序列Z变换与反变换
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试验五Z变换
实验五 z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z 变换和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的 系统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
c1
(z2)X(z) z
z2
1
c 2 (2 1 1 )! d d z(z 1 )2X z (z) z 1 (z 1 2 )2z 1 1
c 3 (2 1 2 )! (z 1 )2X z (z) z 1 (z 12 )z 1 1
即 X(z)z z2zz1(z z1)2 x(n)[2n1n]u(n)
用matlab求其部分分式
X(z)(z2)z (z1 )2(1z 1)z 2 (1 22z 1)
b=[0,0，1]; a=poly([1,1,2]); [r,p,k]=residuez(b,a);
%初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数 %求三个系数[r,p,k]
得到 r= 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i
C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法； 如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。
三、实验原理
例4
用部分分式法求逆z变换：X(z)
3z2
z 4z
1
z
1 3
X(z) z z1 3z24z1 34z1z2
MATLAB程序：
b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a);
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z 变换和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的 系统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
c1
(z2)X(z) z
z2
1
c 2 (2 1 1 )! d d z(z 1 )2X z (z) z 1 (z 1 2 )2z 1 1
c 3 (2 1 2 )! (z 1 )2X z (z) z 1 (z 12 )z 1 1
即 X(z)z z2zz1(z z1)2 x(n)[2n1n]u(n)
用matlab求其部分分式
X(z)(z2)z (z1 )2(1z 1)z 2 (1 22z 1)
b=[0,0，1]; a=poly([1,1,2]); [r,p,k]=residuez(b,a);
%初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数 %求三个系数[r,p,k]
得到 r= 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i
C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法； 如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。
三、实验原理
例4
用部分分式法求逆z变换：X(z)
3z2
z 4z
1
z
1 3
X(z) z z1 3z24z1 34z1z2
MATLAB程序：
b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a);
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
[数字信号处理]序列的逆z变换
![[数字信号处理]序列的逆z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/8eb9ce7eb94ae45c3b3567ec102de2bd9605deee.png)
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定义
[数字信号处理 ]序列的逆 z变换
已知序列的z变换X(z),求原序列x(n)称为z反变换
X(z)的 本 质
X(z)本质上是一个关于z的有理函数,可以表示一个关于z的多项式N(z)除一个关于z的多项是D(z). N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0
X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0 令分母D(z) = 0,方程的解称为极点,用pk表示 令分子N(z) = 0,方程的解称为零点,用zk表示
部分分式展开法求序列
N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0 X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0
Processing math: 100%
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
把X(z)分母分解成n个因式相乘
X(z)
N1(z )
A1
Ak
令X1(z) = z = (z− p1) . . . (z− pn) = z− p1 + . . . z− pk x(n) = [A1(p1)n + . . . Ak(pk)n]u(n)
定义
[数字信号处理 ]序列的逆 z变换
已知序列的z变换X(z),求原序列x(n)称为z反变换
X(z)的 本 质
X(z)本质上是一个关于z的有理函数,可以表示一个关于z的多项式N(z)除一个关于z的多项是D(z). N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0
X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0 令分母D(z) = 0,方程的解称为极点,用pk表示 令分子N(z) = 0,方程的解称为零点,用zk表示
部分分式展开法求序列
N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0 X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0
Processing math: 100%
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
把X(z)分母分解成n个因式相乘
X(z)
N1(z )
A1
Ak
令X1(z) = z = (z− p1) . . . (z− pn) = z− p1 + . . . z− pk x(n) = [A1(p1)n + . . . Ak(pk)n]u(n)
第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
数字信号处理 6-Z变换
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n
1
xn z n
n n
n
1
b n z n
n0
b n z n
z 1 b
X 2 z
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为
X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n
xn z n
0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
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解：
X1 ( z ) a z
n 0 1
n n
1 1 az 1 1 1 az 1
z a
z <a
X 2 ( z)
n
a z
n n
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
双边Z变换的主要性质
10. 序列卷积和
x1[n] x2[n] X1( z) X 2 ( z) ROC 包含Rx1∩Rx2
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系
11. 序列相乘(Z域复卷积定理)
z 1 Z [ x1 (n) x2 (n)] c X1( v ) X 2 (v)v dv 2 j Rx1 Rx2 < z < Rx1 Rx2
(1) 有限长序列
X ( z)
n n1
n2
x ( n) z n
(1) n1 <0, n 2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1 <0, n 2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n 2 >0时，ROC： 0 < z
ROC也可能包含0或∞点
Rx
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
0
Re[z ]
Rx
c
Z反变换
为计算围线积分，由留数定理可知：
1 X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zk c 2 j k 1 X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zm c 2 j m
n n x (2)收敛域为|z|<1时,x(n)为反因果序列， (n) [ 1 ( 1) 2 2 ]u( n 1) 3 3
(3)当收敛域为1<|z|<2时
x(n) 1 ( 1)n u(n) 2 2n u( n 1) 3 3
幂级数展开法基本原理
X ( z)
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 留数法
部分分式法
长除法
z反变换
1.留数法
罗朗级数公式：
若：X ( z )
n
x ( n ) z n ,
Rx < z < Rx
j Im[ z ]
1 则：x (n ) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
n 1
1 /(4 z )( z )] 1 4 z 4
1 n 1 ( ) 4
1 1 4 4 n , n 1 4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
1 x(n) - Res[ z /(4 z )( z )]z 4 4 1 1 n 1 (4) 4 4n 2 , n 2 4 15
n 1
1 n 15 4 , 因此， x ( n ) 1 4n 2 , 15
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！
例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
z Z [u ( n )] , z 1 z 1 z z 2 Z [u ( n 3)] z 3 , z 1 z 1 z 1 z z 2 z2 z 1 Z [ x ( n )] ,z 0 2 z 1 z 1 z
部分分式展开法计算过程
Ak (1 zk z ) X ( z )
1
z zk
X ( z) Res k 1, 2,, N r z z zk
1 1 d r k 1 r Ck [(1 zi z ) X ( z )] r k 1 r k ( zi ) (r k )! d ( z ) z zi k 1, 2, , r
部分分式展开法计算过程
B( z ) X ( z) A( z )
M N n 0
bi z i 1 ai z i
i 1 N r i 0 N
M
r Ak Ck n Bn z 1 1 k k 1 1 zk z k 1 (1 zi z )
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想 将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
B( z ) X ( z) X1 ( z ) X 2 ( z ) X k ( z ) A( z )
x(n) Z 1[ X1 ( z)] Z 1[ X 2 ( z )] Z 1[ X k ( z )]
z 2
2 3
例：已知
z2 X ( z) ( z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
1 z 2 z X ( z) 3 z 1 3 z 2
(1)收敛域为|z|>2时,x(n)为因果序列， x(n) [ 1 ( 1)n 2 2n ]u(n) 3 3
组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵 消，收敛域扩大。
双边Z变换的主要性质
3.指数加权特性
a x(n) X ( z / a)
n Z
ROC a Rx
4. 线性加权(Z域微分特性)
dX ( z ) nx(n) z dz
ROC Rx
双边Z变换的主要性质
5.共轭序列
n
lim x(n) lim[( z 1) X ( z )]
z 1
双边Z变换的主要性质
9.有限项累加特性
因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
X ( z ) Z [ x(n)]
n
z Rx
z Z[ x(m)] X ( z) z 1 m 0
z max[ Rx ,1]
求其z变换。
1 j0n j0n cos(0 n)u (n) [e e ]u (n) 2 1 n Z [a u (n)] ,za 1 1 az 1 j0 n Z [e u (n)] , z e j0 1 j0 1 1 e z 1 j0 n Z [e u (n)] , z e j0 1 1 e j0 z 1 1 1 1 故，Z [cos(0 n)u (n)] [ ], z 1 j0 1 j0 1 2 1 e z 1 e z
若n 2 0 :
n
n2
x ( n) z
z < R
n
Im z
ROC
R x+
Re z
0 < z < R
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X ( z)
n
x ( n) z
n
Im z ROC
ROC R < z < RR源自x-Re zR
x+
z反变换
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2πj
,
1 < z <4 4
，求z反变换。
j Im[ z ]
X ( z ) z n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
0
1/4 c 4
Re[z ]
1）当n≥-1时, z 在z=0处不会构成极点，此时C内 只有一个一阶极点 z r 1 。
4
n 1
x(n) Res[ z
n
x(n) z n x(1) z x(0) z 0 x(1) z 1
在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。
具体过程自学！
双边Z变换的主要性质
x1 (n) X 1 ( z )
x2 (n) X 2 ( z )
ROC Rx1 {Rx1 < z < Rx1 }
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
例：已知
z2 X ( z) ( z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。 X(z)的极点为z1=-1, z2=2 ，展成部分分式为
A1 A2 X ( z) z z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 X ( z) A1 ( z 1) z X ( z) A2 ( z 2) z 1 3 z 1
x (n) X ( z )
ROC Rx
6.时间翻转(time reversal)
x(n) X (1/ z)
Z
1 1 < z< Rx Rx
双边Z变换的主要性质
7.初值定理
因果序列x(n)=0,n<0,有
z
lim X ( z ) x(0)
8. 终值定理 X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内 (单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
n 1
] z zr