Z反变换方法
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7.2反Z变换
k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
2.3z反变换
4
2.3 z反变换
一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换 称作z反变换。
即：z反变换是z变换的逆运算。
5
例：上一节课，我们算出 敛域是：
的z变换和收
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) ... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...
1
第二章 z变换
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
6
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
7
1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式：
其中：
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
Res[]表示极点处的留数。
10
所以：
注意：应用第二式计算时，要求 X ( z ) z n 1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
11
求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
12
2.3 z反变换
一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换 称作z反变换。
即：z反变换是z变换的逆运算。
5
例：上一节课，我们算出 敛域是：
的z变换和收
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) ... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...
1
第二章 z变换
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
6
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
7
1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式：
其中：
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
Res[]表示极点处的留数。
10
所以：
注意：应用第二式计算时，要求 X ( z ) z n 1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
11
求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
12
Z反变换
s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
附_z反变换
于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
05第五讲 Z 反变 换
或
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
§5-2 反z变换
= − 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( − n − 1) = − [ 2 − ( 0 . 5 ) n ]u ( − n − 1)
由上例可见，若给定z变换的函数式X(z)，当已知收敛域为一圆 的外域：|z|>R1，其对应的z反变换是一个因果序列：
x ( n ) = x1 ( n )u ( n )
《Signals & Systems》
z >1
解：由收敛域知道序列是因果的，将X(z)写成
《信号与系统》
电子技术教研室
作长除
1 + 1.5 z −1 + 1.75 z −2 z 2 − 1.5 z + 0.5 z 2 z 2 − 1.5 z + 0.5 1.5 z − 0.5 1.5 z − 2.25 + 0.75 z −1 1.75 − 0.75 z −1−1 1.75 − 2.625 z + 0.875 z −2
n ZT
于是，当X(z)/z是有理真分式，则有
《Signals & Systems》
《信号与系统》
电子技术教研室
X (z) = z
∑
i=0
N
Ai z − pi
X ( z ) = A0 + ∑
i =1
N
Ai z z − pi
于是，对应的反变换当收敛域为：
z > R1 z < R2 R1 < z < R2
《Signals & Systems》
∑ (2)
k=n
−2
− ( k + 1)
=
∑ ( 2)
k=2
−n
k −1
6.3.4 z反变换
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
第二章 反z变换【VIP专享】
某圆环内
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
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信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
Ki
，
z
i0 z zi
(z a)2
（2） F(z)仅含重极点 F ( z ) N ( z )
(z z1)m
n2 (n) z(z 1)
(z 1)3
则可展开为 F(z) K11 K12 K1m K0
z (z z1)m (z z1)m-1
z z1 z
各系数
n m ( K 1 n
(n
1
dn1
1 ) ! d z n 1 (z
z
z1 z 2 z1 z 2
部分分式乘以 z
F (z) z 2z z1 z 2
f(n) (n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例7 解
z 1
8
原序列为 f (n) [3n(2)n 7(2)n 8](n) (n)
思考与练习
已 知F (z)
z2
，ROC : z 2, 求 f (n)。
( z 1)( z 2)
解 F (z) 除 以
z
F (z)
z
z
(z 1)( z 2)
展开为部分分式
F (z) k1 k2 1 2
70z1 60z2 70z1 210z2 140z3
f (n) 10(2n1) (n)
例2 已 知 F ( z )
z ,
z2 2z 1
z 1， 求 f (n)。
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
解
z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
因 为 F (z) f (0)z 0 f (1)z 1 f (2)z 2
k1 k2
z
(z 1)(z 2) z 1 z 2
系数
k1
(z
1)
F (z) z
z 1
5
k 2
(z
2)
F (z) z
z2
5
故
F (z) 5z 5z
z 1 z 2
反变换 f ( n ) 5 2 n ( n ) 5 ( n )
部分分式展开法
n(n) z
(z 1)2
nan (n) az
2 4z 1 2z 2 3z 1 2z 2 3z 1 6z 2 3z 3
所 以 f ( n ) 0, 1, 2 , 3, 4 ,
f (n) n(n)
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
幂级数展开法
幂级数展开法在应用长除法时， 对于右边序列，分母多项式应按z的降幂排列； 如果是左边序列，分母多项式应按z的升幂排列。
z1) m
F (z) z z z1
= 1，2，
)
部分分式展开法
例5 已知
F(z) z(z2 5z 7) (z 3)2 (z 2)
求原序列 f (n)
解
F (z) (z2 5z 7) 1K1 12 K2 K z (z 3)2 (z 2) (z 3)2 z 3 z 3
幂级数展开法
例1 已知
F(z) 10z z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
10z1 30z2 70z3 K
z2 3z 2 10z
即
F(z) 10z1 30z2 70z3 150z4 K
10z 30 20z1
30 20z1
原序列为
30 90z1 60z2
f (n) 0,10,30, 70,150,K
系数
K
1
z
F(z) z
z0
1 2
故
F(z) 1 z
3z 2
2 z 1 z 2
F(z)
K2 (z1)
z
1
z 1
K3
(z
2)
F
(z) z
3 2 z 2
反变换，得
f
(n)
1 2
(n)
(1)n
3 2
(2)n
(n)
部分分式展开法
例4
F (z) 5z (z 1)(z 2)
解 F (z)
5
K11
(z
3) 2
F (z) z
z3
z2
5z 7 z2
z3
1
F(z) z z 1 3z z (z 3)2 z 2 3 (z 3)2 z 2
K12
d dz
(z
3)
2F
(z) z z3
d dz
z2
5z z 2
7 z3
0
原序列为
K2
(z
2)
F(z) z
z2 5z 7 (z 3)2
1
z2
f (n) (1 n3n 2n) (n)
3
部分分式展开法
4z 4
例6 已知
F(z) (z 1)(z 2)2
求原序列 f (n)
解
F(z)
4z 4 K11 K12 K2 K3
z z(z 1)(z 2)2 (z 2)2 z 2 z 1 z
K11
(z
2) 2
F (z) z
z2
4z 4 z(z 1)
z2
6
K z F (z)
3
z
4z 4 z0 (z 1)(z 2)2
1
z0
K12
dz (z
2)2
F
(z z
)ห้องสมุดไป่ตู้
z2
ddz4zz(z41)
7
故
F(z) 6z 7z 8z 1 (z 2)2 z 2 z 1
K2
(z
1)
F(z) z
z 1
4z 4 z(z 2)2
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
Ki
，
z
i0 z zi
(z a)2
（2） F(z)仅含重极点 F ( z ) N ( z )
(z z1)m
n2 (n) z(z 1)
(z 1)3
则可展开为 F(z) K11 K12 K1m K0
z (z z1)m (z z1)m-1
z z1 z
各系数
n m ( K 1 n
(n
1
dn1
1 ) ! d z n 1 (z
z
z1 z 2 z1 z 2
部分分式乘以 z
F (z) z 2z z1 z 2
f(n) (n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例7 解
z 1
8
原序列为 f (n) [3n(2)n 7(2)n 8](n) (n)
思考与练习
已 知F (z)
z2
，ROC : z 2, 求 f (n)。
( z 1)( z 2)
解 F (z) 除 以
z
F (z)
z
z
(z 1)( z 2)
展开为部分分式
F (z) k1 k2 1 2
70z1 60z2 70z1 210z2 140z3
f (n) 10(2n1) (n)
例2 已 知 F ( z )
z ,
z2 2z 1
z 1， 求 f (n)。
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
解
z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
因 为 F (z) f (0)z 0 f (1)z 1 f (2)z 2
k1 k2
z
(z 1)(z 2) z 1 z 2
系数
k1
(z
1)
F (z) z
z 1
5
k 2
(z
2)
F (z) z
z2
5
故
F (z) 5z 5z
z 1 z 2
反变换 f ( n ) 5 2 n ( n ) 5 ( n )
部分分式展开法
n(n) z
(z 1)2
nan (n) az
2 4z 1 2z 2 3z 1 2z 2 3z 1 6z 2 3z 3
所 以 f ( n ) 0, 1, 2 , 3, 4 ,
f (n) n(n)
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
幂级数展开法
幂级数展开法在应用长除法时， 对于右边序列，分母多项式应按z的降幂排列； 如果是左边序列，分母多项式应按z的升幂排列。
z1) m
F (z) z z z1
= 1，2，
)
部分分式展开法
例5 已知
F(z) z(z2 5z 7) (z 3)2 (z 2)
求原序列 f (n)
解
F (z) (z2 5z 7) 1K1 12 K2 K z (z 3)2 (z 2) (z 3)2 z 3 z 3
幂级数展开法
例1 已知
F(z) 10z z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
10z1 30z2 70z3 K
z2 3z 2 10z
即
F(z) 10z1 30z2 70z3 150z4 K
10z 30 20z1
30 20z1
原序列为
30 90z1 60z2
f (n) 0,10,30, 70,150,K
系数
K
1
z
F(z) z
z0
1 2
故
F(z) 1 z
3z 2
2 z 1 z 2
F(z)
K2 (z1)
z
1
z 1
K3
(z
2)
F
(z) z
3 2 z 2
反变换，得
f
(n)
1 2
(n)
(1)n
3 2
(2)n
(n)
部分分式展开法
例4
F (z) 5z (z 1)(z 2)
解 F (z)
5
K11
(z
3) 2
F (z) z
z3
z2
5z 7 z2
z3
1
F(z) z z 1 3z z (z 3)2 z 2 3 (z 3)2 z 2
K12
d dz
(z
3)
2F
(z) z z3
d dz
z2
5z z 2
7 z3
0
原序列为
K2
(z
2)
F(z) z
z2 5z 7 (z 3)2
1
z2
f (n) (1 n3n 2n) (n)
3
部分分式展开法
4z 4
例6 已知
F(z) (z 1)(z 2)2
求原序列 f (n)
解
F(z)
4z 4 K11 K12 K2 K3
z z(z 1)(z 2)2 (z 2)2 z 2 z 1 z
K11
(z
2) 2
F (z) z
z2
4z 4 z(z 1)
z2
6
K z F (z)
3
z
4z 4 z0 (z 1)(z 2)2
1
z0
K12
dz (z
2)2
F
(z z
)ห้องสมุดไป่ตู้
z2
ddz4zz(z41)
7
故
F(z) 6z 7z 8z 1 (z 2)2 z 2 z 1
K2
(z
1)
F(z) z
z 1
4z 4 z(z 2)2