高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列
高斯小学奥数含答案三年级(上)第14讲树形图
我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举?接下来我们将要学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法?所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可例题 1 乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第 1 个，兔子不站在第 2 个米老鼠不站在第 3 个，请问它们共有多少种不同的站法?分析：第 1 个位置可以站哪些小动物？第 2 个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根” 表用树形图示出所有的站法.甲、乙、丙4个人站队，站成一条直线?如果甲不站第1、2 个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4 个丁不站第4、1 个，那么一共有多少种站队的方法?b厂第十四讲\r1树形图II. fi li (小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任 何一人 . 先由小高拿球，第 1 次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过 次传球之后，球又回到了小高手里 . 请问一共有多少种不同的传球过程 ?分析：第 1 次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁 里 上才是符合题意的传法 .不同，一共有多少个满足条件的四位数 ?分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为: 练习 3）一个三位数 位上的数字都是 5、6、 7 中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数 ?☆题2注意：只有第 4 次传球后回到小高手练习 2有 A 、B 、C 三片荷叶 ' 青蛙另一片荷叶上，结果它跳了呱呱”在荷叶 A 上，每次它都会从一片荷叶跳到3次之后，不在荷叶 A 上. 请问：它一共有多少种不同的跳法 ?例题 3一个四位数，每一位上的数字都是0、1、2 中的一个，并且相邻的两个数字树根”来画树形例题 4王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码 . 只记得密码是一个三位数. 这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 5 大的数字 . 试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包 画出树形图卜析：百位数字最小， 有几种情况？把这些情况分别作为“树根”一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于数一共有几个？例题5常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛. 如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来?注意：不会有古常----- 古古- 常——（常）这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第 4 场后古力已经获胜，不符合题意.例题65 块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1 号地毯上，他想要走到5 号地毯上?如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1f 2—3—5 就是一种可能的走法. 请问：小高一共有多少种不同的走法？分析：注意开始是从 1 号毯开始，结束在 5 号地毯才能符合题意汽车品牌家族树形图甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？2.且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？3. 粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7 三个数字中的某些数字构成的，4. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜. 已知甲胜了第 1 局，并最终获胜. 请问一共有多少种不同的比赛过程？5. 满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过 2 . 例如：135 、234 为阶梯数，156 就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？☆2种 121233龟兔鼠鼠龟兔212312344墨■墨小小萱萱小 墨萱小墨墨曰311222211212 2 2 1001 22141 第十四讲 树形图可以画成树形图，如下图，共详解 1 次可以给萱萱可以画成树形图，第8 种， 2 的也有 8 种，共 16树根有 1 的共有1、2 4 10 次2、3 三个数作为树可以画出三幅树形分别详例题 答案 例题答例题 答案 详解 例题 答案详解 种.1 2种2 6种3 16 种可以画成树形图，如下图，树根有 也可以给墨莫，如下图，共 6 种5. 例题 5答案：10 种6. 例题 6答案： 5 种详解：可以画成树形图，共有 5 种.4535245 145 3572种12341243甲甲甲乙丙丁 甲乙丁 丁8123 123 BBAACCCBBCAAC练习93答案简答 练习 答案 简答 6种 12 种 2 6种3 次后不在 A 荷叶上，如下图，共可以画成树形图，如下图，树根B 、 C 荷叶上 跳了 5、6、7 树根是 5的共有 4种，6 的也有 4种，7的也有 4 种，共 12可以画成树形图，第 1 次可跳在B丙 练习 1 答案： 2 种 简答：可以画成树 形图，如下图，共510 练习答案：简答：7610 种可以画成树形图，从个位开始枚举如下图，共百＞98581 作业 11答案：342;423简答：可以画成树形图3、4 2、2、3 12 作业 23答案：3简答：可以画成树形图710 种百＞513. 作业3简答：如下图. 首位是 2 或7 开头的密码也有 4 个，所以符合条件的有12 个，最多要试12 次.14. 作业 4答案：615. 作业 5答案：24 个简答：如下图，可分别画出百位是1、2、3、4、5、6、7的树形图，百位为1的有4种，百位为2的有4 种，百位为 3 的有 4 种，百位为 4 的有 4 种，百位为5 的有 4 种，百位为6 的有 3 种，百位为7 的有 1 种，共有24 个阶梯三位数.甲丙乙丙甲丙甲丙乙丙13. 作业 3答案：12简答：如下图．首位是2 或 7 开头的密码也有 4 个，所以符合条件的有 12 个，最多要试 12次．百十个127 117214. 作业 4答案： 6简答：可以画成树形图：1、 2 、 3、 4、 5 、 6、 7 的树形图，百位为 1 的有 4 种，百 位为 2 的有 4 种， 百位为 3 的有 4 种，百位为 4 的有 4 种，百位为 5 的有 4 种，百位为 6 的有 3 种，百位为 7 的有 1 种，共有 24 个阶梯三位数． 甲甲甲乙 乙甲甲乙 甲乙乙 甲15. 作业 5答案：24 个简答：如下图， 可分别画出百位是。
三年级奥数(简单枚举)
【专题简析】枚举是一种常见地分析问题、解决问题地方法.一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答.运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举.个人收集整理勿做商业用途运用枚举法解题地关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件地对象都列举出来.个人收集整理勿做商业用途【典型例题】【例】从小华家到学校有条路可以走，从学校到岐江公园有条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同地走法？个人收集整理勿做商业用途【试一试】. 从甲地到乙地，有条公路直达，从乙地到丙地有条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同地走法？. 新华书店有种不同地英语书，种不同地数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同地买法？个人收集整理勿做商业用途【例】把个同样地苹果放在两个同样地盘子里，允许有地盘子空着不放，问共有多少种不同地分法？【试一试】．把个同样地苹果放在两个同样地盘子里，允许有地盘子空着不放，问共有多少种不同地分法？．把个同样地苹果放在三个同样地盘子里，不允许有地盘子空着不放，问共有多少种不同地分法？【例】从～这六个数字中，每次取个数字，这两个数字地和都必须大于，能有多少种取法？【试一试】．从～这九个数字中，每次取个数字，这两个数字地和都必须大于，能有多少种取法？．从～这十九个数字中，每次取个数字，这两个数字地和都必须大于，能有多少种取法？【例】一个长方形地周长是米，如果它地长和宽都是整米数，那么这个长方形地面积有多少种可能值？【试一试】．一个长方形地周长是厘米，如果它地长和宽都是整厘米数，那么这个长方形地面积有多少种可能值？．把个玻璃球分成数量不同地堆，共有多少种不同地分法？【例】有位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【试一试】．个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？．有位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？【※例】一条铁路，共有个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔个车站），那么这样地车票共有多少种？个人收集整理勿做商业用途【※试一试】. 上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同地机票？. 一条公路上，共有个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔个车站），那么共有多少种不同地车票？个人收集整理勿做商业用途【※例】在～中，任取两个和小于地数，共有多少种不同地取法？【※试一试】. 在两位整数中，十位数字小于个位数字地共有多少个？. 从～这九个数中，每次取个数，这两个数地和都必须大于，能有多少种取法？课外作业家长签名.小熊有件不同地上衣，条不同地裤子，最多可以搭配多少种不同地装束？．个自然数地乘积是，问由这样地个数所组成地数有多少个？如（，，）就是其中一个，而且数组中数字相同但顺序不同地算作同一数组，如（，，）和（，，）是同一数组.个人收集整理勿做商业用途．明明有件不同地上衣，条不同地裤子，双不同地鞋子，最多可以搭配多少种不同地装束？．个自然数地乘积是，问由这样地个数所组成地数有多少个？如（，，）就是其中一个，而且数组中数字相同但顺序不同地算作同一数组，如（，，）和（，，）是同一数组.个人收集整理勿做商业用途．小芳出席由人参加地联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？※.在长江地某一航线上共有个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔个码头），那么这样地船票共有多少种？个人收集整理勿做商业用途※.十把钥匙开十把锁，但钥匙放乱了，问最多要试多少次可以找到相应地锁？最多要试多少次才能开相应地锁？个人收集整理勿做商业用途。
高斯小学奥数含答案三年级下第04讲数字计数
16第四讲数字计数数有几个，就可以算出其它类的方法数这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚数一数，上图中一共有多少个正方形?枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位.对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举.类与类之间有时会有很多相似性.如果能够合理的利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作 利用数字0、1、2能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用利用数字1、2、3能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用量.比如例题1中，以1开头的三位数和以2开头的三位数是相类似的，只要枚举清楚以1开头的三已修习2在所有的两位数中，各位数字大于16的共有多少个?在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者有没有漏掉的情况.只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行下一步的枚举.例题3用两个1, 一个2, 一个3,可以组成多少个不同的四位数？♦ + + + + + + + + +♦♦ + + + +♦♦ + + + +*♦ + + + +T'舂:练习3用三个2，一个4，一个5，可以组成多少个不同的五位奇数?如果题目中的数字是印在木板上的，如1、3、5：。
由于这是块木板，可以随意旋转，例如0、1、6、8、9这5个，而其他5个数字旋转之后什么都不是，没有意义，所以结果不变.如果把写着6的那块木板倒过来的话就会变成9,所以会多出来很多数，比如9、95、954等等，想一下.还有哪些数字可以倒过来看呢？老师拿来3块木板，上面分别写着数字0、3、6.你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数?（木板可以颠倒，且数字不必都用上）老师拿来3块木板，上面分别写着数字4、5、6.你可以用这些木板拼出多少个不同的三位数？（木板可以颠倒）堡夕例题5如下图，四张卡片上写有数字2, 4, 7, 8.从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数.请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位偶数？分类方式非常多样，有时可以像例1 一样按位数分类，有时可以像例2 一样按各个数位数字和分类，有时可以像例3一样按相同数字的位置分类，有时可以像例4一样，按用不同数字分类.无论是哪种分类方式，首先需要将有几类写清楚，然后再枚举出每类的情况数，最后再将每类的方法数相加，即分类相加.例题6在所有的四位数中，各位数字之和超过32的共有多少个?成语分类一、数字成语一唱一和两败俱伤三长两短三顾茅庐三令五申四海为家五体投地六根清净七零八落半斤八两九霄云外十拿九稳百无禁忌千变万化瞬息万变二、动物名称成语【鼠】鼠目寸光鼠肚鸡肠鼠窃狗盗投鼠忌器抱头鼠窜獐头鼠目【牛】牛鬼蛇神牛刀小试牛鼎烹鸡汗牛充栋对牛弹琴九牛一毛【虎】虎视眈眈虎口余生虎头虎脑虎背熊腰虎头蛇尾虎落平阳【兔】兔死狐悲兔死狗烹狡兔三窟鸟飞兔走守株待兔【龙】龙腾虎跃龙飞凤舞龙马精神龙凤呈祥画龙点睛来龙去脉【蛇】蛇蝎心肠画蛇添足惊蛇入草龙蛇混杂杯弓蛇影牛鬼蛇神三、带植物成语开花结果斩草除根顺藤摸瓜披荆斩棘奇花异果投桃报李粗枝大叶春兰秋菊火树银花四、带人体成语面无人色心旷神怡耳熟能详心花怒放蒙头转向满面春风屈指可数满目疮痍铁面无私五、带方位成语旁若无人前车之鉴旁敲侧击人间地狱节外生枝福如东海马放南山居高临下蒙在鼓里六、带色彩成语黄金时代白雪皑皑乌烟瘴气皓首穷经青面獠牙苍髯如戟金光灿烂红颜薄命白发苍苍七、叠字成语亭亭玉立姗姗来迟栩栩如生欣欣向荣惺惺作态洋洋得意绵绵不绝静静乐道虎视眈眈八、带“不”字成语不由自主不谋而合不寒而栗不同凡响不甘示弱不知深浅不露声色不择手段不足为奇九、带“人”字成语人心涣散人生如梦人情冷暖人地生疏人面兽心人困马乏人才济济人浮于事人才辈出十、“想”的成语想了又想（朝思暮想）苦苦地想（苦思冥想）静静地想（静思默想）十一、“多”的成语观众多（座无虚席）贵宾多（高朋满座）人很多（摩肩接踵）十二、带有“看”的近义词的成语见多识广望而生畏察言观色一视同仁一览无余高瞻远瞩坐井观天举世瞩目管中窥豹十三、含有一对近义词的成语惊心动魄争奇斗艳生龙活虎添油加醋降龙伏虎争权夺利高楼大厦狂风暴雨满山遍野十四、含有两对近义词的成语深思熟虑真凭实据灵丹妙药凶神恶煞心满意足街头巷议翻山越岭精雕细刻生拉硬扯1. 各位数字之和大于15的两位数有多少个?2. 由1、2、3、4各一个能组成多少个不同的四位奇数?3. 在三角形中，任意两条边之和都大于第三边.三条边的边长均为整数，且最长边的长度是8厘米，那么这样的三角形共有多少种?4. 现有数字1、2、2、3各一个能拼出多少个不同的三位数?5. 老师拿来3块木板，上面分别写着数字7、8、9.你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板不必都用上，木板可以颠倒）☆尊介T第四讲数字计数1.例题i答案：ii.详解：一位数：0、1、2；两位数：10、12、20、21；三位数：102、120、201、210,共有11 个.2.例题2答案：20.详解：数字之和不超过4,意味着数字和有四种情形：1、2、3、4.我们就依此分类.数字和为1：100, 1 个.数字和为2：首位为1, 101、110；首位为2, 200；此类共3个.数字和为3：首位为1, 102、111、120；首位为2,201、210；首位为3, 300；此类共6个.数字和为4：首位为1, 103、112、121、130；首位为2, 202、211、220；首位为3, 301、310；首位为4, 400；此类共10个.所以，共有20个三位数.3.例题3答案：19.详解：先放两个1,它们的位置一共有6种可能，然后放2和3,每种可能下2、3的位置可以颠倒，则会有2 种，那么一共有12个不同的四位数.4.例题4答案：19.详解：6的木板还能反过来当9用.可以是一位数、两位数和三位数，一位数有0、3、6、9,共4个，两位数是30、36、39、60、63、90、93共有7个，三位数时：先考虑当6用的情况.首位不能为0.三位数有306、360、603、630,共4个.当9用也有4个.所以，共有4X2=8个三位数.则总共有4+7+8=19个不同的自然数.5.例题5答案：24；18.详解：（1）从2、4、7、8中先选3个数字，共有4种选法，每种选法下会有6个三位数，则一共有24个不同的三位数.（2）如果是偶数，则个位可以是2、4、8,共有3类，每类的方法下会有6种可能，则会有18 个不同的三位偶数.6.例题6答案：49个.详解：按各位数字和分类：数字和可能为33、34、35、36.这四类情形对应的四位数分别有：34个、10个、4个、1个.因此，共有49个四位数.7.练习1答案：15.简答：1打头的有1, 12, 13, 123, 132共5个.2、3打头的也有5个.一共15个.8.练习2答案：3.简答：数字之和是17,这样的两位数有89、98；数字之和是18,这样的两位数是99,共有3个.9.练习3答案：4.简答：个位一定是5,则只需把三个2和一个4放在千位、百位、十位即可，一共有4种可能：分别为22245、22425、24225、42225.10.练习4答案：12.简答：用数字4、5、6：有456、465、546、564、645、654, 6 个；用数字4、5、9：有459、495、549、594、945、954, 6 个；一共有12 个.11.作业1简答：数字之和为16的两位数有79、88、97,数字之和为17的两位数有89、98,数字之和为18的有99,则一共有6个这样的两位数.作业2答案：12.简答：个位为1的四位数有6个，个位为3的四位数有6个，则一共有12个.13.作业3答案：20.简答：三角形两边之和大于第三边，有(1, 8, 8) (2, 7, 8) (2, 8, 8) (3, 6, 8) (3, 7, 8) (3, 8, 8) (4, 5,8) (4, 6, 8) (4, 7, 8) (4, 8, 8) (5, 5, 8) (5, 6, 8) (5, 7, 8) (5, 8, 8) (6, 6, 8) (6, 7, 8) (6, 8,8) (7, 7, 8) (7, 8, 8) (8, 8, 8)二十种.14.作业4答案：12.简答：按数字组合来分类.用1、2、2可以拼出3个.用1、2、3可以拼出6个，用2、2、3可以拼出3个，共12个.15.作业5答案：26.简答：9也可以当成6用.一位数有4个，两位数有10个，三位数有12个，共26个.。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第18讲 假设法进阶
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在学习基础的鸡兔同笼时，我们已经对假设法有了基本的了解．首先复习下“假设法”四步曲：第一步：假设：换句话说就是猜一个较为合理的答案．第二步：比较：比较假设和实际情况的差别，找出不同点，为调整找到方向．第三步：调整：逐步使得猜测的答案符合题目的已知条件．第四步：验算：看是否与题设条件相一致．“假设法”是一种循序渐进去解决问题的方法．就像饭要一口一口吃，路要一步一步走，假设法先去满足一部分条件，然后再通过恰当的调整去逐步满足所有的条件．这一讲我们继续学习鸡兔同笼问题，使大家对假设法有更深入的理解．接下来，我们看一道比较简单的鸡兔同笼问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1 第十八讲 假设法进阶体育课上，三年一班的46名同学都在操场上玩球．每个篮球有6名同学玩，每个排球有8名同学玩，篮球和排球共有7个．问：玩排球的同学有多少人？分析：7个球里既有排球又有篮球，如果将这7个球都看成篮球，人数会有什么变化？练习1公园里的23条长凳上坐了50个人，每条长凳上可以坐2个大人或者3个小孩，那么这50个人中，有多少个小孩？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 有时题目中不会直接告诉“头和”，需要通过寻找不变量来求得“头和”．这也是解决鸡兔同笼很重要的方法之一．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2集体劳动时，女生抬土，每2名女生用1根扁担抬1个筐；男生挑土，每1名男生用1根扁担挑2个筐．结果共用了27根扁担和44个筐，请问：女生和男生各有多少人？分析：扁担和筐之间有什么关系？一根扁担上可能挂着几个筐？练习2幼儿园里小朋友和老师共40人在一起喝汤，每个老师单独用1个碗喝，而2个小朋友合用1个碗喝，最后共用了27个碗，请问：有多少小朋友？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 有时题目中会隐藏着不变量，抓住不变量解决鸡兔问题也是很重要的方法之一．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3天上一群九头鸟和地上一群九尾狐商量去吃唐僧，九头鸟有九头一尾，九尾狐有九尾一头．孙悟空将它们抓起来关进了笼子，猪八戒在笼子外得意地数出了134个头和166条尾巴．请同学们算一算：共有多少只九头鸟，多少只九尾狐？分析：不管是九头鸟还是九尾狐都有多少个头和尾巴？能不能把一共有多少只动物求出来？练习3男生手里拿2个红气球，5个蓝气球，女生手里拿3个红气球，4个蓝气球，一共有100个红气球和166个蓝气球，请问：男生多少人？女生多少人？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 前面3道例题比起上学期学的鸡兔同笼问题稍复杂些，涉及到的数量关系比较多，或是条件比较复杂，大家千万不要被题目“怪异”的外表吓到！只要对已知条件做适当的转化，把题目变为一个基本的鸡兔同笼问题，就可以轻松解决了．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4某宿舍楼的大、小寝室一共有20间，已知大寝室每间住了6人，小寝室每间住了4人，并且大寝室的总人数比小寝室的总人数多30人．请问：大、小寝室各有多少间？分析：假设法是解决鸡兔同笼问题的重要方法，假设每个寝室都是大寝室的话，大寝室会比小寝室多住多少人？练习4春游时候同学们去划船，一共有船20条，每条大船可以坐12人，每条小船可以坐8人，结果大船上坐的人要比小船上的人多80个，那么一共有多少条大船？例题5新华书店一天内卖出了《哈利波特》和《魔戒》共40本，其中《哈利波特》每本30元，《魔戒》每本25元．经过统计，卖《哈利波特》的收入比《魔戒》多650元，这天卖出多少本《哈利波特》？分析：与例题4类似，本题应该怎么假设呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4和例题5与前三道例题有很大不同，虽然也是用假设法来解决，但调整的时候每次变化的量与原先的鸡兔同笼问题有很大不同：原先把一只鸡换成一只兔子的时候，我们考虑的是鸡与兔的腿数和，于是变化了2；但现在考虑的是鸡与兔的腿数差，鸡腿数少了2，兔腿数反而增加了4，差距变化了6．请大家细心体会两者的差别．关于“腿数差”的鸡兔同笼问题：注意调整时“腿数差”的改变与之前“腿数和”的改变是不同的．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题6男生手里拿2个红气球，13个蓝气球，女生手里拿1个红气球，12个蓝气球，一共有62个红气球，且蓝气球的范围在495-510之间，请问男生多少人？女生多少人？分析：每人拿着的红气球和蓝气球之间有怎样不变的数量关系？课堂内外九头鸟的来历九头鸟的最基本特征就是有九个头．但是关于这九个头，也有多种不同的说法．有些人说它本来有十个头．如唐段成式《酉阳杂俎》卷十六《羽》：鬼车鸟，相传此鸟昔有十首，……一首为犬所噬．宋周密《齐东野语》卷十九：鬼车，俗称九头鸟，……世传此鸟昔有十首，为犬噬其一，至今血滴人家为灾咎．……身圆如箕，十脰环簇，其九有头，其一独无而鲜血点滴，如世所传．明杨慎《杨升庵全集》卷八一《鬼车》条：《小说》：周公居东周，恶闻此鸟，命庭氏射之，血其一首，馀九首．又有些人说它原本只有九个头，其中一个头受伤滴血永不愈合．如前引《三国典略》：齐后园有九头鸟见，……九头皆鸣．又唐刘恂《岭表录异》卷中云：鬼车，……或云九首，曾为犬啮其一，常滴血．以上传说中，以《齐东野语》所记的那个“十脰（脖子）九头”的模样最为吓人，试想九个鸟头之外，还有一个鸟脖子在那里流滴鲜血，那多么可怕？原名“鬼车”，长有十个脖子、九个头，据说它的第十个头是被周公旦命令猎师射掉的．那个没有头的脖子不断地滴出血，古人宣称如果九头鸟飞过，要吹灭灯火、放狗把它赶走．有些传说宣称九头鸟的每一个头拥有一对翅膀，结果18只翅膀互相挤兑、导致全都派不上用场．历史上，周、楚的确是死对头．周昭王率军亲征，竟死于汉水之中，成为异乡之鬼．周人对楚人之恨可想而知．我们知道：一个民族的神，在它的敌对民族那里必然会被说成妖．象埃及大神沙特（sat），在希伯来人《圣经》中就变成了撒旦（satan）．我国东夷部族之神蚩尤，在华夏族那里便成了能飞沙走石的妖怪，周人将楚人的九凤图腾说成妖怪，并编出天狗断其一首的故事，也符合这条比较神话学的基本规律，至于是周公本人确有此事，还是民间传说附会于周公身上，那倒是无关紧要的．作业1.大卡车一次能运7吨土，小卡车一次能运4吨土．现在有大、小卡车8辆，一次恰好能运土38吨．那么大卡车有多少辆？2.和尚们在庙里吃饭，3个小和尚公用1个大碗吃1碗米饭，1个大和尚独用1个大碗吃2碗米饭，结果一共用了32个碗，吃了54碗米饭，那么庙里有多少个小和尚？3.中国学生一顿饭能吃3个汉堡和2杯可乐，外国学生一顿饭能吃4个汉堡和1杯可乐，共吃了64个汉堡和26杯可乐，请问有多少个中国学生？4.鸡兔同笼共20只，兔子的腿数要比鸡的腿数多44条，请问一共有多少只鸡？5.男巫和女巫比赛魔法，男巫可以用1个魔法之尘变出3朵花，女巫可以用1个魔法之尘变出4朵花，最后他们一共用掉了14个魔法之尘，男巫变出的花比女巫变出的花多14朵，请问男巫用了多少个魔法之尘？第十八讲 假设法进阶1. 例题1答案：16人详解：假设7个球都是篮球，那么应该有同学：6742⨯=个，现在有46名同学，多了4个，每个排球比每个篮球玩的同学多862-=人，所以有排球：422÷=个，玩排球的的同学有：8216⨯=人． 2. 例题2答案：女生有20人；男生有17人详解：当女生用扁担时，1根扁担挑1筐，当男生用扁担时，1根扁担挑2筐，如果27根扁担都是女生用，那么只能挑27个筐，所以现在有()()44272117-÷-=根扁担男生在用，而剩下的10根扁担女生在用，所以共有男生17人，女生20人．3. 例题3答案：九头鸟有13只；九尾狐有17只详解：九头鸟和九尾狐的头脚加在一起全是10个，那么共有头尾134166300+=个，则共有3001030÷=只动物，假设30只动物全是九头的，则有309270⨯=个头，比较：270134136-=个头，将一个九头的变为一个单头的会少8个头，调整：()1369117÷-=次，每次调整出现1个单头的，那么有17只九尾狐，有301713-=只九头鸟．4. 例题4答案：大寝室有11间；小寝室有9间详解：如果20间都是大寝室，那么大寝室共住了206120⨯=人，小寝室住了0人，大寝室比小寝室多了120人，如果1间大寝室换成小寝室，那么大寝室住的人少了6人，小寝室住的人多了4人，人数差变小了6410+=人，所以会有：()12030109-÷=间小寝室，大寝室11间．5. 例题5答案：30本详解：如果卖的都是《哈利波特》，那么卖《哈》的收入比卖《魔》的收入多40301200⨯=元，每少卖1本《哈》、多卖1本《魔》，收入差会减少55元，所以卖了《魔》()12006505510-÷=本，卖了《哈》30本．6. 例题6答案：男生有32人；女生有18人详解：不管男生还是女生，每个人手中的蓝气球比红气球多11个，那么总的蓝气球比红气球多的必须是11的倍数，即62-W是11的倍数，且□的范围在495-510之间，则□=502才行，这样50262440-=才是11的倍数，那么总人数为4401140÷=人；假设这40人全是男生，那么会有红气球40280⨯=个，比较：806218-=个，将一个男生变为一个女生会少拿1个红气球，则有18118÷=个女生，那么男生有32人．7. 练习1答案：12个简答：假设23条长凳做的全是大人，则有23246⨯=个人，比较：50464-=人，将一条大人凳变为一条小孩凳会多1人，调整：()4324÷-=次，每次调整出现1条小孩凳，那么有4条小孩凳，有4312⨯=个小孩．8. 练习2简答：如果所有碗都是老师用的，那么会有27个人，则()()40272113-÷-=个小朋友碗，则小朋友有26人，大人有14人．9. 练习3答案：女生有24人；男生有14人简答：男生和女生手里的气球加在一起全是7个，且共有气球100166266+=个，则共有266738÷=人，假设38人全是男生，则有38276⨯=个红气球，比较：1007624-=个红气球，将一个男生的变为一个女生气球会多1个，调整：()243224÷-=次，每次调整出现1女生，那么有24个女生，有382414-=个男生．10. 练习4答案：12条简答：如果都是大船，那么大船比小船多坐240人，每把1条大船换成小船人数差会减少20，所以有小船：()24080208-÷=条，大船12条．11. 作业1答案：2辆简答：假设全是小卡车，可得大卡车有(3848)(74)2-⨯÷-=辆．12. 作业2答案：30个简答：每个大和尚吃的米饭比用的碗多一碗，共多了543222-=碗米饭，所以大和尚用了22个碗，小和尚用了322210-=个碗．可得小和尚有10330⨯=个．13. 作业3答案：8人简答：人一顿饭吃5样东西，共吃了266490+=样东西，说明共有90518÷=人，假设全是外国学生，则中国学生有()()18464438⨯-÷-=人．14. 作业4答案：6只简答：假设全是兔子，兔子腿比鸡腿多420080⨯-=条．每把一只兔子换成鸡，腿数之差减少426+=条，所以鸡有(8044)66-÷=只．15. 作业5答案：10个简答：假设魔法之尘全是男巫用的，那么男巫比女巫多变出143042⨯-=朵花，每个魔法之尘改由女巫使用，男巫与女巫变出花的数量差将减少347+=朵，所以女巫用的魔法之尘为(4214)74-÷=个，则男巫的为10个．。
（三年级奥数）枚举法
（三年级奥数）枚举法教师姓名学科数学上课时间年月日---学生姓名年级三年级课题名称枚举法教学目标1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化；2、按照一定的规律，特点去枚举；3、从思想上认识到枚举的重要性。
教学重点枚举法教学过程枚举法【课题引入】枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
【例题学习】例1：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？【即时练习】1、用0、3、5可以组成多少个不同的三位数?2、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数，它们有哪些？其中最大的数和最小的数各是多少？【例题学习】例2、用0，2，5，9可以组成多少个是5的倍数的三位数？【即时练习】1、从1、2、3、4、5、6这些数中，任取两个数，使其和不能被3整除，则有_______种取法。
2、从l～9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有_______种。
3、小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，6。
从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有_____个。
3、从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【例题学习】例5：甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？【即时练习】1、四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？2、一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．【例题学习】例6：用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【即时练习】1、一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择．2、用1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，20元人民币两张，在不找钱的情况下，最多可以支付种不同的款额。
高斯小学奥数含答案三年级(下)第04讲数字计数
第四讲数字计数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -数一数，上图中一共有多少个正方形？枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．在涉及数字的枚举时，需要注意0 不能在首位．对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1利用数字0、1、2 能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）练习1利用数字1、2、3 能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -类与类之间有时会有很多相似性．如果能够合理的利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量．比如例题 1 中，以1 开头的三位数和以 2 开头的三位数是相类似的，只要枚举清楚以 1 开头的三位数有几个，就可以算出其它类的方法数了．6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2在所有的三位数中，各位数字之和不超过 4 的共有多少个？练习2在所有的两位数中，各位数字大于16 的共有多少个？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行下一步的枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3用两个1，一个2，一个3，可以组成多少个不同的四位数？练习3用三个2，一个4，一个5，可以组成多少个不同的五位奇数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -如果题目中的数字是印在木板上的，如1、3、5：1 3 5由于这是块木板，可以随意旋转，例如0、1、6、8、9 这5 个，而其他 5 个数字旋转之后什么都不是，没有意义，所以结果不变．如果把写着 6 的那块木板倒过来的话就会变成9，所以会多出来很多数，比如9、95、954 等等，想一下．还有哪些数字可以倒过来看呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7例题4老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字0、3、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板可以颠倒，且数字不必都用上）练习4老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字4、5、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的三位数？（木板可以颠倒）例题5如下图，四张卡片上写有数字2，4，7，8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位偶数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -分类方式非常多样，有时可以像例 1 一样按位数分类，有时可以像例 2 一样按各个数位数字和分类，有时可以像例 3 一样按相同数字的位置分类，有时可以像例 4 一样，按用不同数字分类．无论是哪种分类方式，首先需要将有几类写清楚，然后再枚举出每类的情况数，最后再将每类的方法数相加，即分类相加．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6在所有的四位数中，各位数字之和超过32 的共有多少个？8课堂内外成语分类一、数字成语一唱一和两败俱伤三长两短三顾茅庐三令五申四海为家五体投地六根清净七零八落半斤八两九霄云外十拿九稳百无禁忌千变万化瞬息万变二、动物名称成语【鼠】鼠目寸光鼠肚鸡肠鼠窃狗盗投鼠忌器抱头鼠窜獐头鼠目【牛】牛鬼蛇神牛刀小试牛鼎烹鸡汗牛充栋对牛弹琴九牛一毛【虎】虎视眈眈虎口余生虎头虎脑虎背熊腰虎头蛇尾虎落平阳【兔】兔死狐悲兔死狗烹狡兔三窟鸟飞兔走守株待兔【龙】龙腾虎跃龙飞凤舞龙马精神龙凤呈祥画龙点睛来龙去脉【蛇】蛇蝎心肠画蛇添足惊蛇入草龙蛇混杂杯弓蛇影牛鬼蛇神三、带植物成语开花结果斩草除根顺藤摸瓜披荆斩棘奇花异果投桃报李粗枝大叶春兰秋菊火树银花四、带人体成语面无人色心旷神怡耳熟能详心花怒放蒙头转向满面春风屈指可数满目疮痍铁面无私五、带方位成语旁若无人前车之鉴旁敲侧击人间地狱节外生枝福如东海马放南山居高临下蒙在鼓里六、带色彩成语黄金时代白雪皑皑乌烟瘴气皓首穷经青面獠牙苍髯如戟金光灿烂红颜薄命白发苍苍七、叠字成语亭亭玉立姗姗来迟栩栩如生欣欣向荣惺惺作态洋洋得意绵绵不绝静静乐道虎视眈眈八、带“不”字成语不由自主不谋而合不寒而栗不同凡响不甘示弱不知深浅不露声色不择手段不足为奇九、带“人”字成语人心涣散人生如梦人情冷暖人地生疏人面兽心人困马乏人才济济人浮于事人才辈出十、“想”的成语想了又想（朝思暮想）苦苦地想（苦思冥想）静静地想（静思默想）十一、“多”的成语观众多（座无虚席）贵宾多（高朋满座）人很多（摩肩接踵）十二、带有“看”的近义词的成语见多识广望而生畏察言观色一视同仁一览无余高瞻远瞩坐井观天举世瞩目管中窥豹十三、含有一对近义词的成语惊心动魄争奇斗艳生龙活虎添油加醋降龙伏虎争权夺利高楼大厦狂风暴雨满山遍野十四、含有两对近义词的成语深思熟虑真凭实据灵丹妙药凶神恶煞心满意足街头巷议翻山越岭精雕细刻生拉硬扯9作业1. 各位数字之和大于15 的两位数有多少个？2. 由1、2、3、4 各一个能组成多少个不同的四位奇数？3. 在三角形中，任意两条边之和都大于第三边．三条边的边长均为整数，且最长边的长度是8 厘米，那么这样的三角形共有多少种？4. 现有数字1、2、2、3 各一个能拼出多少个不同的三位数？5. 老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字7、8、9．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板不必都用上，木板可以颠倒）10第四讲数字计数1. 例题1答案：11．详解：一位数：0、1、2；两位数：10、12、20、21；三位数：102、120、201、210，共有11 个．2. 例题2答案：20．详解：数字之和不超过4，意味着数字和有四种情形：1、2、3、4．我们就依此分类．数字和为1：100，1个．数字和为2：首位为1，101、110；首位为2，200；此类共 3 个．数字和为3：首位为1，102、111、120；首位为2，201、210；首位为3，300；此类共 6 个．数字和为4：首位为1，103、112、121、130；首位为2，202、211、220；首位为3，301、310；首位为4，400；此类共10 个．所以，共有20 个三位数．3. 例题3答案：19．详解：先放两个1，它们的位置一共有 6 种可能，然后放 2 和3，每种可能下2、3 的位置可以颠倒，则会有 2种，那么一共有12 个不同的四位数．4. 例题4答案：19．详解：6 的木板还能反过来当9 用．可以是一位数、两位数和三位数，一位数有0、3、6、9，共 4 个，两位数是30、36、39、60、63、90、93 共有7 个，三位数时：先考虑当 6 用的情况．首位不能为0．三位数有306、360、603、630，共4 个．当9 用也有 4 个．所以，共有4×2=8 个三位数．则总共有4+7+8=19 个不同的自然数．5. 例题5答案：24；18．详解：（1）从2、4、7、8 中先选 3 个数字，共有 4 种选法，每种选法下会有 6 个三位数，则一共有24 个不同的三位数．（2）如果是偶数，则个位可以是2、4、8，共有 3 类，每类的方法下会有 6 种可能，则会有18个不同的三位偶数．6. 例题6答案：49 个．详解：按各位数字和分类：数字和可能为33、34、35、36．这四类情形对应的四位数分别有：34 个、10 个、4 个、1 个．因此，共有49 个四位数．7. 练习1答案：15．简答：1 打头的有1，12，13，123，132 共5 个．2、3 打头的也有 5 个．一共15 个．8. 练习2答案：3．简答：数字之和是17，这样的两位数有89、98；数字之和是18，这样的两位数是99，共有 3 个．9. 练习3答案：4．简答：个位一定是5，则只需把三个 2 和一个 4 放在千位、百位、十位即可，一共有 4 种可能：分别为22245、22425、24225、42225．10. 练习4答案：12．简答：用数字4、5、6：有456、465、546、564、645、654，6 个；用数字4、5、9：有459、495、549、594、945、954，6 个；一共有12 个．11. 作业1答案：6．11简答：数字之和为16 的两位数有79、88、97，数字之和为17 的两位数有89、98，数字之和为18 的两位数有99，则一共有 6 个这样的两位数．12. 作业2答案：12．简答：个位为 1 的四位数有 6 个，个位为 3 的四位数有 6 个，则一共有12 个．13. 作业3答案：20．简答：三角形两边之和大于第三边，有（1，8，8）（2，7，8）（2，8，8）（3，6，8）（3，7，8）（3，8，8）（4，5，8）（4，6，8）（4，7，8）（4，8，8）（5，5，8）（5，6，8）（5，7，8）（5，8，8）（6，6，8）（6，7，8）（6，8，8）（7，7，8）（7，8，8）（8，8，8）二十种．14. 作业4答案：12．简答：按数字组合来分类．用1、2、2 可以拼出 3 个．用1、2、3 可以拼出 6 个，用2、2、3 可以拼出 3 个，共12 个．15. 作业5答案：26．简答：9 也可以当成 6 用．一位数有 4 个，两位数有10 个，三位数有12 个，共26 个．12。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第03讲移多补少与等量代换
J 第二讲 移多补少与等量代换 A i\ I } h 羊皮换稱咐 2帐羊皮换】头 我妲用1头赭换 你的5只鸡，启么样? 2 -Z 不行.我只想甫L 1 fcl " n ?只鸡换i 张羊罰别刁 我不更 •护 kJ J/ 中 做移多补少的题目，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给人一种直观的感觉,ooooooooooo o oo(1)_______________________ 第一行比第二行多 .(2)_____________________ 第一行给第二行才能使第一行与第二行一样多.(3)_____________________ 第一行给第二行才能使第一行比第二行多2个.(4)_____________________ 第一行给第二行才能使第二行比第一行多2个.分析：动手试试，移动下，弄清开始时第一行比第二行多几个？练习1阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14个，阿瓜有4个.后来阿呆给了阿瓜6个，这时谁的糖果多？多几个？例题2小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块.(1)小高给墨莫8个，这时谁的巧克力多？多几块？(2)小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？(3)要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力？给几块？分析：可以画出增减示意图表示下给的过程？练习2一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需要爸爸给妈妈多少块宝石？例题3开始时卡莉娅比萱萱多30张高思杀卡片.每次卡莉娅给萱萱3张.(1)给几次才能使两人的卡片一样多？(2)给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张？分析：能不能先算清楚一共给多少张才能使两人的卡片一样多？或者萱萱比卡莉娅多12练习3刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多 30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，取几次后两 盒糖的粒数就同样多？之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表示数量关系非常直观的方 法•除了画图之外，用简洁的语言来表示数量关系也十分重要•下面我们来看看等量代换 的相关题目，同学们要用简洁的语言来表示数量关系.等量代换的思想是解决应用题时的常用技巧之一，在使用等量代换时，一般从问题开 始分析.例题4体重大比拼：(1) 4只小狗=8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重？(2) 2只小狗=4只小猫，1只小猫=2只鸭子，那么12只小狗等于多少只鸭 子的体重？(3) 3只小狗=4只小兔，5只小兔=7只小鸡，那么12只小狗加4只小兔等 于多少只小鸡的体重？分析：第(1)、(2)问中利用等量代换中的倍数关系，找清楚(3)问中能否将12只小狗加4只小兔变为全是小兔？例题51只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于 9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？分析：1只兔子等于几只鸡的重量呢？再分析出猴子与鸡的重量关系？例题6已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同.3只大鸭子和2只小鸭子共重1只小狗等于几只小猫？第7头大象和10头长颈鹿重量相等，那么 40头长颈鹿和多少头大象重量相等? 练习①分析：能否将题目中的条件列出来？通过倍数关系将题目中都变为大鸭子或者小鸭子？求出大小鸭子各几千克？三藏西天去取经，一去十万八千程.每日常行七十五，问公几日得回程.这是明朝数学家程大位编写的趣题，收录在他的数学名著《算法统宗》里•诗中的三藏指的是唐朝高僧玄奘.因为他被人们认为是唐朝第一高僧，所以又被称为“唐僧”.他受唐太宗李世民派遣，到印度钻研佛教典籍，译出经、论七十五部，一千三百三十五卷，促进了中印文化的交流. 《西游记》里的唐僧便是以这位高僧为原型的.本题的意思是说：唐僧去西天取经，一共走了十万八千里.已知他每天走七十五里，问一共走了多少天？同学们，你们知道该怎么算吗？作业1. 阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个西瓜，(1)阿瓜给阿呆多少个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等？(2)阿呆给阿瓜多少个西瓜后，阿瓜比阿呆多32个？2. 一开始阿呆比阿瓜多87个西瓜，要让阿呆比阿瓜多3个西瓜，需要阿呆给阿瓜多少个西瓜?3. 小高给萱萱28个苹果后,(1) 小高和萱萱一样多，问之前谁多？多几个?(2) 小高比萱萱多10个，问之前谁多？多几个?4.用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋?5师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个与大徒弟组装2个所用的时间相同，而大徒弟组装个与小徒弟组装1个所用的时间相同•请问：小徒弟组装4个的时间三个人一共能装几个零件? o第二讲移多补少与等量代换1. 例题1答案：（1） 6 个；（2） 3 个；（3） 2 个；（4）4 个详解：（1）观察出来第一行比第二行多6个；（2）第一行比第二行多6个，给1差2,则给6 2 3个即可；（3）开始时第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行多2个，则差4个，给1差2,则给4 2 2个即可；（4）开始时第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行少2个，则差8个，给1差2,则给8 2 4个即可.2. 例题2答案：（1）墨莫，多6块；（2）5块；（3）小高给墨莫，7块详解：（1）墨莫多，多8 2 10 6块；（2） 5 块，10 2 5 块；（3）小高给墨莫，给10 4 2 7块.3. 例题3答案：（1）5次；（2）7次详解：（1 ）卡莉娅比萱萱多30张，卡莉娅给萱萱30 2 15张两人卡片才能一样多，而每次卡莉娅给萱萱3张，则需要15 3 5次；（2）卡莉娅比萱萱多30张，后来萱萱比卡莉娅多12张，则需要卡莉娅给萱萱30 12 2 21张，而每次卡莉娅给萱萱3张，则需要21 3 7次.4. 例题4答案：（1）10 只；（2）48 只；（3）28 只详解：（1）4狗=8猫，贝U 1狗=2猫，贝U 5狗=10猫；（2）2狗=4猫，贝U 12狗=24猫，因为1猫=2鸭，贝U 24猫=48鸭，贝U 12狗=48鸭；（3）因为3狗=4兔，贝U 12狗=16兔，那么变为20兔，5兔=7鸡，贝U 20兔=28鸡.5. 例题5答案：5只详解：1兔+1猴=8鸡，3兔=9鸡，则1兔=3鸡，那么3鸡+1猴=8鸡，所以1猴=5鸡.6. 例题6答案：20千克详解：①3大+2 小=32，②4大+3小=44，算式相减②-①得到：③1大+1小=12，现在①-③, 则2大+1小=20 .7. 练习1答案：阿瓜；多2个简答：开始阿呆比阿瓜多10个，后来阿呆给阿瓜6个，这时阿瓜比阿呆多，多6 2 10 2个.8. 练习2答案：4块简答：11 3 2 4块.9. 练习3答案：3次11简答124213小高多14 1528 2多56个；56 个.(2)1) 14 个；(2) 2 个3 2(2)现在阿瓜比阿呆多28个，要多32个，相当于多了4个，则必须阿呆给阿瓜：4 2 228头7象=10长，贝U 40长=28象个.作业2答案：42个简答：871鹅蛋=3鸡蛋，2鸡蛋换4鸽子蛋化简为1鸡蛋=2鸽子蛋，31鹅蛋=6鸽子蛋，则5鹅蛋=30鸽子蛋.则需要15 5 3次练习4答案：简答：作业1答案：(2)小高多，多66个28 2 10 66 个.1)阿瓜给阿呆：48 20 2 14作业3答案：(1)简答：(1) 作业4答案：30个简答：3鹅蛋=9鸡蛋，化简为鸡蛋=6鸽子蛋，代换掉鸡蛋，变为作业5答案：34个简答：小徒弟组装4个的时间，大徒弟能装12个，师傅能装18个•三人一共34个。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第05讲植树问题
——一w咛厂第五讲< 植树问题这两讲我们将要学习一个新的问题一一间隔问题•植树问题是间隔问题中重要的一种, 像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中会遇到很多，这一讲我们就主要来解决这类问题.对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是环线上的植树问题.下面先来讲讲直线上的植树问题.对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意.1(1)马路的一侧种树，且两端种树.若每隔5米种一棵树，马路长30问有几棵树？(2)马路的两侧种树，且两端种树.若每隔5米种一棵树，共有20棵树,• • • •问马路有多长？分析：审清楚题目，两端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习1道路的两侧插红旗，且两端.也要插上红旗•若每隔6米插一面，马路长24米，问有几面旗？例题2马路的一侧安路灯.• •(1)一端有路灯，另一端没有.若每隔4米安一盏灯，马路长40米，问有几盏灯？(2)两端都没有路灯.若每隔6米安一盏灯，共有12盏灯，问马路有多长？分析：审清楚题目，一端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习2马路的两侧种树，且两端不种.若每隔3米种一棵树，马路长30米，问有几棵树？种树，且每条马路的两端都种树.已知北路长40米，东路和西路分别长80米.每隔5米种一棵树，问共种几棵树？北路西路I 东路分析：试着一条路一条路的求出有几棵树？并且把树画一画?练习3在如图两条马路的一.侧安路灯，且每条马路的两.端都没有路灯.若每隔9米安一盏路灯, 一共安了20盏路灯.已知北路长81米，问西路长多少米？北路西路S环线上的植树问题除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示意图:例题4学校有一个圆形水池，(1)水池外的周长为40米.如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？(2)水池内的周长为30米.如果绕着水池内共有10个换水孔，且相邻两个换水孔的距离相等，问相邻的两个换水孔间的距离是多少米？分析：环形植树中，间隔数和棵树之间什么关系？练习4鸟巢外一周共有1000米，绕着鸟巢的一周有灯和树木，(1)如果每两盏灯之间的距离是5米，问鸟巢外一周有几盏灯？(2)如果鸟巢外共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离是多少？例题510个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等.现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等.请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？分析：试着求出站好男生后有多少个间隔？每个间隔中加入2个女生后一共有多少人？例题6如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米.现分析：试着求出每条线上种几棵数？交点处要额外注意， 加重了要去掉，少加了记得加上.“植树节”是一些国家以法律形式规定的以宣传森林效益， 并动员群众参加造林为活动内容的节日.按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总称植 树节.通过这种活动，激发人们爱林、造林的感情，提高人们对森林功用的认 识，促进国土绿化，达到爱林护林和扩大森林资源、改善生态环境的目的.是 为了动员全民植树而规定的节日.中国的植树节开始时是为纪念孙中山先生逝 世，1979年2月23 日,中国第五届全国人大常务委员会第六次会议决定， 以3月12日为中国的植树节，以鼓励全国各族人民植树造林，绿化祖国，改善环境， 造福子孙后代.）都要种上树，那么最少要种多少棵树?/中占丨占、作业一条长500米的路的两边都要种树，并且两头都要种，如果每隔5米种一棵树，请问一共要种多少棵树?2. 一条路的一边种树，并且两头都不种树，如果每隔12米种一棵树，(1) 共种了 6棵，请问马路长多少米？(2) 若马路长120米，则种了多少棵树？3. 有如图三条马路，长度都是 100米•现在要在马路的 一侧种树，且每条马路的 两端都种树•每隔54. 用蜡烛摆成一个周长 60厘米圆形的造型，(1) 若蜡烛每隔4厘米摆一个，一共需要多少根蜡烛？(2) 如果共有20根蜡烛，且相邻两个蜡烛间隔相同，问相邻的两根蜡烛间的距离是多少厘米？5. 同学12人围着长480米的操场玩游戏，每两名同学间距离相等•如果在每两名同学间插入3名老 师，使每两人间距离相等.请问：有多少名老师？每两人间距离是多少米？1.详解：(1)共有30 5 6个间隔，种7棵树.(2)每侧种10棵树，有10 1 9个间隔，马路长5 9 45米.2. 例题2答案：(1) 10盏；(2) 78米详解：(1)共有40 4 10个间隔，间隔和灯一样多，有10盏灯.(2)共有12 1 13个间隔，马路长13 6 78米.3. 例题3答案：41棵详解：北路有40 5 1 9棵树，东路和西路各有80 5 1 17棵树.交点处的树被重复计算了，要扣除，共9 17 17 2 41棵树.4. 例题4答案：(1) 10棵；(2) 3米详解：(1)有40 4 10个间隔，要种10棵树.(2)有10个间隔，每个间隔长30 10 3 米.5. 例题5答案：(1) 20个；(2) 10米详解：开始有10个间隔，加入了10 2 20个女生.后来总共30人，30个间隔，每个间隔长300 30 10 米.6. 例题6答案：99棵详解：每棵树的距离相等，间隔最长是5米，每条横线上种100 5 1 21棵，每条竖线上种70 5 1 15棵，扣除重复的9棵，共种21 3 15 3 9 99棵.7. 练习1答案：10面简答：共有24 6 4个间隔，每侧有5面旗，两侧共5 2 10面.8. 练习2答案：18棵简答：共有30 3 10个间隔，每侧有9棵树，两侧共9 2 18棵.9. 练习3答案：117米简答：北路有81 9 1 8盏灯，西路有20 8 12盏灯.马路两端没有灯，不会重复计算.西路长13 9 117米.10. 练习4答案：(1) 200盏；(2) 4米简答：(1)有1000 5 200个间隔，有200盏灯.(2)有250个间隔，每个间隔长1000 250 4 米.11. 作业1答案：202棵简答：把500米长的路分成每段5米，共要分成500 5 100段，单条线段端点数比段数多1, 所以共有100 1 101棵树.由于路的两边都种树，所以是202棵.简答：(1 )环形排列间隔数和端点数相同，所以每隔根；(2)共有20根蜡烛，则相邻蜡烛的距离为60 20 3厘米. 15.作业5答案：(1) 36名；(2) 10米简答：12名同学相当于将环形分为 12个间隔，每两名同学间插入 3名老师相当于每个间隔插入3名老师，所以共需插入老师 12 3 36名老师；插入老师后，环形上共有12 36 48人, 所以每两人之间的间隔是 480 48 10米.13. 14. 答案：(1) 84米；(2) 9棵简答：(1)因为两头不种，共种6棵树，所以共有7个间隔，每个间隔是12米，则长12 米；(2)共有120 12 10个间隔，两头不种，所以间隔比树多1，那么有10 1 9棵树. 作业3答案：60棵简答：三角形每条边种100 5 121棵，共种21 作业4答案：(1) 15根；(2) 3厘米 3 3 60棵•也可以看成环形问题来做.4厘米放一根蜡烛，共需蜡烛 60 4 15。
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枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是先吃玉米，哎，还是先吃饼干吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃法？ 基础例题:
在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就
但如果问题较为复杂，直
如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？ 主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a到z排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a到z的顺序排列, 然后是 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒*
按从小到大排列，枚举的顺序是： 123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个
问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了 5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？
练习： 1.老师准备了 6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到 1本笔记本，请问：老师有
多少种不同的奖励方法？
例题2 •老师要求每个同学写出 3个自然数，并且要求这 3个数的和是8 •如果两个同学写出的 3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法•试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（ 1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法.
练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于 10，共有多少组这样的三个数?
用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是 同一种”非常关键•往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种” ，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键•往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举.
例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字•请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f
1ft 0
个字母，第4个字母 所谓“字典排列法” ，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 分析：第二问中的和大于 9是什么意思？也就是最小等于 10，那最大又是多少？和共有几种可能? 练习3 有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字： 密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同•不用考虑数的先后顺序，你知道密码 共有多少种可能吗？
例题4 数一数下图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个?
☆ 分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类. 练习4 数一数下图中包含星星的正方形有多少个？
☆
在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分， 或者还有没有漏掉的情况. 只有在分类已经做 到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举. 例题5 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可能的吃法
(2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于 9, 一共有多少种选法 例题6 午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很 多.东东想要挑3个水果吃.请问东东有多少种不同的选法？
分析：仔细审题，挑的 3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？ 字典是如何排序的？ 在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较， 如果相同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从 a到z的顺序进行 排列.比如说：book和look这两个单词，第一个字母分别是 b和I, b排在I 前面，所以book排在look之前.再比如说：book和boat这两个单词，前两个 字母都是bo,所以就看第三个字母，o在a之后，所以字典里book出现在boat 之后. 再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用的都是按拼音字母的顺序进 行排序，方法与英语字典相同.其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是 按照部首以及笔画来排序的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按 部首排序，每个部首之中再按剩下的笔画数从少到多进行排序.中文字典除了 按拼音、部首等顺序排列之外，还有四角号码、笔顺等多种排序方法.
多少种? 分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃 2个•照此推算，最多能吃几天?
课堂内外 1
每种面值的纸币张数都大于 2
那么墨莫完成这些作文共有 3 多少种不同的可能? 4 一共有多少不同的吃法? 请问小高有多少种不同的选 5 择？
(7^
任取3张，那么能组成的钱数共有多少种? 2个，吃完为止.那么墨莫
3.如果从中 有面值分别为1元、10元和50元的纸币若
爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他 8个苹果，要求每天至少吃
4支完全相同的铅笔要分给 3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法?
体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿 4个 老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写 1篇
作业 详解：按照字典排列法， 依次枚举卡莉娅、 墨莫和小高三人所找到的宝物数量， 由于每人最少 找到0件宝物，最多找到 5件，所以按（卡莉娅、墨莫、小高）的形式枚举出： （0、0、5）, （0、1、4），（ 0、2、3），（ 0、3、2），（ 0、4、1），（ 0、5、0），（ 1、0、4），（ 1、1、3），
（ 1、 2、2）,（ 1、3、1）,（ 1、4、0）, （2、0、3）,（ 2、1、2）,（ 2、2、1）,（ 2、3、0）,（ 3、0、2）， （3、
1、1）,（ 3、2、0）,（ 4、0、1）,（ 4、1、0）,（ 5、0、0 ），共有 21 种不同的可能.
2. 例题2 答案：10种 详解：由于题目要求三个数顺序不同算作同一种方法， 所以在枚举时只需要考虑从小到大排列 的 情 况 .用 字 典 排 列 法 不 难 得 到 :
8 0 0 8 0 1 7 0 2 6 0 3 5 0 4 4 1 1 6 1 2 5 13 4 2 2 4 2 3 3 ，共有 10种 :申不同的可能.
3.例题3 答案： (1) 5种；（2） 6种
详解： (1) 7和5, 6和4, 5和3, 4和2, 3和 1；
(2) 和为10： 7和3, 6和4;和为 11： 7和 4,( 6和5 ； 和为 12： 7 和 5； 和为13： 7
和6.
4. 例题4 答案：12个 详解：按长方形的大小分类•一格的有 1个，两格的有3个，三格的有2个，四格的有3个, 六格的有2个，八格的有1个•共有1 3 2 3 2 1 12个. 5. 例题5 答案：8种 详解：天数最多3天•按天数分类•吃1天的有1种，吃2天的有4种，吃3天的有3种•共 有1 4 3 8种. 6. 例题6 答案：10种 详解：3个水果既可以同种，也可以不同种•因此可按所选水果的种类数量进行分类： （1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共 3种情况； （2 ）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个 苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况； （3） 3种水果都选：每种水果各 1个，共1种情况. 综上所述，共有3 6 1 10种情况. 7. 练习1 答案：10种 简答：每人至少1本，人与人不同，所以是“有顺序”的问题，枚举可得共有 10种不同的奖 励方法. 8. 练习2 答案：8种 简答：题目要求是 3个大于0的数组成一组，也就是“无顺序”，在枚举时要注意前后的大小 关系，共8种. 9. 练习3
第二讲 枚举法中的字典排列 1. 例题1 答案：21种 简答：按正方形的大小分类•一格的有 1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1
个.共有14 4 1 10个. 11. 作业1 答案：3种 简答：（2、1、1） ; （1、2、1） ; （1、1、2）;共 3 种. 12. 作业2 答案：10种 简答：按取出的钱所含的面值种数分类，可能是 1种面值，也可能是 2种面值，也可能是 3 种面值.3类情形加起来共有10种可能. 13. 作业3 答案：8种 简答：根据天数分类.1天、2天、3天、4天完成分别有：1、3、3、1种情况，共8种可能. 14. 作业4 答案：13种 简答：按吃完的天数分类，分为 4类：1天、2天、3天、4天.这四类分别有1、5、6、1种 情况，共13种不同的情况. 15. 作业5 答案：5种 简答：按取出的球的种类数量进行考虑：取出的球可能有 1种或2种.分上述2类进行枚举， 共有5种不同选择.