H(三章2讲)算符本征函数系

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第三章 力学量的算符汇总

第三章 力学量的算符汇总
Fˆn Fnn
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态, 上式即是算符F的本征方程。求解时,ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题:本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符
(1)线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号,所以它单独存 在是没有意义的,仅当它作用于波函数上,对波 函数做相应的运算才有意义,例如:
Ôu
换的算符。
1)du / dx = v , d / dx
n
综上所述,量子力学作如下假定:
就是算符,其作用 是对函数 u 微商, 故称为微商算符。
2)x u = v, x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描 写时,坐标 x 的算符就是其自身,即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象(非自身表象)中的形式 必须改造成动量算符形式:
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符 称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和 仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题:厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为
注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + (-Û)。

哈密顿算符的本征函数

哈密顿算符的本征函数

哈密顿算符的本征函数在量子力学中,哈密顿算符(Hamiltonian operator)是描述系统总能量的算符。

它是一个线性厄米(Hermitian)算符,通常表示为H。

哈密顿算符的本征函数(eigenfunctions)是指满足以下方程的函数:Hψ = Eψ其中,H是哈密顿算符,ψ是本征函数,E是对应的本征值(eigenvalue)。

在这个方程中,哈密顿算符作用于本征函数得到一个常数倍的结果。

1. 定义和用途哈密顿算符的本征函数描述了量子力学体系中粒子的可能状态。

通过求解哈密顿算符的本征值问题,我们可以得到体系的能级和相应的波函数。

这些能级和波函数提供了关于体系性质和行为的重要信息。

具体来说,哈密顿算符的本征函数用于:1.描述粒子在不同能级上可能存在的状态:每个本征函数对应一个特定能级,并且描述了粒子在该能级上可能存在的概率分布。

通过求解哈密顿算符本征值问题,我们可以得到一系列不同能级上的本征函数。

2.计算物理量:根据量子力学原理,物理量的期望值可以通过对本征函数进行适当的数学操作得到。

例如,对于可观测量A,其期望值可以表示为:⟨A⟨= ∫ψ* A ψ dV其中,ψ*是本征函数的复共轭,A是可观测量算符。

3.描述波函数演化:哈密顿算符的本征函数可以用来描述体系随时间演化的波函数。

根据薛定谔方程(Schrodinger equation),波函数随时间的演化可以由如下形式表示:ψ(t) = Σ C_n ψ_n e^(-iE_n t/ħ)其中,C_n是展开系数,ψ_n是哈密顿算符的本征函数,E_n是对应的能量本征值。

2. 哈密顿算符的工作方式哈密顿算符作用于本征函数时,会得到一个常数倍的结果。

这个常数就是对应的能量本征值。

具体来说,哈密顿算符H作用于本征函数ψ后得到:Hψ = Eψ其中E就是能量本征值。

求解哈密顿算符的本征值问题通常需要使用一些数学工具和技巧。

一种常见的方法是使用分离变量法(separation of variables)。

量子力学 第三章

量子力学 第三章

2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ,它的本征函数用 (r )表示 p
本征方程为
i(r ) p (r ) p
它的三个分量方程为 i (r ) px(r ) p x i (r ) p y(r ) p y i (r ) pz(r ) p z
ˆ 有确定值,这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数 (r ) 当体系处于 P 所描写的状态时,体系 P ˆ 的本征值。 的动量有确定值,这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数 所描写的状态时,它表示的 ˆ 力学量F 有确定值,这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。 五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和 设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F(P,r ) 将动量 P 换成
例如,确定角动量 L 的算符, r P L
ˆ L r i) ir (
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于 所描写的状态时,体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时,体系的能量
m
Pl (cos) 是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl () l ( ) 1 ( 2 1 l ) l m 2 l! d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即

0

2
0
Y(,)Y(,) dd 1 sin
Nlm
(l m) 2l 1 ! ( ) (l m) 4 !
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数,如果 Fu Gu Mu ,算符 M 称为

§3.1算符运算(讲稿)

§3.1算符运算(讲稿)

第三章 力学量用算符表达§ 3.1 算符的运算规则 一、 运算规则二、 算符的对易关系三、 坐标、动量的对易关系 四、 角动量的对易关系 五、 算符的函数 § 3.2 厄米算符一、 本征值为实数 二、 本征函数正交三、 本征函数系构成完备集合 四、 简并五、 量子力学的基本假定 § 3.3 共同本征函数系 一、 不确定关系二、 两个力学量有共同本征函数系的条件 三、 力学量完全集四、 {zL L ˆ,ˆ2}的共同本征函数系第三章作业教材P132 ~ 133:3、7、11、12、16§ 3.1 算符的运算规则 一、运算规则ψ、Φ − 任意态矢量,1C 、2C − 任意复常数。

1、 线性算符ΦψΦψA C A C C C A ˆˆ)(ˆ2121+=+ 2、 算符相等B A B Aˆˆˆˆ=→=ψψ 3、 单位算符ψψ=Iˆ4、 算符之和ψψψB AB A ˆˆ)ˆˆ(+=+ 满足交换律A B B Aˆˆˆˆ+=+ 满足结合律C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 5、 算符之积)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB AB A = 依次作用于波函数。

满足结合律)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(C B A C B A= 一般不满足交换律A B B Aˆˆˆˆ≠ 例如x x p x x pˆˆ≠ 因为)()]([)()ˆ()()()()ˆˆ(x dx d i x x p x x x dxd i x x p xxψψψψ -=≠-=幂运算n m n m n A A AA A A A+==ˆˆˆˆˆˆˆ[例题1] 证明任意算符与单位算符交换,即 A I I Aˆˆˆˆ=. 对于任意态ψψψψA I A I Aˆ)ˆ(ˆ ˆˆ== ψψψA A I A Iˆ)ˆ(ˆˆˆ== 所以A I I Aˆˆˆˆ=6、 逆算符若由 Φψ=A ˆ 能唯一地解出ψ,则可定义A ˆ 的逆算符 1ˆ-AΦψ1ˆ-=A. 性质:I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- 111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A因为I B B B I B B A A BI B A B Aˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ)ˆˆ()ˆˆ(11111====-----7、 算符的复共轭Aˆ的复共轭*ˆA :将A ˆ的表达式中所有量换成其复共轭。

12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.

12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.

分离变量
() 其中, 1 2
eim 。
由求解过程可知,为使 Y(,) 在区间 [0, ] 内有限,必须 l (1 l ) l 0 , 1 , 2 ,
方程的解
m m i m Y ( , ) ( 1 ) N P ( c o s ) e m 0 , 1 , 2 , l l m l m l
ˆy y ˆx) i iy ix (x p p Lˆ z x y
ˆ Lz i
2.对易关系
ˆ, ˆ] ˆ [ L i L L
ˆ , [ L i ]
2 1 1 2 ˆ L Y ( ,) s i n Y ( ,) Y ( ,) 2 2 s i n s i n 2 2


Y ( , ) ( ) ( )
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动,角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量,将其称为轨道角动量。 1.轨道角动量算符的定义
ˆ rp ˆ L
ˆ yp L ˆ z zp ˆy x ˆ ˆ x xp ˆz L y zp ˆ ˆ ˆ L z xp y yp x
二、力学量完全集
2
ˆ 的本征值简并,仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 算符 L l ˆ L 要唯一地确定其本征态,必须启用另一个与之对易的算符 。这样 z 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系,能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之,如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态,就将这N个力学量称为力学量完全集, 或者完整力学数量组。

第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件

第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件

1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y

[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz

[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2

2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数: caib
cc*aib
矩阵: F ij
Fij Fj*i (即转置后取复共轭)
算符: 对任意的波函数 和1 ,2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c(复数),则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )

量子力学第三章3.2_1

量子力学第三章3.2_1

r r r h r ˆ 即: L x = i ⋅ L = i ⋅ (ϕ 0 i r r r h r ˆ L y = j ⋅ L = j ⋅ (ϕ 0 i
∂ r − θ0 ∂θ ∂ r sin θ ∂ϕ
r r r h r ∂ r 1 ∂ ˆ ) − θ0 L z = k ⋅ L = k ⋅ (ϕ 0 i sin θ ∂ϕ ∂θ
i ' ' ' = c ∫ ∫ ∫ exp{[ (p x − p x ) x + (p y − p y ) y + (p z − p z )z]}dxdydz −∞ −∞ −∞ h
2
+∞ +∞ +∞
1 而 δ( k ) = 2π

+∞
−∞
e ikx dx ; δ(ax ) =
1 δ( x ) a
则:
即 p x 只能取以下分立值:
2πh h n x = n x , n x = 0,±1,±2 … px = L L
2πh h n x = n x , n x = 0,±1,±2 … px = L L
2πh h n y = n y , n y = 0,±1,±2 … 同理可得: p y = L L
2πh h n z = n z , n z = 0,±1,±2 … pz = L L
r 1 ∂ r ∂ r ∂ 1 而 ∇ = r0 + θ0 + ϕ0 ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
r r h r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ) + ϕ0 则: L = r r0 × ( r0 + θ 0 i ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
h r ∂ r 1 ∂ = (ϕ 0 ) − θ0 i sin θ ∂ϕ ∂θ

力学量和算符

力学量和算符

第三章 力学量和算符内容简介:在上一章中,我们系统地介绍了波动力学,它的着眼点是波函数 。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述,它的着眼点是力学量和力学量的测量,并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量,它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子,出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数,就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到:所谓“确定”,是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时,它的力学量,如坐标、动量、角动量、能量等,不同时具有确定的数值,而具有一系列可能值,每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数 后,力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法,可以算出该力学量的平均值,进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由 给出,而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果,在这种意义下认为,波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态,按照波函数的统计解释,2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率,因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是:()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

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(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、(厄密)算符对易式
0, 称为不对易
三、厄密算符的本征方程
定义:
Aˆ a
如上式,若厄密算符作用于一波函数,结果等于一个常数乘以 这个波函数,则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值, 为属于a 的本征函数,
测量公设:在任意态下对力学量A进行测量,其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ;当体系处于算符A的某一本 征态 n 时,则每次测量值是完全确定的,即为an
四、厄米算符的本征值与本征函数的相关定理:
1. 厄米算符的本征值为实数。
2. 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米 算符。
3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
4. 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合 后使它正交归一化。
5. 厄米算符的本征函数系具有完备性。 6. 厄米算符的本征函数系具有封闭性。
3. 波函数可在任一力学量算符的本征函数系上的展开,且与由 展开系数矩阵等效。波函数是Hilbert空间的一个矢量。
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场,通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业:1.
2.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 3. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
个态矢量
(c1, c2 , )
r P (x1, x2, x3)
统计理解:展任开一,波展函开数系都数可| c在n |本2就征是函数处系于(本基征组态{nn}的)概上率
(n, )n cnn
n
n
测量理解:展开系数| cn |2就是在 态时对力学量A进行测量时,
所得值是本征值an 的概率;并且,每一测量值都 属于本征值集{an }
取:1 1eia , 2 2eib,代入上式,有
ei(ba)[(ψ1,Aˆ ψ2 )-(Aˆ ψ1,ψ2 )]=ei(ba)[(ψ2,Aˆ ψ1)-(Aˆ ψ2,ψ1)]
Q
a,
b
是任意实数,
((ψψ12,,AAˆˆ ψψ21
)=(Aˆ ψ1,ψ2 )=(Aˆ ψ2,ψ1
) )
,
证毕
定理3 厄密算符的任意两属于不同本征值的本征函数正交.
tips:若本征函数本来是归一的,可以把正交与归一合并
本征分立谱:
n * nd 1
m * nd 0
定义:mn=1, m n
0, m n
即:
m
* nd
mn
( m , n ) mn
本征连续谱:
* d 1
* 'd 0
定义: ( ') =1, ' 0, '
有:
* 'd
(
')
( , ') ( ')
正交归一系:
满足以上条件的一组本征函数 {ψn }或{ψλ } 构成正交归一系。
定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数 可经重组后变得正交归一化:
如果对于同一本征值有多个独立的本征函数
Aˆ ai a ai , (i 1, 2,3,..., f )
则称本征值a是f重简并的,称这种态叫简并态
n
k
我们来看态函数的展开系数:
cn cmnm cm (n ,m ) (n , cmm )
m
m

m
(n , )
它是态矢量在相应本征函数上的投影!
cnn n
r
r
P xnen
数学理解:态函数就象矢量,本征函数就象基矢;态函数的展
开系数就是在相应基矢上的投影;所有的投影构成了态函数在
这组本征函数基组上的坐标;坐标构成的数集可以用来表示这
综合定理3和4
定理3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交。 定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交。
我们可以认定厄密算符的本征函数是彼此正交归一的
即: 对于厄密算符A,本征方程如下,
Aˆ n ann,
则:
m * nd mn
( m , n ) mn
定理5 厄密算符的本征函数系具有完备性,构成完备系.
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第三章:量子力学中的力学量
第二讲:算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符

(c11
c2 2 )
c(1 Aˆ
1) c(2 Aˆ

2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
n* (x '')n (x ') (x '' x)
n
投影:
n*(x) (x) cn
(n , ) cn
再论波函数:
波函数完全描述微粒的状态
1. 统计解释:波函数的模方描述粒子的概率分布 ω(r, t) = |ψ(r, t)|2
2. 波函数已知, 则任意力学量的本征值、权重及它们的统计 平均都可知道。即描写粒子状态的一切力学量都能知道。波 函数完全描述体系的量子态,也称态函数。
完备性:任一态函数都可用任一力学量的本征函数系展开,不 再需要使用其他任何函数。
cnn n
ckk k
...
(r,t) cn (t)n (r) n
(r,t) ck (t)k (r) k
...
如何理解这种完备性?
如何理解这种完备性?
比较空间矢量与态矢量:
三维空间任一矢量:
封闭性:本征函数在自身的投影是一个δ函数
封闭性的理解
1.本征函数的封闭性也可看作是 函数按本征函数展开
时,其展开系数恰好是本征函数的复共轭。
n* (x)n (x) ( x x)
n
(x x) n* (x)n (x)
n
2. 本征函数在自身的投影是δ函数, 在其它本征函数上 的投影是0
c11 c22 ... cn n (c1, c2 ,..., cn )
证明如下:
( , Aˆ ) ( , Aˆ cnn) ( , cnAˆ n) ( , cnann)
n
n
n
( cmm , cnann )
m
n
c*mcnanmn c*ncnan
m,n
n
|cn|2 an
n
说明它的确就是测得本征值an的概率!
测得值只能是本征值系中的一个,不可能是其他的什么值。
定理1 厄密算符的本征值是实数
定理2 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符
Q A的平均值是实数
A A*
(ψ,Aˆ ψ)=(Aˆ ψ,ψ)
令: 1 2 ((1 2),Aˆ (1 2))=(Aˆ (1 2),(1 2))
(ψ1,Aˆ ψ2 )+(ψ2,Aˆ ψ1)=(Aˆ ψ1,ψ2)+(Aˆ ψ2,ψ1)
n (x) 01 02 ... (x x ')n (0,0,..., (x x '))
为什么投影是“δ” 函数,
n (x) (0, 0,...,1,...)
(x) cnn (x)
n
n (x) cnn (x) 1n (x)
n
n (x) cnn (x ') (x x ')n (x ')
我们先理解正交的含义,再证明这个定理
rr rr 看两个空间矢量内积:如果 (r1, r2 ) r1gr2 0
我们就称两矢量正交(也称线性无关),即一个矢量在 另一个矢量方向的投影为零。内积的实质就是求投影!
如果两个函数的内积 (1, 2) 0,我们称他们正交!
正因为如此,我们常称波函数为态矢量!
例如:原子的px,py,pz三个轨道都有相同的本征能量,但是波函数 却是不同的,因此它们就是3重简并的。
2s
2px 2py 2pz
这f个函数不一定彼此正交归一,但它们可以重新组合 成f个独立而且彼此正交归一的新函数,这些新函数依然 是本征值a的本征函数。

解:先找正交归一化函数
再来看它们是否简并
r P xi yj zk
r x1e1
r x2e2
r x3e3
r
xnen
坐标基矢正交归一:
rr em gen
mn
{er1, er2 , er3} 是一组完备的正交归一系(基组),
所以,空间上任意矢量都可以用这个基组展开,不再 需要添加其他任何基矢。坐标基组是完备的!
继续… cnn ckk ...
由本征函数系 {n}所张开的n维矢量空间,称为
Hilbert空间,波函数 是这个空间的一个矢量
定理6 厄密算符的本征函数具有封闭性.
封闭性是完备性的充要条件:
(x) cnn (x) 完备性
n
Q cn n*(x) (x)dx
(x) ( n*(x)n (x)) (x)dx n
n* (x)n (x) ( x x) (n (x '),n (x)) (x x ') n
n
x 原因在于基函数是一种函数,带有自变量 ;也就是
x 说,即算对于同一个基函数,自变量 的值不同,函
数的值也是不同的!
本征函数小结:
正交归一性:
m *nd mn
(m ,n ) mn
完备性:
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性:
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
|cn|2 1
n
证毕!
波函数与矩阵的等效性 就如三维空间一个矢量与其坐标数组是等效的;
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