Z反变换
s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
2020/6/23
例8-4
已知X
(z)
7z
5z 3z2
2
,(1 2
z
2),求x(n)
解： 1 z 2, x(n)必为双边序列。
3
X
(z)
7z
5z 3z2
2
(3z
5z 1)( z
2)
5z 3
(z 1)(z 2)
3
z 0.5
jIm(z)
C
z
3
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z3
0.5 3
Re(z)
1 2
n
1 3
3n
,
n
1
2020/6/23
当n 0时，围线内有三个极点z 0, z 0.5, z 3
x(n)
m
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
X (z) zm1dz
C
C
n0
x(n)
z
n
z m1dz
n0
x(n)
z mn1dz
C
由柯西定理
z
C
m1dz
2j, k 0
0, others
2020/6/23
则 X (z)zm1dz 2j x(n) C
x(n) 1 X (z)zm1dz
2j C
由留数定理：
jIm(z)
Zm
C
Re(z)
1 X (z)zn1dz
2j C
n=m
Res X (z)zn1
一项
m
zzm
zm为C内的奇点,即( X (z) zn1)的极点(一阶)
2020/6/23
于是：
x(n)
m
Res X (z)z n1
,n 0
z zm
0, n 0
若z zm是 X (z)zn1 的s阶极点时，
m1
2020/6/23
若收敛域z Rx，则x(n)是左边序列，这时
k
这样，x(n) A0 (n) Am (zm )n u(n 1) m1
当zi是s阶极点时，
M
X (z)
Am z s
m0 z zm j1
Bj z z zi j
对应表8-2
A0
M m1
Am z z zm
Res X (z)zn1 , n 0
则x(n)
C外极点
Res X (z)zn1
,n 0
C内极点
当Rx1 z Rx2时，
Res X (z)zn1 , n 0
则x(n)
C内极点
Res
X
(z)z n1
,n
0
C外极点
jIm(z)
Zm C C’
Re(z)
2020/6/23
Signals and Systems
§7.3 Z反变换
徐昌庆
X (z) Zx(n) x(n) Z 1X (z)
三种方法： 1，长除法；2，部分分式展开法； 3，留数法
一，长除法（幂级数展开法） P319 排序问题
由Z变换的定义式：X (z)
x(n)zn
n
可知,X(z)是Z-1的幂级数，所以只要在给定的收敛
z2
2zz 0.5z 3
A1 2
z
A2
0.5
A3
z 3
X (z)
2
A1 z
z
x(z)
z0
z0 3
A3
z
3
X
(z) z
z3
1 3
A2
z
0.5
X (z) z
z 0.5
1
2020/6/23
2
1
X (z) 3 1 3 z z z 0.5 z 3
X (z) 2
z
1z 3
3 z 0.5 z 3
后项对应左边序列。长 除法时按 z的升幂排序 (或z1的降幂)
1
1 2
z
1 z2 4
2z 2 2z
z z 1 z2
2
1 z2 2 1 z2 1 z2
n
2 zn
2z 2 4
n0
x(n) 1 nu(n 1) 2nu(n) 3
2020/6/23
域内把X(z)产开成幂级数，那么级数的诸系数就
组成序列x(n)
2020/6/23
一般情况下，X(z)是有理数，可用长除法得到Z-1的 幂级数。
例8-3
已知X (z)
z
, ( z 2), 求x(n)
(z 1)( z 2)
解： z 2, x(n)是因果序列。将X (z)的分子分母 多项式按z的降幂形式(或z 1的升幂)排列
m
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
当n 1时，x(z) zn1有三个一阶级点, z 0.5, z 3
2020/6/23
x(n)
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z 0.5
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z3
z
0.5
2
zn z
2zn1
0.5 z
z
B12
0.52
z
B13
0.5
A0 z
A1 z 1
B11
z
0.53
X (z) z
z 0.5
z4
z z 1
z 0.5
1 4
B12
d dz
z
0.53
X (z) z
z 0.5
d dz
z4
z
z
1
z 0.5
2
B13
1 2
d2 dz 2
z
0.53
X (z) z
z 0.5
1 2
d2 dz 2
2020/6/23
z1 3z2 7z315z4
z2 3z 2 z
X (z) z1 3z2 7z3 15 z4
z 3 2z1
3 2z1 3 9z 1 6z 2
7z1 6z2 7z1 21z2 14 z3
15z2 14z3
0 z1 3z2 7z3 15z4
(2n 1)zn n0
二、部分分式展开法
X(z)通常是有理函数，可表示成有理分式
X (z)
br zr ak zk
br1zr1 ak1zk1
b1z b0 a1z a0
对于因果序列，z Rx1，为保证z 处收敛，
要求k r
Z n 1, Z anu(n) z ， za
这是Z变换的基本形式。
2020/6/23
4 2 2
2
2
8u(n)
1 8
n2
15 8
n
7
1 2
n
u(n)
三、留数法（围线积分法）
X (z) x(n)zn , z Rx1 n0
2020/6/23
两边乘z m1 ,
X
(z)
z m1
n0
x(n) z n
z m1
在X(z)的收敛域内选择一逆时针围线C包围原点，
然后，上式两边绕C积分
zi z
)s
X (z) zzi
其他C
用待定系数法求得
j
对应表8-3
对应表9-2， 322页
2020/6/23
例8-5
已知：X
(z)
z2 2z2 7z
，求收敛域分别为 3
(1), z 3;(2), z 0.5;(3),0.5 z 3时的Z反变换
解：
X (z) z
z2 z 2z2 7z 3
2z3 40z
z 23
z4
合集下载
数字信号处理DSP第二章2z反变换
z1
4n
4
15 2021/4/21
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
5
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4
z
4
解：X
z
1
5 z 1 z1 6z2
z2
5z z 6
5z
z 2z 3
X
z
z
z
5
2z
3
A1 z2
A2 z3
3
j Im[z]
2
0
Re[z]
A1
Res
X
z
zБайду номын сангаас
z2
z
2
z
5
2
z
3
z2
1
A2 Res
2021/4/21
X
z
z
z3
z
3
z
5
2
z
3
z 3
1
16
X z
1
1
z z2 z3
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
X (z)
M N n0
Bn zn
A M r k
k1 1 zk z1
r k 1
Ck [1 zi z1]k
用留数定理求系数：
Ak
Re
s
X (z) z zzk
k 1,2,
,M r
2021/4/21
15
例：X (z)
附_z反变换
于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
Z反变换方法
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
05第五讲 Z 反变 换
或
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
§5-2 反z变换
= − 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( − n − 1) = − [ 2 − ( 0 . 5 ) n ]u ( − n − 1)
由上例可见，若给定z变换的函数式X(z)，当已知收敛域为一圆 的外域：|z|>R1，其对应的z反变换是一个因果序列：
x ( n ) = x1 ( n )u ( n )
《Signals & Systems》
z >1
解：由收敛域知道序列是因果的，将X(z)写成
《信号与系统》
电子技术教研室
作长除
1 + 1.5 z −1 + 1.75 z −2 z 2 − 1.5 z + 0.5 z 2 z 2 − 1.5 z + 0.5 1.5 z − 0.5 1.5 z − 2.25 + 0.75 z −1 1.75 − 0.75 z −1−1 1.75 − 2.625 z + 0.875 z −2
n ZT
于是，当X(z)/z是有理真分式，则有
《Signals & Systems》
《信号与系统》
电子技术教研室
X (z) = z
∑
i=0
N
Ai z − pi
X ( z ) = A0 + ∑
i =1
N
Ai z z − pi
于是，对应的反变换当收敛域为：
z > R1 z < R2 R1 < z < R2
《Signals & Systems》
∑ (2)
k=n
−2
− ( k + 1)
=
∑ ( 2)
k=2
−n
k −1
6.3.4 z反变换
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
第二章 反z变换【VIP专享】
某圆环内
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
Z反变换方法
例
已 知F (z)
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
z2 2z 1 z
z 2 z1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z1 6z 2 3z3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
z
z
12
z1
1
所以
F(z)
z z1
z (z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
(n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例2：
F(z)
(z
1 1)2
,
z
1, 求f
(n)。
解
F(z)
1
z z(z 1)2
k11 z1
k12 (z 1)2
k2 z
1
k2 z zz 12 z0 1
k12
z
12
zz
1
12
z1
1
k11
(2
1 1)!
d dz
z
12
1
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
• 幂级数展开法 • 部分分式展开法
幂级数展开法
F(z) f (n)zn n0 f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是 z-1的幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
• 对 F(z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z