB ，才有 只有在 [ A, B] 0 时， 米算符。
d.任何算符总可分解为
米算符 ，则 和 均为厄 、 2i
（3.3.9）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： ① 厄米算符的平均值是实数，因为
iii 若 C1 、 C2 为常数
i
dr 0
2
ii
*
（3.3.2）
C11 C22 C1 1 C2 2
C11 C2 2 C1* 1 C2* 2
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得证。若本征函数是正交归一化的，则有 1 (m n) m n mn 0 (m n) 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。
( 1 2 ) O( 1 2 ) O( 1 2 ) ( 1 2 )
（2）
2 中的平均值也是实数，所以上式又写为 因为 O 在 1、
1 O 2 2 O 1 O 1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
1 O 2 O 1 2 2 O 1 O 2 1
因此， O 必为厄米算符。得证。
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ④ 的证明： O n On n
O m Om m
且 On Om (m n) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * Om Om 是实数， 。本征方程的共轭方程为
* O* O m m m *
由
O m n Om m n
及 O 的厄米性质，O m n m O n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令 1 1eia , 2 2 eib （ a , b 为任意实数） 代入（3）式后得
ei ( b a ) [ 1 O 2 O 1 2 ] ei (b a ) [ O 2 1 2 O 1 ]
（4）
因为 a , b 任意，上式成立的充要条件为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ② 的证明：由 O O *
O O
*
得
（1）
O
上式并不足以说明算符 O 厄米，因为 是同一个态。要 证明 O 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 1 O 2 O 1 2 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利 成立，而且 1 、 用（1）式得
AB
AB
，即 AB 仍为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
c.无论厄米算符 A 、 B 是否对易，算符 必为厄米算符，因为
1 AB B A 2
及 21i AB B A
1 1 1 1 1 AB BA B A A B A B B A AB BA （3.3.8） 2i 2i 2i 2i 2i
dr dr dr
* *
*
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 ③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。 ④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 ⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。 ⑥ 厄米算符的本征函数系具有完备性。 ⑦ 厄米算符的本征函数系具有封闭型。