浅谈留数及其应用
留数定理在考研中应用
留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。
通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。
通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。
3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。
通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。
4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。
通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。
总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。
掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。
第五章 留数理论及其应用
第五章 留数理论及其应用本章的中心问题是留数定理.借助第四章的讨论，我们引入留数概念并计算留数.我们即将看到柯西－古萨基本定理，柯西积分公式都是留数定理的特殊情况.作为留数定理的应用，我们可以把沿闭曲线的积分的计算转化为孤立奇点处的留数计算.对于高等数学中的一些定积分和广义积分，按过去的计算方法可能比较复杂，甚至难以算出结果，而用留数计算的方法则相对简便.因此留数定理在理论和实际应用中都具有重要意义.1. 留数的定义如果f (z )在z 0处解析，那么对于z 0的邻域中的任意一条简单闭曲线C ，都有()d 0Cf z z =⎰.如果z 0是f (z )的孤立奇点，那么对于解析圆环00z z δ<-<内包含z 0的正向简单闭曲线C ，上述积分只与f (z )和z 0有关，而与C 无关，但积分值不一定为零.现在我们来计算这个积分.由第四章定理4.12,f (z )在z 0的邻域内可展开成罗朗级数：()()nnn f z a z z ∞=-∞=-∑,其中101()d ,0,1,2,2π()n n Cf a n iz ξξξ+==±±-⎰特别地，11()d 2πCa f iξξ-=⎰.于是得到1()d 2πCf iaξξ-=⎰.因此a −1这个系数有它特殊的含义.我们把f (z )在z 0处的罗朗级数中(z −z 0)−1项的系数a −1称为f (z )在孤立奇点z 0处的留数，记为Res [f (z ),z 0]=a −1, (5.1) 即 Res[f (z ),z 0]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.2)例5．1 求下列积分的值，其中C 为包含z =0的简单正向闭曲线.(1)3cos d Czz z -⎰ (2)12ed z Cz ⎰.解： (1)令f (z )=z −3cos z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.又因cos z =2461,.2!4!6!z z z z -+-+<∞故 f (z )= 3311,0,24!6!z z z z z -+-+<<∞所以Res [f (z ),0]= 12-.(2) 令f (z )= 21e z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.因为2e 1,,1!2!!nz n ξξξξ=++++<∞以21z ξ=代入上式，得 f (z )=1242111111,0.1!2!!nz z z n z +⋅+⋅+⋅+<<∞所以，Res[f (z ),0]=0.2. 留数定理 考察积分()d Cf z z ⎰，若闭曲线C 内仅含有f (z )的一个孤立奇点，则可利用公式(5.2)来求积分值.但是如果多于一个孤立奇点，则由下述的留数定理，可以把积分的计算转化成f (z )在C 中的各孤立奇点的留数的计算.定理5.1 留数定理设函数f (z )在区域D 内除有有限个孤立奇点z 1,z 2,…,z n 外处处解析，C 是D 内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么[]1()d 2πRes (),.nkk Cf z z i f z z ==∑⎰ (5.3)证明：如图 5.1所示，以z k 为圆心，作完全含在C 内且互不相交的正向小圆C k :|z −z k |=k δ,(k =1,2,…,n )，那么由复合闭路上的柯西积分定理，有12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰但[]()d 2πRes (),.1,2,,.kk C f z z i f z z k n ==⎰于是有[]1()d 2πRes (),knkk C f z z i f z z ==∑⎰.一般来说，求函数在其孤立奇点z 0处的留数只须求出它在以z 0为中心的圆环域内罗朗级数中(z −z 0)−1的系数a −1就可以了，但在很多情况下，函数在孤立奇点的罗朗展开式并不易得到，因此有必要讨论在不知道罗朗展开式的情况下计算留数的方法. 3. 留数的计算方法(1) 如果z 0为f (z )的m 级极点，那么[]()(){}010011Res (),lim ()1!m mm z z d f z z z z f z m dz--→=-- (5.4)证明：因为z 0是f (z )的m 级极点，故在z 0的邻域中有f (z )=()01()g z z z m-,图5.1其中g (z )在z 0处解析，且g (z 0) 0≠.于是f (z )= ()0000000()()1()(),!!n n nn m n n g z g z z z z z z z m n n ∞∞-==-=--∑∑ 其中(z −z 0)−1的系数为()10()1!m g z m --.又g (z )=(z −z 0)m f (z )，因而得到：()()(){}011001()1lim ().1!1!m m m z z g z d z z mf z m m dz---→=---从而(5.4})成立.特别地，当m =1时，我们有下面的结果. (2) 若z 0是f (z )的一级极点，那么Res 00[(),0]lim()().z z f z z z f z →=- (5.5)例5.2 求f (z )=252(1)z z z --分别在z =0和z =1的留数.解： 容易看到z =0是f (z )的一级极点，故由(5.5)得Res[f (z ),0] =21052lim ()lim2.(1)z z z z f z z →→-⋅==--而z =1是f (z )的二级极点，由(5.4)得Res[f (z ),1] =(){}22115(52)lim1()lim2.z z d z z z f z dzz→→---== 在某些情况下，下面的命题用起来更方便. (3) 设f (z )=00()()P z Q z ',P (z ),Q (z )在z 0都是解析的.如果P (z 0)0≠,Q (z 0)=0且Q '(z 0)0≠，那么z 0是f (z )的一级极点，因此有Res[f (z ),z 0]=00().()P z Q z ' (5.6)证明： 事实上，因为Q (z 0)=0及Q '(z 0) 0≠，所以z 0为Q (z )的一级零点，由11()()z Q z z z ϕ=-，其中()z ϕ在z 0解析且0()0z ϕ≠，于是 f (z )=1()()z P z z z ϕ-. 因为在z 0解析且00()()0z P z ϕ≠，故z 0为f (z )的一级极点.根据(5.5)式，有0000000000()()Res[(),]lim()()lim()lim()()()()()()lim .()()()z z z z z z z z P z P z f z z z z f z z z z z Q z Q z Q z P z P z Q z Q z Q z z z →→→→=-=-=--=='-例5.3 计算f (z )= e sin zz在z =0处的留数.解: 这时P (z )=e z ,Q (z )=sin z ，于是P (0)=1,Q (0)=0,Q '(0)=1. 由(5.6)式得Res[f (z ),0]=()0(0)P Q '=1. 上述的几种方法，实质上是把留数的计算变成了微分运算，从而带来了方便.但如果z 0是f (z )的本性奇点，我们没有像上面那种简单的留数计算公式，这时只能通过求f (z )的罗朗展开来得到f (z )在z 0的留数.有时候，对于级比较高的极点，或者求导比较复杂的函数，运用上面的公式也十分复杂，选择求罗朗展开或者其它方法可能更好些.例5.4 计算f (z )= 6sin z zz-在z =0处的留数. 解：因为35663sin 111[()]3!5!1111,3!5!z z z z z z z z z z-=--⋅+⋅+=⋅-⋅+所以Res 16sin 1,0.5!z z a z --⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦此题若选择微分的方法，运算相对复杂一些，读者可做验算比较.例5．5 计算积分222d (1)(1)Czz zz -+⎰，这里C : |z –取正向.解：令f (z )=222(1)(1)zz z -+，则z 1=i , z 2=–i 为f (z )的两个一级极点，z 3=1,z 4=–1为f (z )两个二级极点.容易看出z 1,z 2,z 3位于C 的内部.由留数定理，31()d 2πRe [(),].kk Cf z z i s f z z ==∑⎰又Res [f (z ),i ]= 221lim()()lim.(1)()8z iz iz z i f z z z i →→-==-+同理Res [f (z ),–i ]=18. Res [f (z ),1] = 22211lim{(1)()}lim (1)(1)z z d d zz f z dz dz z z →→⎧⎫-=⎨⎬++⎩⎭323221311lim.(1)(1)8z z z z z z →---+==++ 于是111π()d 2π().8884Cif z z i =+-=⎰4. 在无穷远点的留数设函数f (z )在圆环域R <|z |<∞内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，那么称f (z )沿C 的负向积分值1()d 2πCf z z i⎰称为f (z )在∞点的留数，记作Res [f (z ),∞]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.7)这个积分值与C 无关，且根据公式(4.23)和(4.24)得Res[f (z ),∞]=111()d ()d ,2π2πCC f z z f z z b i i--==-⎰⎰(5.8)即f (z )在∞点的留数等于它在∞点的去心邻域R <|z |<∞内的罗朗展开式中z –1的系数的相反数.由(5.7)式，我们有下述定理.定理5.2 如果函数f (z )在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f (z )在所有奇点（包括∞点）的留数之和为零.证明：取r 充分大，使f (z )的有限个孤立奇点z k (k =1,2,…,n )都在|z |<r 中. 由留数定理，得1()d 2πRes[(),]nk k z rf z z i f z z =<=∑⎰,其中积分取圆周的正项.由(5.8})式，得Res [f (z ),∞]=()d z rf z z <-⎰.于是就有Res[f (z ),∞]+1Res[(),]nkk f z z =∑=0.例5.6 判定z =∞是函数f (z )=223zz +的什么奇点？并求f (z )在∞点的留数. 解：因为 lim ()0,z f z →∞=所以∞点是可去奇点.又f (z )在复平面内仅有3i 和–3i 为一级极点，且Res[f (z ),3i ]= 3lim3z i z i →+ =1,Res [f (z ),–3i ]= 3lim3z i z i→--=1.故由定理5.2Res[f (z ),∞] = – Res [f (z ),3i ] – Res [f (z ), –3i ] = –1–1= –2.§5.2 留数在积分计算上的应用在高等数学中我们知道，有很多函数的原函数不能用初等函数来表达，因此，通过求原函数的办法求定积分或广义积分就受到限制.利用留数理论可以求一些重要的实函数的积分.下面我们分几种类型介绍怎样利用留数求积分的值.1. 形如()d R x x ∞-∞⎰的积分这里R (x )=()()P z Q z 为有理函数，P (x )=x m +a 1x m –1+…+a m , Q (x )=x n +b 1x n –1+…+b n , P (x ), Q (x )为两个既约实多形式，Q (x )没有实零点，且n –m ≥ 2.我们取复函数R (z )=()()P z Q z ，则除Q (z )的有限个零点外，R (z )处处解析.取积分路线如图5.2所示，其中C r 是以原点为中心，r 为半径的上半圆周，令r 足够大，使R (z )在上半平面上的所有极点z k (k =1,2,…,s )都含在曲线C r 和[–r , r ]所围成的区域内.由留数定理，得1()d ()d 2πRes[(),].rrskk rC R x x R z z i f z z =-+=∑⎰⎰当r 充分大时，右端的值与r 无关.又|R (z )|=111111111111.11m m m m n mn mnnn n a z a z a z a z b z b zb z b zzz----------++++++⋅≤⋅+++-++故存在常数M ，当|z |充分大时，有图5.2|R (z )| 2.n mM M zz-≤≤令z =i re θ，于是πππ20()d (e )e d (e )d πd 0()ri i i C R z z R r ri R r r M M r r r rθθθθθθ=≤≤=→→∞⎰⎰⎰⎰因此在(5.9)式中令r →∞得1()d 2πRes[(),].nk k R x x i R z z +∞-∞==∑⎰(5.10)例5.7 计算积分242d 109x x x x x +∞-∞-+++⎰.解：记R (z )= 242109x x x x -+++，则R (z )满足(5.10)式的条件，且R (z )在上半平面内有2个一级极点z 1=i 和z 2=3i .容易得到Res [R (z ),i ]=1i 16--， Res[R (z ),3i ]= 37i48-，因此 2421i 37i 5d 2πi[]π.109164812x x x x x +∞-∞-+---=+=++⎰例5．8 计算积分24d 1x x x +∞+⎰. 解：注意到R (x )=241x x +为偶函数，于是有224401d d .121x x x x x x +∞+∞-∞=++⎰⎰ 又R (z )的分母高于分子两次，在实轴上无奇点，在上半平面上有两个一级极点1)i i +-+，且Res[R (z)i +R (z1)i -+]= 由公式(5.10})有240d 2ππ.12x x x +∞==+⎰ 故得240d π.14x x x +∞=+⎰ 2. 形如()e d (0)ix R x x αα+∞-∞>⎰的积分这里R (x )是实轴上连续的有理函数，而分母的次数n 至少要比分子的次数m 高一次(n –m ≥1).这时有1()e d 2Re [e (),].sixix k k R x x i s R z z ααπ+∞=-∞=∑⎰(5.11)其中z k (k =1,2,…,s)是R (z )在上半平面的孤立奇点.事实上，如同类型1中处理的一样，取如图(5.2)的积分曲线C r ，当r 充分大，使z k (k =1,2,…,s)全落在曲线C r 与[–r , r ]所围成的区域内.于是 又n –m ≥1，故充分大的|z |，有|R (z )| M z≤. 因此sin cos 0πsin 0ππ2sin sin 0()e d (e )e d (e )e d e d 2e d .rizi r i r C i r r r R z z R r r R r r M M παθαθαθθαθαθαθθθθθ-+---=⋅≤⋅≤=⎰⎰⎰⎰⎰当π02θ≤≤时，2sin πθθ≥，所以有 ()2ππ2π()e d 2ed (1e ).2rizr r C M R z z M rθαααθ--≤=-⎰⎰ 于是，当r →∞时，()ed 0rizC R z z α→⎰，故(5.11})式成立.(5.11})还可以变形为1()cos ()sin d 2πRes[()e ,].siz k k R x xdx i R x x x i R z z ααα+∞+∞=-∞-∞+=∑⎰⎰ (5.12)例5．9 求积分2cos d 45xx x x +∞++⎰.解：设R (z )=2145x x ++，则R (z )的分母高于分子二次，实轴上无奇点，上半平面只有一个一级极点z = –2+i ，故2122()ed 2πRes[()e ,2]2πlim [(2)]()e e e2πlim2π.22ixiz izz iiz iz i R x x i R z i i z i R z i i z i i+∞→-+-∞--→-+=-+=--+==++⎰由公式(5.12})，有2cos d 45x x x x +∞-∞++⎰=Re[12e 2π2i i i --]=1πe cos 2.- 在上面两类型的积分中，都要求R (z )在实轴上无孤立奇点，这时我们取积分闭曲线为图5.2的形式.当R (z )在实轴上有奇点时，我们要根据具体情况，对积分曲线稍作改变.下面以例题说明如何计算此类型的积分.例5.10 计算积分sin d xx x+∞⎰的值. 解：取函数f (z )=e izz，并取围道如图5.3所示，在此围道中f (z )是解析的.由柯西积分定理，得e e e e d d d d 0.r Rr Rix iz ix izR C r C x z x z x z x x --+++=⎰⎰⎰⎰ 令x =–t ，则有e e e d d d .r r Rix it ixR R rx t x x t x ----==-⎰⎰⎰ 所以有e e e e d d d 0.R rRix ix iz izr C C x z z x z z --++=⎰⎰⎰ 即sin e e 2d d d 0.R rRiz izr C C x i x z z x z z ++=⎰⎰⎰现在来证明0e e lim d 0lim d π.R riz izR r C C z z i z z →∞→==-⎰⎰和 由于图5.3π2e ππsin 00sin 0e e d d e d π22e d (0,sin )2ππ(1e ),i R iR izR C R R z R z R Rθθθθθθθθθ---≤⋅==≤≤≥=-⎰⎰⎰⎰时所以e lim d 0.RizR C z z→∞=⎰ 又因为1e 11(),2!!iz n nz z i i z z z n zϕ-=+-+++=+ 其中ϕ(z )在z =0解析，且ϕ(0)=i .因此当|z |充分小时，可设|ϕ(z )|≤2.由于e d d ()d ,r r riz C C C z z z z z z ϕ=+⎰⎰⎰ 而πd e d πe r i i C z ir i z r θθθ==-⎰⎰ 和π()d (e)d 2π.Ri C z z r r r θϕϕθ≤≤⎰⎰故有0e lim d π.rizr C z i z →=-⎰ 综上所述，令R →∞,r →0,则有sin πd .2x x x +∞=⎰3. 形如2π(sin ,cos )d R θθθ⎰的积分这里R (x ,y )是两个变量x ,y 的有理函数，比如R (x ,y )= 2222641x y x y -+-.计算这种积分的一种方法是把它化为单位圆周上的积分.事实上，令z =e i θ，那么21111sin (e e )(),222i i z z i i z iz θθθ--=-=-=21111cos (e e )(),222i i z z i i z izθθθ-+=+=+=1d d .z izθ=从而原积分化为沿正向单位圆周的积分，即2π2201111d (cos ,sin )d [,]()d ,22z z z z zR R f z z z iz iz θθθ==+-==⎰⎰⎰其中f (z )=R [2211,22z z z iz +-]1iz⋅为z 的有理函数，且在单位圆周|z |=1上分母不为零，因而可用留数定理来计算.例5．11 计算积分2π4cos 4d θθ⎰. 解：令z =e (02π)i θθ≤≤,则4444cos 4()2z z θ-+=, 42π448441701111(1)cos 4d ()d d 216z z z z z z z iz i z θθ-==++==⎰⎰⎰ 在0z <<1内，被积函数的罗朗展开式为48179117(1)113.161648z z z z z ---+=+++故2π8441701(1)3cos 4d [2πRes[,0]]π.164z i i z θθ+==⎰ 总结上述的方法，我们发现，由于留数是与闭曲线上的复积分相联系的.因此利用留数来计算定积分需要有两个主要的转化过程：1) 将定积分的被积函数转化为复函数；2) 将定积分的区间转化为复积分的闭路曲线. 根据这种思路，我们可以计算更多的积分.比如，Fresnel 积分2cos d x x ∞⎰和2sin d x x ∞⎰.这两个积分在光学的研究中很有作用.取函数f (z )=2eix ，取积分围道如图5.4，因为f (z )在闭围道内解析，由柯西积分定理，有222e d e d e d 0.ix izix OABOABx z z ++=⎰⎰⎰当z 在OA 上时，z =x , 0≤x ≤r ,22e d e d .rix ixOAx x =⎰⎰当z 在AB 上时，z =r e i θ,0θ≤π4≤，此时4sin 2πθθ≥，所以2422πsin 2e e e.r iz rθθ--=≤故π42422ππe d ed (1e )0,().4r iz r ABz r r rθθ--≤⋅=-→→∞⎰⎰ 当z 在BO 上时，z =x 4πe i ,0,x r ≤≤πππ222444e 0e d ee d ee d .i ri i iz ix x BOrz x x -=⋅=-⎰⎰⎰ 令r →∞，于是(5.13})变为224e d 0ee d ,i ix x x x π∞∞-+-⎰⎰ 又2πe d xx ∞-=⎰, 因此22440πe d ee d e .2i i ix x x x ππ∞∞-==⎰⎰ 上式两边分别取实部和虚部，即得221πcos d sin d .x x x x ∞∞==⎰⎰ 小 结留数定义为：011Res[(),]()d 2πCf z z a f z z i-==⎰其中1a -是函数()f z 在0z 点的罗朗展开式的10()z z --的系数，C 是0z 的去心邻域0<0z z -<R 内的包含0z 的任意一条正向简单闭曲线.图5.4留数定理：若函数()f z 在区域D 内除了有限个孤立奇点21,,,n z z z -外处处解析，C是D 内包含这些起点的一条正向简单闭曲线，则有：1()d 2πRes[(),]nji fCf z z i f z z ==∑⎰.留数定理将积分路径内包含有限个孤立奇点的复积分的计算问题转化为对这些奇点的留数的计算. 如何计算留数，我们有下列方法：⑴ 一般方法：设0z 为函数()f z 的孤立奇点（无论是可去奇点、极点或本性奇点），将()f z 在0z 处展开为罗朗级数，并求出系数1a -，则有01Res[(),]f z z a -=.特别是当0z 为本性奇点时，这个方法是比较常用的方法.⑵ 一级极点情形：若0z 为()f z 的一级极点，则有00Res[(),]lim()()z z f z z z z f z →=-⑶ m 级极点情形：若0z 为()f z 的m 级极点，则有010011Res[(),]lim [()()]!m m m z z d f z z z z f z m dz--→=-⑷ 化为零点问题：若()f z =()()P z Q z ,()P z 和()Q z 在0z 点解析，且()P z ≠0，()Q z =0，'()Q z ≠0,则0z 为()f z 的一级极点，且有000()Res[(),]'()P z f z z Q z =当()f z 为函数时，这个方法是常用的方法.⑸ 可去奇点情形，若0z 是函数f (z )的可去奇点时，则有0Res[(),]0f z z =.无穷远点∞处的留数定义为：设()f z 在R ﹤z ﹤∞内解析，C 为该区域内的绕原点的任意一条正向简单闭曲线，则()f z 在孤立奇点∞处的留数为11Res[(),]()d 2πCf z a f z z i-∞==⎰.若()f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则()f z 的所有奇点（包括无穷远点∞）的留数的总和等于零.应用留数定理，可以计算一些实积分，称为围道积分方法.重要介绍是下列三种类型的实积分：⑴()d R x x ∞-∞⎰; ⑵()ed ,0iaxR x x a ∞-∞>⎰;⑶2π(cos ,sin )d R x θθθ⎰.在利用围道积分时，主要做两方面的工作.一是找一个与所求积分的被积函数密切相关的复变函数()F z ;二是找一条合适的闭路曲线C ，使得在这条闭曲线所围成的区域D 内()F z 只有有限个孤立奇点. ()F z 沿着C 的积分与实积分紧密相关，这样就可以应用留数定理计算实积分.重要术语及主题留数 留数定理 扩充复平面 无穷远点的留数 留数计算 留数定理的应用习题五1.求下列函数的留数.⑴ 5e 1()zf z z -=在0z =处； ⑵ 11()e z f z -=在1z =处.2. 利用各种方法计算()f z 在有限孤立奇点处的留数. ⑴ 232()(2)z f z z z +=+; ⑵ 1()sin f z z z=.3. 利用罗朗展开式求函数21(1)sin z z+在∞处的留数. 4.求函数1()()m mz a z b --(,a b m ≠为整数)在所有孤立奇点（包括∞点）处的留数.5. 计算下列积分. ⑴tan πd Cz z ⎰, n 为正整数，C 为z =n 取正向;⑵10d ()(1)(3)Czz i z z +--⎰, C :z =2,取正向. 6. 计算下列积分.⑴ π0cos d 54cos m θθθ-⎰; ⑵2π20cos3d 12cos a a θθθ-+⎰ ,a >1; ⑶ +2222-d ,()()xx a x b ∞∞++⎰a >0,b >0: ⑷ 22220,()x x a ∞+⎰a >0: ⑸+222sin d ,()x xx x b β∞+⎰β>0, b >0: ⑹+22-e d ,ixx x a∞∞+⎰a >0: 7. 计算下列积分.⑴20sin 2d (1)xx x x ∞+⎰; *⑵ 21d 2πza z i zΓ⎰,其中Γ为直线Re x c =,c >0,0<a <1.。
留数的求法及应用总结
留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。
留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。
留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。
首先，我们来看留数的求法。
在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。
对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。
对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。
2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。
然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。
3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。
通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。
4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。
通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。
接下来，我们来看留数的应用。
1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。
通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。
通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。
3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。
通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。
4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。
通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。
第六章 留数理论及应用
第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰C dz z f i)(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n Cnn C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
第四章 留数定理及其应用
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
留数的定义,性质以及应用
P( z ) ( z − z0 ) f ( z ) = Q ( z ) − Q ( z0 ) 因为 z − z0
令 z→z0 即得(5.2.6)
9
ze dz 2 ∫ 例 1 计算积分 C z − 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) = 2 [解] 由于 z − 1 有两个一级极点+1,−1, 而
z
[解] z=0 为被积函数的一级极点, z=1 为二级 极点, 而 z z e e Res[ f ( z ),0] = lim z ⋅ = lim = 1. 2 2 z →0 z → 0 ( z − 1) z ( z − 1)
15
⎤ 1 d ⎡ e 2 Res[ f ( z ),1] = lim ( z − 1) ⎢ 2⎥ (2 − 1)! z →1 d z ⎣ z ( z − 1) ⎦
6
2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z → z0
m −1
(5.2.4)
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
d 1 m Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z (5.2.5)
例1 例2 例3 例4 计算积分 计算积分 计算积分
| z | =1
∫
dz (0 < ε < 1) 2 ε z + 2z + ε
ze z dz 2 z −1 z dz 4 z −1
| z|= 2
∫
| z| = 2
∫
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复分析中的一个重要定理，它在求解不同类型的积分中起着至关重要的作用。
留数定理将复变函数的积分转化为对函数在奇点处留数的求解，通过计算留数来得到对应积分的值，从而简化了复变函数的积分计算过程，提高了计算效率。
在实际应用中，留数定理在求解围道积分、实变函数积分、不定积分等方面都有着广泛的应用。
1.留数定理的基本概念留数定理是复变函数中的重要定理，它主要用于计算沿着封闭曲线的围道积分。
对于一个具有奇点的函数f(z)，留数定理指出了当围道不包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值为0；当围道包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值等于围道内所有奇点的留数之和。
留数的概念很简单，对于奇点z0，它的留数Res(z0)定义为f(z)在z0处的Laurent级数中-1次幂的系数。
2.留数定理在围道积分中的应用对于具有围道的积分来说，留数定理是非常有用的。
当我们需要计算一个函数沿着一个封闭曲线的积分时，如果围道内有奇点，我们只需要求出这些奇点的留数，然后将它们求和，就能得到整个围道积分的值。
这极大地简化了积分计算的过程。
举个例子，考虑计算函数f(z)=1/z²在单位圆周|z|=1上的围道积分∮f(z)dz。
该函数在z=0处有一个一阶极点，我们只需要计算出该极点的留数就能得到围道积分的值。
在这个例子中，函数f(z)的极点留数为Res(0)=1，根据留数定理，围道积分的值为2πi*Res(0)=2πi。
虽然留数定理是针对复变函数的，但实变函数积分中也可以通过适当的拓展来应用留数定理。
对于实变函数f(x)来说，我们可以将其扩展为复变函数f(z)，然后寻找函数f(z)的奇点和对应的留数，最后通过留数定理来求解原实变函数的积分。
考虑计算实变函数f(x)=1/(x²+1)的不定积分∫f(x)dx。
在实数轴上，函数f(x)的奇点为x=i和x=-i，对应的留数分别为Res(i)=1/(2i)和Res(-i)=-1/(2i)。
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浅谈留数及其应用
徐松松41345053 计1304
1. 留数
留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系.
（1） 留数的概念及留数定理
定义5.4 设0z 是解析函数)(z f 的孤立奇点，我们把)(z f 在0z 处的洛朗展
开式中负一次幂项的系数1-C 称为)(z f 在0z 处的留数.记作]),([Re 0z z f s ，即]),([Re 0z z f s =1-C .显然，留数1-C 就是积分
dz z f i
C ⎰)(21π的值，其中C 为解析函数)(z f 的0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线.
关于留数，我们有下面定理. 定理5.7（留数定理） 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点
n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么∑⎰==n
k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π.
一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内
的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数
更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本性奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.
（2） 函数在极点的留数
法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则
)()(lim ]),([Re 000
z f z z z z f s z z -=- （5.4） 法则2：设)
()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且
)
()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. （5.5）
法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则
)]()[(lim !11]),([Re 011
00z f z z dz
d m z z f s m m m z z --=---）（. （5.6） （3） 无穷远点的留数
定义5.5 设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<<z R 内解
析，则称
dz z f i
C ⎰)(21π （R z C >=ρ：） 为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.
如果)(z f 在+∞<<z R 的洛朗展开式为∑∞-∞==
n n n z C z f )(，则有
1],[Re --==∞C f s .
这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.
定理5.8 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.
关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.
法则4：]0,1)1
([Re ],[Re 2z
z f s z f s ∙-=∞）（. 2.留数在定积分计算中的应用
留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法.应用留数定理计
算实变函数定积分的方法称为围道积分方法.所谓围道积分方法，概括起来说，就是不求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算.要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分.现就几个特殊类型举例说明.
（1） 形如
θθθπd R )sin ,cos 20（⎰的积分 令θθθd ie dz e z i i ==, ，
iz z i e e i i 212sin 2-=-=-θθθ ， iz
z i e e i i 212cos 2+=+=-θθθ )sin ,cos θθ（R 是θθsin ,cos 的有理函数；作为θ的函数，在πθ20≤≤上连续.
当θ经历变程[π20，]时，对应的z 正好沿单位圆1=z 的正向绕行一圈，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=iz z z z R z f 21,21)(22在积分闭路1=z 上无奇点，则
⎰⎰=-+=12220)21,21)sin ,cos z iz
dz iz z z z R d R （（π
θθθ ⎰==1
)(z dz z f
∑==n k k z z f s i 1
],)([Re 2π.
（2） 形如dx x R ⎰+∞
∞-)(的积分
令 )2()()()(1111≥-++++++==--n m b z b z a z a z z Q z P z R m
m m n n n ， [1] Q(z)比P(z)至少高两次，
[2] Q(z)在实轴上无零点，
[3] R(z)在上半平面Imz>0内的极点为)21(n k z k ，，=，则有
∑⎰=∞
+∞-=n
k k z z R s i dx x R 1],)([Re 2)(π.
（3） 形如)0()(>⎰+∞
∞-a dx e x R iax 的积分
R(x)是真分式，在实轴上无奇点，则 ⎰
⎰∞+∞-∞
+∞-=dx e x Q x P dx e x R iax iax
)()()( ∑==n k k z z f s i 1
],)([Re 2π，
其中iaz e
z R z f )()(=.。