§5-2 反z变换
反Z变换

8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式,可分解成部分分式: X(z)是z的有理分式,可分解成部分分式:
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换: 对各部分分式求z反变换:
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例:用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
Z反变换

s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时,X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时,Cs
( z
(1), z 3时,x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时,x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时,双边序列
n 1时,围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时,围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
z反变换的方法解析

改为 直接 分解 F( ) , 这 种 情 况 得 到 的 F( 。 ) 的分 解 式子 往往 是基 本信 号 的滞后 。 ( 3 ) 留数法 。若 t ) 的 变换 为 F ( z ) , 则
k T ):
.
) 的降幂 排 列 的 级 数 展 开 式 , 然 后 对 每 一 项 进 行
要: z变换和 z 反 变换是计算机控制 系统 中的重要 数学 工具 , 其 中z 反 变换是教 学难点 , 通 常学生不能很 好
地掌握 。本 文就 反变换的三种常见方法—— 长除 法 、 部分分式 法和 留数 法——作 了详细讲述 , 并对一个典型例题
进行详细分析 。这可为计 算机控 制 系统的教学提供一种较好 的思路 。
关键词 : 计算机控 制 系统 ; z变换 ; 反 变换
一
、
变换 和 反 变 换 的作 用
系数 , 就是 时 问序列 中 的 后 ) 的值, 即
k 7 )= C ( 6 )
变换和 : 反 变 换 是 计算 机 控 制系 统 中的 重 要
数学工具 。连续信号 t ) 经采样周期为 的采样开 关采 样后 , 采样 信 号 f ( t ) 可表 示为
可先 将 , ( : ) 除以。 , 然 后 将 F( : ) / z 分 解 为 部 分 分 式, 这样 可降低 分解 难度 。分解 后 , 各项再 乘 以 因子 。 之 后查 表分别 求 其 : 反 变换 。倘 若 如果 F( = ) 的分 子 中不含 有 因子 , 则不 必进 行 F( ) 除以 。 的操 作 ,
.
时 刻开 始才有 非 零值 。 长 除法 的 特 点 是 计 算 简 单 , 容 易得 到 I 厂 ( 0) , ( 2 ) ( ) , f ( 2 T ) … 的数 值 , 比较 直 观 。 缺 点 是 从 一 组 厂 ( k T ) 值 中很难 求 出一般 项 表达 式 。
Z反变换

1
2j
X (z)z n1dz
c m
Re s[ X (z)z n1]zzm
zk 为c内的第k个极点,zm 为c外的第m个极点,
Res[ ]表示极点处的留数。
2.部分分式法
有理式:数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。
有理分式:含字符的式子做分母的有理式,或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
Rx z Rx
反:x(n) 1
2j
X (z)zn1dz,
c
c (Rx , Rx )
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
j Im[ z]
Rx
0
Re[ z]
Rx
c
求Z反变换的方法
1.留数法
由留数定理可知:
1
2j
X (z)z n1dz
c
k
Re s[ X (z)z n1]zzk
证明:X (z)
x(n) z n , 对其两端求导得
n
dX ( z) d [ x(n) z n ] x(n) d ( z n )
dz
dz n
n
dz
nx(n) z n1 z 1 nx(n) z n
n
n
即,Z[nx(n)] z dX ( z) dz
5. 共轭序列
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
( z
z
)
]
z
2
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
05第五讲 Z 反变 换

(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res[X(z)zn-1, zk ]表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式(1-67)说明,函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式(1-66)及式(1-67),可得
该积分路径c在半径为R的圆上,即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式(1-65)也称为柯西积分定律。因此
有三种: 围线积分法(留数法)、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析, 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
《自动控制原理》z变换与z反变换

《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科,其中涉及到了很多数学工具和方法,其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具,它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下:X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中,x(n)为离散时间信号,X(z)为z变换后的结果,z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域,从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式,从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多,这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质,即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质,即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质,即输入信号为实数序列时,其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时,可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号,其定义如下:x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中,X(z)为z变换的结果,x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号,从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如,在系统建模和分析中,可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数,从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外,在数字滤波器设计中,z变换也是一种常用的工具,可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数,从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来,z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具,可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
第二章 反z变换【VIP专享】

z-1 z z-1与z
例2.5:已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解:将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 :已知 解:
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地,Z变换式为有理分式的情形,可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列,不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列,不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例: X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列,同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X(z)可以分解成
其中
是简单的分式,可以通过Z变换表
3
1
,显然, X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点:z1=1 及 z2 = 1/3,故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外,围
线c之内包含X0(z)的两个极点,所以有:
§5-2 反z变换

x ( n ) = A0 δ ( n ) + ∑ Ai p in u ( n )
i =1 N
N
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p in u ( − n − 1)
i =1
M
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p u ( − n − 1) +
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其中x2(n)是环外极点对应部分的反变换,x3(n)是环内极点对应部分 的反变换。 练习:试用幂级数展开法求 与0<|z|<1时的z反变换。
X ( z) = 1 z ( z − 1) 2
当收敛域分别是|z|>1
1.(n − 2)u (n − 2)
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1 x(n) = 2πj
∫
C
X (z)z
n −1
dz
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例题1:已知序列的z变换及其收敛域如下,试用留数法求其z反变
换。
z2 X ( z) = ( z − 1)( z − 0.5)
z >1
j Im{z}
解:由留数法
z n +1 x ( n ) = ∑ Re s[ ] z = zi ( z − 1)( z − 0 .5 ) i
作长除
2 z 2 + 6 z 3 + 14 z 4 0.5 − 1.5 z + z 2 z 2 z 2 − 3z 3 + 2 z 4 4 3z 3 3 − 2z 4 3z − 9 z + 6 z 5 5 7z4 − 6 z 7 z 4 − 21z 5 + 14 z 6
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= − 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( − n − 1) = − [ 2 − ( 0 . 5 ) n ]u ( − n − 1)
由上例可见,若给定z变换的函数式X(z),当已知收敛域为一圆 的外域:|z|>R1,其对应的z反变换是一个因果序列:
x ( n ) = x1 ( n )u ( n )
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z >1
解:由收敛域知道序列是因果的,将X(z)写成
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作长除
1 + 1.5 z −1 + 1.75 z −2 z 2 − 1.5 z + 0.5 z 2 z 2 − 1.5 z + 0.5 1.5 z − 0.5 1.5 z − 2.25 + 0.75 z −1 1.75 − 0.75 z −1−1 1.75 − 2.625 z + 0.875 z −2
n ZT
于是,当X(z)/z是有理真分式,则有
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X (z) = z
∑
i=0
N
Ai z − pi
X ( z ) = A0 + ∑
i =1
N
Ai z z − pi
于是,对应的反变换当收敛域为:
z > R1 z < R2 R1 < z < R2
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∑ (2)
k=n
−2
− ( k + 1)
=
∑ ( 2)
k=2
−n
k −1
=
− n−2 k =0
∑ (2)
k +1
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− n− 2 k
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1 − 2 − n −1 x (n ) = 2 ∑ ( 2) = 2 = − 2[1 − 2 − n −1 ]u ( − n − 1) 1− 2 k =0
阶次高于分子多项式阶次两次以上
x ( n ) = − Re s[ F ( z )]z =4
⎡ ⎤ z n +1 = − ⎢( z − 4 ) ⎥ ( 4 − z )( z − 1/ 4 ) ⎦ z =4 ⎣ 4n + 2 = 15
4− n 4n + 2 ∴ x(n) = u( n + 1) + u ( − n − 2) 15 15 《Signals & Systems》
x ( n ) = A0 δ ( n ) + ∑ Ai p in u ( n )
i =1 N
N
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p in u ( − n − 1)
i =1
M
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p u ( − n − 1) +
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1 x(n) = 2πj
∫
C
X (z)z
n −1
dz
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例题1:已知序列的z变换及其收敛域如下,试用留数法求其z反变
换。
z2 X ( z) = ( z − 1)( z − 0.5)
z >1
j Im{z}
解:由留数法
z n +1 x ( n ) = ∑ Re s[ ] z = zi ( z − 1)( z − 0 .5 ) i
2. − (n − 2)u (− n + 2)
四、反Z变换的求解—部分分式法
反z变换的部分分式法,是因为有
1 z x ( n ) = a u ( n ) ←⎯→ = −1 1 − az z−a
n ZT
z > R1 z < R2
1 z x ( n ) = − a u ( − n − 1) ←⎯→ = −1 1 − az z−a
作长除
2 z 2 + 6 z 3 + 14 z 4 0.5 − 1.5 z + z 2 z 2 z 2 − 3z 3 + 2 z 4 4 3z 3 3 − 2z 4 3z − 9 z + 6 z 5 5 7z4 − 6 z 7 z 4 − 21z 5 + 14 z 6
所以 x ( n ) = {L ,14 ,6 , 2 ,0} =
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例题4 :已知序列的z变换及其收敛域如下,试用长除法求其z反变
换。
z2 X ( z) = ( z − 1)( z − 0.5) z2 X ( z) = 0. 5 − 1. 5 z + z 2
z < 0.5
解:由收敛域知道序列是以左边序列,将X(z)写成
换。
z2 X ( z) = ( z − 1)( z − 0.5)
0.5 < z < 1
j Im{z}
解:还是求以原点为圆心,收敛域中围线所 包含极点的留数法
z n +1 x ( n ) = ∑ Re s[ ] z = zi ( z − 1)( z − 0 .5 ) i
1
Re{ z}
N≥-1
此时围线内只有一个极点:0.5,其留数与前例相同。
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§5-2
一、反Z变换的公式
由Z变换的公式 两边同乘zm-1,
X ( z) =
m −1 ∞
反Z变换
−n x ( n ) z ∑
n= −∞
X (z)z
=
n = −∞
∑
∞
x ( n ) z m − n −1
上式两边同在X(z)zm-1的收敛域内作围线积分,
∫
C
X (z)z
m −1
1
Re{ z}
选择以原点为圆心,收敛域中的闭合围线。 当n≥0,围线内只有两个一阶极点:1、0.5 z n +1 z n +1 =2 Re s[ ] z =1 = ( z − 1)( z − 0 .5 ) ( z − 0 . 5 ) z =1
z n +1 z n +1 Re s[ ] z = 0 .5 = ( z − 1)( z − 0 .5 ) ( z − 1)
∴ x ( − 3) = 6 − 2 ( 0 . 5 ) − 2 = − 2
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=6
z=0
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如此继续,可以求得当n≤-1时,
x(n) = −2
x ( n)
− 3 − 2 −1 0 1
2
3
4
5 6
n
−1 −2
所以所给函数的z反变换可表示为:
Re s[ 1 1 ]z=0 = z ( z − 1)( z − 0 .5 ) ( z − 1)( z − 0 .5 )
=2
z=0
∴ x ( − 2 ) = 2 − 2 ( 0 .5) − 1 = − 2
当n=-3,0点处有二阶极点,其留数 d 1 2 z − 1 .5 Re s{ [ ]} z = 0 = − 2 dz ( z − 1)( z − 0 .5 ) ( z − 1 .5 z + 0 .5) 2
所以 x ( n ) = {1,1 .5,1 .75 .L} =
= [ 2 − ( 0 .5 ) n ]u ( n )
n +1 1 − ( 0 . 5 ) ( 0 .5 ) k = = 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( n ) ∑ 1 − 0 .5 k =0
n
⑵ 若X(z)的收敛域为:|z|<R2,则将分子、分母多项式均按升幂排 列;然后作长除;取长除结果的系数即是所求序列。
Zi是X(z)zn-1在围线C内的极点。
当X(z)zn-1在z=zi处有k阶极点,对应的留数按下式求解
k −1 1 d Re s{ X ( z ) z n −1} = { k −1 [( z − z i ) k X ( z ) z n −1 ]} z = zi ( k − 1)! dz
《Signals & Systems》
z=
⎡ ⎤ 1 z n +1 = ⎢( z − ) ⎥ 4 (4 − z )( z − 1/ 4) ⎦ z = 1 ⎣ 4 −n 4 = 《Signals & Systems 15 》
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
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当n < −1时
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1 F ( z )在围线c内有一阶极点z = 和-( n + 1)阶极点z = 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4,且F(z)的分母多项式
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= − 2 ( 0 .5) n +1
z = 0 .5
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所以
பைடு நூலகம்
x ( n ) = 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( n ) = [ 2 − ( 0 .5 ) n ]u ( n )
x ( n)
2 1
0
1
2
3
4
5
6
n
例题2 :已知序列的z变换及其收敛域如下,试用留数法求其z反变
k
若F(z)在c外M个极点zm,且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以 上,则:
x ( n ) = − ∑ Re s[ F ( z )]z = zm
m
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