2.3 z变换与z反变换
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第二章 Z变换
-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
2.3z反变换
2.3 z反变换
一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换 称作z反变换。
即：z反变换是z变换的逆运算。
5
例：上一节课，我们算出 敛域是：
的z变换和收
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) ... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...
1
第二章 z变换
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
6
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
7
1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式：
其中：
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
Res[]表示极点处的留数。
10
所以：
注意：应用第二式计算时，要求 X ( z ) z n 1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
11
求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
12
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
《自动控制原理》z变换与z反变换
7-3 z 变换与z 反变换引言：● 连续系统的分析：拉氏变换 传递函数 ● 用拉氏变换的优点： ……● 离散系统：能否拉氏变换？有什么问题？如何改进？ ● 新理论/方法 如何产生？一、离散信号的拉氏变换及其问题设连续信号)(t e 是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为⎰∞-=0)()(dt e t e s E st由于0<t 时，有0)(=t e ，故上式亦可写为⎰∞∞--=dt e t e s E st)()(对于采样信号)(*t e ，其表达式为∑∞=-=0*)()()(n nT t nT e t e δ故采样信号)(*t e 的拉氏变换])([)()]()([)()(0**⎰∑⎰∑⎰∞∞--∞=∞∞--∞=∞∞---=-==dt e nT t nT e dt e nT t nT e dt e t e s E stn stn stδδ（7-20）由广义脉冲函数的筛选性质⎰∞∞-=-)()()(nT f dt t f nT t δ故有snTst edt e nT t -∞∞--⎰=-)(δ于是，采样信号)(*t e 的拉氏变换可以写为nsTn enT e s E -∞=∑=0*)()( (7-21)和连续信号比较： ⎰∞-=0)()(dt e t e s E st)(1)(t t e =时: s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-例7-3 设)(1)(t t e =，试求)(*t e 的拉氏变换。
解 由式(7-26)，有...1)()(20*+++==--∞=-∑TsTsn nsTeeenT e s E一个无穷等比级数，公比为Tse-，求和后得闭合形式1,111)(*<-=-=TsTsTsTs e e e e s E 比较： s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-显然，)(*s E 是Tse 的有理函数。
但是s 的超越函数例7-4[没有] 设,0,)(≥=-t e t e at为常数，试求t e *的拉氏变换。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
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F(z)
1d
2 1! ds
(s
a)2
1 (s a)2
z z esT
sa
TzeaT (z eaT )2
3.3 z 变换的基本定理
1、线性定理
线性函数满足齐次性和迭加性，若
Z f1(t) F1(z) Z f2 (t) F2 (z)
（1）对于第1个极点 z1 2
Res[F (z)zk1]zz1 [(z z1)F (z)zk1]zz1
(z
2)
(z
5z 2)( z
1)
z
k
1
z2
5
2k
（2）对于第2个极点 z2 1
Res[F (z)zk1]zz2
(z
1)
F
(z)zk 1]zzi
式中 m ---不同极点个数; ni --- zi 的阶数
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
例2.7 求
F(z)
z2
5z 3z
2
的z反变换。
解：由F(z)的表达式得到：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 1
f * t f kT t kT k 0 f 0 t f T t T f kT t kT
然后利用公式直接展开
F (z) f (kT )zk
k 0
（1）
f 0 1 f T z1 f 2T z2 f kT zk
F *(s) f (kT )eskT k 0
时域 s域
引入一个新的复变量
z esT
Z[ f (t)] Z[ f *(t)] F (z) f (kT )zk
z域
k 0
序列时刻(时间信息)：
时间序列
单位延迟因子
(信号幅值信息)
关于z变换过程：
s变换 z 变换
f (t) f *(t) F *(s) F (z)
3)
z
z esT
]s3
2z(z
z
eT
)
z (2)(z
e3T
)
z(eT 2(z eT
e3T ) )(z e3T
)
例2.4 求
F(s) 1 (s a)2
的 z 变换。
解：上式有1个二重极点, 于是 m 1, s1 a, n1 2
的 z 反变换
解：将
F (z)除以z，并展开成部分分式，得
F(z) 1 1 z z 1 z 0.5
上式两边乘以z，得
F(z)
z
z 1
z
z 0.5
1 1 z1
1
1 0.5 z 1
于是得到
f (kT ) 1 (0.5)k k 0,1, 2,
f *(t) f (kT ) (t kT ) [1 (0.5)k ] (t kT )
F (z) A1 A2 An
z z z1 z z2
z zn
Ai
(z
zi )
F(z) z
z zi
F (z) A1z A2 z An z n Ai z
z z1 z z2
z zn i1 z zi
各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列 ：
k 0
k 0
3、留数法
在留数法中，采样函数值 f (kT ) 等于 F (z)zk1 各个极点上留
数之和，即 其中：
m
f (kT ) Res[F (z)zk1]zzi i 1
Res[F (z)zk1]zzi
(ni
1 1)!
d ni 1 dzni 1
[( z
zi
)ni
F(z)
n
Ai
i1 1 eaiT z 1
例2.2 求
F(s) a s(s a)
的 z 变换
解： F (s) a 1 1
s(s a) s s a
于是得到： a1 0, A1 1 a2 a, A2 1
n
F(s)
Ai
i1 s ai
，而
lim F (z)
z
存在，则
f (0) lim F (z) z
5、终值定理
如果 f (t) 的z 变换为 F (z) ， 而 (1 z1)F (z) 在z 平面以原 点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则
lim f (t) lim f (kT ) lim(1 z1)F (z)
将式（2）两边乘以 z1 ，有：
z1F (z) z1 z2 zk
（3）
上两式相减，得：
F (z) z1F (z) 1
所以
F(z)
1 1 z1
z
z 1
2、部分分式法
设连续函数 f (t) 的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：
F(s) M (s) N (s)
15z2 45z3 30z4 35z3 30z4
35z3 105z4 70z5 75z4 70z5
F (z) 5z1 15z2 35z3
相应的采样函数为
f *(t) 5 (t T ) 15 (t 2T ) 35 (t 3T )
式中，M (s) 与 N (s) 都是复变量s的多项式。
通常无重极点的 F (s) 能够分解成如下的部分分式形式：
n
F(s)
Ai
i1 s ai
其中： Ai (s ai )F (s) |sai
Ai e ai t
衰减指数函数
Ai 1 eaiT z 1
于是有：
Z (F (s))
3、超前定理
n1
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j0
如果 f (0T ) f (T ) f (n 1)T 0
则 Z f (t nT ) znF(z)
4、初值定理
如果
f
(t) 的z
变换为 F (z)
k 0
k 0
例2.8
求
F
(z)
(z
z 2)( z
1)2
的z反变换。
解：F (z) 中有一个单极点和两个重极点 ：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 2
（1）对于 z1 2 ，有
Res[F (z)zk1]zz1
( z
2)
(z
z 2)( z
mn
用F (z) 表达式的分子除以分母，得到 zk 升幂排列的 f (kT )zk f (0) f (1T )z1 f (2T )z2 f (kT )zk k 0 f *(t) f (0) f (1T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT ) f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
教学模块2 信号转换与z变换
教学单元3 z变换与z反变换
3.1 z 变换的定义
f (t) 的拉普拉斯变换式为 F(s) L f (t) f (t)estdt
f (t)的采样信号为 f *(t)
其拉普拉斯变换式为
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
a 、b 为任意常数， f (t) af1(t) bf2 (t)
则
F (z) aF1(z) bF2 (z)
2、滞后定理
n
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j 1
如果 t 0, f (t) 0 ，则
Z f (t nT ) znF (z)
例2.1 求单位阶跃函数 1(t) 的 z 变换 解：单位阶跃函数 1(t) 在任何采样时刻的值均为1
f (kT ) 1(kT ) 1, k 0,1, 2
代入式（1）中，得：
F (z) f (kT )zk 1z0 1z1 1z2 1zk （2） k 0
t
k
z 1
lim (z 1) F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
6、求和定理 7、复域位移定理 8、复域微分定理 9、复域积分定理 10、卷积定理
3.4 z 反变换定义及方法
定义：
从z变换 F (z) 求出的采样函数 f *(t) ，称为z反变
换，表示为 Z 1[F (z)] f *(t)
1) 2
z
k
1
z2
2k
（2）对于 z2 1 ，有
Res[F (z)zk1]zz2,3
1d
2 1! dz
(
2、部分分式法
将 F (z) 写成如下有理式标准形式：
F(z)
M (z) N(z)
b0 zm b1zm1 bm zn a1zn1 an
对 F (z) 的分母进行因式分解，即
N (z) (z z1)(z z2 )(z zn )
一般适合所有极点是互不相同的单极点的情况：
f (t) f *(t) F *(s) F (z)