《自动控制原理》z变换与z反变换

7-3 z 变换与z 反变换引言：● 连续系统的分析：拉氏变换 传递函数 ● 用拉氏变换的优点： ……● 离散系统：能否拉氏变换？有什么问题？如何改进？ ● 新理论/方法 如何产生？一、离散信号的拉氏变换及其问题设连续信号)(t e 是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为⎰∞-=0)()(dt e t e s E st由于0<t 时，有0)(=t e ，故上式亦可写为⎰∞∞--=dt e t e s E st)()(对于采样信号)(*t e ，其表达式为∑∞=-=0*)()()(n nT t nT e t e δ故采样信号)(*t e 的拉氏变换])([)()]()([)()(0**⎰∑⎰∑⎰∞∞--∞=∞∞--∞=∞∞---=-==dt e nT t nT e dt e nT t nT e dt e t e s E stn stn stδδ（7-20）由广义脉冲函数的筛选性质⎰∞∞-=-)()()(nT f dt t f nT t δ故有snTst edt e nT t -∞∞--⎰=-)(δ于是，采样信号)(*t e 的拉氏变换可以写为nsTn enT e s E -∞=∑=0*)()( (7-21)和连续信号比较： ⎰∞-=0)()(dt e t e s E st)(1)(t t e =时: s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-例7-3 设)(1)(t t e =，试求)(*t e 的拉氏变换。

解 由式(7-26)，有...1)()(20*+++==--∞=-∑TsTsn nsTeeenT e s E一个无穷等比级数，公比为Tse-，求和后得闭合形式1,111)(*<-=-=TsTsTsTs e e e e s E 比较： s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-显然，)(*s E 是Tse 的有理函数。

但是s 的超越函数例7-4[没有] 设,0,)(≥=-t e t e at为常数，试求t e *的拉氏变换。

解 由式(7-5)，有1,11)()()(0)(0*<-=-===+--+-∞=+-∞=--∑∑Ta aT Ts TsT a s n Ta s n nsTanT eee e e eees E σ式中，σ为S 的实部。

上式也是Tse 的有理函数。

例7-5[没有] 设0,)(2≥-=--t e e t e tt ，试求采样拉氏变换)(*s E 。

解 对于给定的)(t e ，显然有)2)(1(1)(++=s s s E而由式(7-5)，可得))(()(1111)()(22)2()1(02*TTs T Ts TsT T T s T s n nsTnTnTe e e e ee e e e eees E ----+-+-∞=------=---=-=∑上述分析表明，只要)(t E 可以表示为S 的有限次多项式之比时，总可以用式(7-5)推导出)(*s E 的闭合形式。

分析：在上式中，各项均含有Tse 因子，尽管可以得到Tse 的有理函数，但却是一个复变量S 的超越函数。

问题：书写、计算不方便，不便于进行分析和设计。

如何改进？二、z变换的定义为便于应用，令变量Tsez=式中，T为采样周期；z是在复平面上定义的一个复变量,z=u+jv。

将Ts e记为z后，则采样信号)(*te的z变换定义为(7-28)记作:)]([)]([)(*t eZteZzE==后一记号是为了书写方便，并不意味着是连续信号)(t e的z变换，而是仍指采样信号)(*te的z变换，通常称为z变换算子。

应当指出，z变换仅是一种在采样拉氏变换中，取sT ez=的变量置换。

通过这种置换，可将s的超越函数转换为z的幂级数或z的有理分式。

亦曰：z变换可以把离散系统的S超越方程，变换为变量z的代数方程。

可见：z变换的思想来源于连续系统。

z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。

因此，z 变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。

线性连续控制系统的动态及稳态性能，可以应用拉氏变换的方法进行分析。

与此相似，线性离散系统的性能，可以采用z变换的方法来获得。

三．z变换计算方法求离散时间函数的z变换有多种方法。

下面只介绍常用的两种主要方法。

(1) 级数求和法级数求和法是直接根据z 变换的定义，将式(7-23)写成展开形式：...)(...)2()()0()(21+++++=---nznT e z T e z T e e z E (7-25)上式是离散时间函数)(*t e 的一种无穷级数表达形式。

显然，根据给定的理想采样开关的输入连续信号)(t e 或其输出采样信号)(*t e ，以及采样周期T ，由式(7-25)立即可得z 变换的级数展开式。

通常，对于常用函数z 变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。

例7-5 试求单位函数1(t)的z 变换。

解 由于)(1)(t t e =在所有采样时刻上的采样值均为1，即)...2,1,0(1)(∞==n nT e ，故由式(7-30)，有......1)(21+++++=---nzz z z E在上式中，若11<-z ，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得1(t)的z 变换的闭合形式为111)(1-=-=-z z z z E因为TsTeezσ---==1，式中s Re =σ，所以条件11<-z意味着条件0>σ。

这也是单位阶跃函数可以拉氏变换的条件。

本例结果与例7-3一致。

例7-6 设∑∞=-==0)()()(n T nT t t t e δδ试求理想脉冲序列)(t T δ的z 变换。

解 因为T 位采样周期，故∑∞=-==0)()()(n T nT t t t e δδ由拉氏变换知∑∞=-=0*)(n nsTes E因此...1)(201+++==-∞=--∑zz zz E n n将上式写成闭合形式，得)(t T δ的z 变换为1,111)(11<-=-=--zz z zz E从例7-5和例7-6可见，相同的z 变换)(z E 对应于相同的采样函数)(*t e ，但是不一定对应于相同的连续函数)(t e ，这是利用z 变换法分析离散系统时特别要注意的一个问题。

(2)部分分式法利用部分分式法求z 变换时，先求出已知连续时间函数)(t e 的拉氏变换)(s E ，然后将有理分式函数)(s E 展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z 变换是已知的，于是可方便地求出)(s E 对应的z 变换)(z E 。

例7-8 已知连续函数的拉氏变换为)()(a s s as E +=试求相应的z 变换)(z E 。

解 将)(s E 展成如下部分分式a s s s E +-=11)(对上式逐项取拉氏反变换，可得at e t e --=1)(由例7-6及例7-4知1)](1[-=z z t Z aT at ez z e Z ---=][ 所以aT aT aTaT e z e z e z e z z z z z E ----++--=---=)1()1(1)(2 例7-7 设wt t e sin )(=，试求其)(z E解 对wt t e sin )(=取拉氏变换，得22)(ws w s E +=将上式展开为部分分式：)11(21)(jw s jw s j s E +--=根据指数函数z 变换表达式，可以得到]1)()([21)(21)(2++--=---=---jwT jwT jwTjwT jwT jwT e e z z e e z j ez z e z z j z E 化简后得 1cos 2sin )(2+-=wT z z wT z z E问题：上式是超越函数吗？为什么？常用时间函数的z 变换表如表7-2所示([2]p322)。

z 变换表中的规律:(1) 这些函数的z 变换都是z 的有理分式。

(2) 分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。

(3) 分母z 多项式的最高次数与相应传递函数分母s 多项式的最高次数相等。

(4) z 变换表中，所有z 变换函数)(z E 在其分子上普遍都有因子z 。

四. z 变换性质z 变换有一些基本定理，可以使z 变换的应用变得简单和方便，其内容在许多方面与拉氏变换的基本定理有相似之处。

(1) 线性定理若)]([)()],([)(2211t e Z z E t e Z z E ==， a 为常数，则)()()]()([2121z E z E t e t e Z ±=± (7-26))()]([z aE t ae Z = (7-27)其中)]([)(t e Z z E =。

证明 由z 变换定义)()()()()]()([)]()([21020102121z E z E z nT e z nT e z nT e nT e t e t e Z nn n n n n +=+=±=±-∞=-∞=-∞=∑∑∑以及)()()]([0z aE z nT e a t ae Z nn ==-∞=∑式(7-26)和(7-27)表明，z 变换时一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。

(2) 实数位移定理实数位移定理又称平移定理。

实数位移的含意，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向后平移为滞后。

实数位移定理如下：如果函数)(t e 是可拉氏变换的，其z 变换为)(z E ，则有)()]([z E z kT t e Z k-=- (7-28) 以及])()([)]([10∑-=--=+k n nk z nT e z E z kT t e Z (7-29)其中k 为正整数。

证明 由z 变换定义∑∑∞=---∞=--=-=-0)(0])[()()]([n k n k n n z T k n e z zkT nT e kT t e Z 令k n m -=，则有 ∑∞-=--=-k m m kzmT e z kT t e Z )()]([ 由于z 变换的单边性，当0<m 时，有0)(=mT e ，所以上式可写成∑∞=--=-0)()]([m m kz mT e z kT t e Z再令n m =，立即证得式，取1=k ，得∑∑∞=+-∞=-+=+=+0)1(0])1[()()]([n n n n z T n e z zT nT e T t e Z令1+=n m ，上式可写成∑∑∞=-∞=--=-==+01)]0()([)]0()([)()]([m m m m e z E z e z mT e z zmT e z T t e Z取2=k ，同理得∑∑∞=--∞=---==+01222)]()0()([)()]2([m m m m T e z e z mT e z zmT e z T t e Z ∑=--=102])()([n n z nT e z E z取k k =时，必有∑-=--=+10])()([)]([k n nk z nT e z E z kT t e Z在实数位移定理中，式(7-28)称为滞后定理；式(7-29)称为超前定理。